Giải Toán tập 1 trang 58
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 58–59
Bài 2.27: Số tiếng chuông đồng hồ
Đề: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ quả lắc đánh bao nhiêu tiếng, biết nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Lời giải:
Chuông báo giờ tại các thời điểm 1 giờ, 2 giờ, ..., 12 giờ, với số tiếng lần lượt bằng $1, 2, \dots, 12$.
Đây là cấp số cộng với $u_1 = 1$, $d = 1$, $n = 12$.
$$S_{12} = \frac{(u_1 + u_{12})\cdot 12}{2} = \frac{(1 + 12)\cdot 12}{2} = 78$$
Vậy chuông đánh tổng cộng 78 tiếng.
Bài 2.28: Phân chia tế bào E. Coli
Đề: Tế bào E. Coli cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, một tế bào ban đầu phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Lời giải:
Đổi 24 giờ $= 24 \times 60 = 1440$ phút.
Số lần phân đôi: $\dfrac{1440}{20} = 72$ lần.
Mỗi lần phân đôi, số tế bào nhân đôi → đây là cấp số nhân với $u_1 = 1$ (tế bào ban đầu), công bội $q = 2$.
Sau 72 lần phân chia:
$$u = 1 \cdot 2^{72} = 2^{72} \text{ (tế bào)}$$
Vậy sau 24 giờ có $2^{72}$ tế bào (khoảng $4{,}72 \times 10^{21}$ tế bào).
Bài 2.29: Chứng minh tính chất số hạng giữa
a) Cấp số cộng
Đề: Chứng minh trong cấp số cộng $(u_n)$, mỗi số hạng (trừ đầu, cuối) là trung bình cộng của hai số hạng kề: $u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ với $k \ge 2$.
Chứng minh:
Gọi công sai là $d$. Theo định nghĩa:
$$u_{k-1} = u_k - d, \qquad u_{k+1} = u_k + d$$
Cộng hai vế:
$$u_{k-1} + u_{k+1} = (u_k - d) + (u_k + d) = 2u_k$$
Suy ra $u_k = \dfrac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}$ (đpcm).
b) Cấp số nhân
Đề: Chứng minh trong cấp số nhân, bình phương mỗi số hạng (trừ đầu, cuối) bằng tích hai số hạng kề: $u_k^2 = u_{k-1}\cdot u_{k+1}$ với $k \ge 2$.
Chứng minh:
Gọi công bội là $q \ne 0$. Theo định nghĩa:
$$u_{k-1} = \frac{u_k}{q}, \qquad u_{k+1} = u_k \cdot q$$
Nhân hai vế:
$$u_{k-1} \cdot u_{k+1} = \frac{u_k}{q} \cdot u_k q = u_k^2 \quad \text{(đpcm)}$$
Bài 2.30: Tìm ba số
Đề: Tìm ba số lập thành cấp số cộng, có tổng bằng 21; nếu lần lượt cộng thêm 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành cấp số nhân.
Lời giải:
Gọi ba số là $7-d,\ 7,\ 7+d$ (dạng đối xứng quanh số giữa).
Tổng: $(7-d) + 7 + (7+d) = 21$ → đúng với mọi $d$, nên số giữa bằng $7$. ✓
Sau khi cộng thêm $2; 3; 9$ ta được ba số:
$$9 - d,\quad 10,\quad 16 + d$$
Ba số này lập thành cấp số nhân nên:
$$10^2 = (9-d)(16+d)$$
$$100 = 144 - 7d - d^2$$
$$d^2 + 7d - 44 = 0$$
$$\Delta = 49 + 176 = 225 \Rightarrow d = \frac{-7 \pm 15}{2}$$
Vậy $d = 4$ hoặc $d = -11$.
| $d$ | Ba số (cấp số cộng) | Sau khi cộng 2;3;9 (cấp số nhân) | Công bội |
|---|---|---|---|
| $4$ | $3;\ 7;\ 11$ | $5;\ 10;\ 20$ | $2$ |
| $-11$ | $18;\ 7;\ -4$ | $20;\ 10;\ 5$ | $\tfrac{1}{2}$ |
Vậy có hai bộ ba số: $\{3; 7; 11\}$ hoặc $\{18; 7; -4\}$.
Bài 2.31: Độ cao bậc cầu thang
Đề: Mặt sàn tầng một cao hơn mặt sân $0{,}5$ m. Cầu thang từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm.
a) Viết công thức tìm độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân.
b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải:
Đổi 16 cm $= 0{,}16$ m.
a) Độ cao bậc thứ $n$ so với mặt sân là một cấp số cộng. Bậc đầu tiên cao hơn sàn tầng một $0{,}16$ m, mà sàn tầng một cao $0{,}5$ m:
$$u_n = 0{,}5 + 0{,}16\,n \ \text{(m)}$$
(Kiểm tra: $u_1 = 0{,}5 + 0{,}16 = 0{,}66$ m — đúng là bậc đầu tiên.)
b) Sàn tầng hai chính là độ cao của bậc thứ 25:
$$u_{25} = 0{,}5 + 0{,}16 \times 25 = 0{,}5 + 4 = 4{,}5 \ \text{(m)}$$
Vậy sàn tầng hai cao 4,5 m so với mặt sân.
Bài 2.32: Tổng diện tích các hình vuông tô màu xanh
Đề: Hình vuông cạnh 1 chia thành 9 hình vuông nhỏ, hình ở giữa tô xanh. Mỗi hình vuông vàng lại chia thành 9 và tô xanh hình giữa. Lặp lại 5 lần. Tổng diện tích các hình vuông tô màu xanh là bao nhiêu?
Lời giải:
Hình vuông ban đầu có diện tích $1$.
Phân tích từng bước (diện tích xanh thêm vào mỗi bước):
- Bước 1: 1 hình xanh, diện tích $\dfrac{1}{9}$.
- Bước 2: 8 hình vàng, mỗi hình sinh 1 hình xanh diện tích $\left(\dfrac{1}{9}\right)^2$ → thêm $8\cdot\dfrac{1}{9^2}$.
- Bước $n$: có $8^{\,n-1}$ hình xanh mới, mỗi hình diện tích $\dfrac{1}{9^n}$ → thêm $\dfrac{8^{\,n-1}}{9^n}$.
Tổng diện tích xanh sau 5 bước:
$$S = \sum_{n=1}^{5} \frac{8^{\,n-1}}{9^{\,n}} = \frac{1}{9}\sum_{n=1}^{5}\left(\frac{8}{9}\right)^{n-1}$$
Đây là tổng cấp số nhân với $u_1 = \dfrac{1}{9}$, công bội $q = \dfrac{8}{9}$, có 5 số hạng:
$$S = \frac{1}{9}\cdot \frac{1 - \left(\frac{8}{9}\right)^5}{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{9}\cdot \frac{1 - \left(\frac{8}{9}\right)^5}{\frac{1}{9}} = 1 - \left(\frac{8}{9}\right)^5$$
Tính giá trị:
$$\left(\frac{8}{9}\right)^5 = \frac{32768}{59049} \approx 0{,}555$$
$$S = 1 - \frac{32768}{59049} = \frac{26281}{59049} \approx 0{,}445$$
Vậy tổng diện tích các hình vuông tô màu xanh $\approx \mathbf{0{,}445}$ (đơn vị diện tích).
Tóm tắt trang 58 – Mở đầu Chương III
Trang 58 là phần mở đầu Chương III: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm và Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm.
Ý chính:
- Ở lớp 10 ta đã học các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm. Trong nhiều trường hợp thực tế, dữ liệu chỉ có ở dạng ghép nhóm.
- Mục tiêu của bài: Đọc, giải thích mẫu số liệu ghép nhóm và biết cách ghép nhóm mẫu số liệu.
- Bài toán mở đầu: kỳ thi tốt nghiệp THPT 2021 có 344 752 thí sinh thi cả ba môn Toán, Vật lí, Hóa học. Các trường tuyển sinh tổ hợp A00 quan tâm tổng điểm ba môn. Câu hỏi đặt ra: làm sao biểu diễn dãy số liệu khổng lồ này để thấy được bức tranh tổng thể về kết quả thi → dẫn đến nhu cầu ghép nhóm số liệu.
Trang này chưa có bài tập, chủ yếu giới thiệu và đặt vấn đề cho bài học.
Em muốn thầy đi sâu vào lý thuyết ghép nhóm số liệu ở các trang tiếp theo không?