Giải Toán tập 1 trang 60
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 60–61
🔍 Kiến thức cần nhớ
Mẫu số liệu ghép nhóm
- Định nghĩa: Mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu
- Nhóm số liệu: Tập hợp các giá trị được ghép nhóm theo tiêu chí xác định, dạng [a; b) với a là đầu mút trái, b là đầu mút phải
- Độ dài nhóm [a; b): bằng b − a
Khi nào dùng mẫu số liệu ghép nhóm?
- Khi không thể thu thập số liệu chính xác
- Khi yêu cầu bài toán cần biểu diễn dạng ghép nhóm để thuận lợi tổ chức, đọc và phân tích
Cách chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm
- Bước 1: Chia miền giá trị thành các nhóm theo tiêu chí cho trước
- Bước 2: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng thống kê
💡 Mẹo nhớ: Các nhóm không giao nhau, nên có độ dài bằng nhau, và tổng độ dài các nhóm lớn hơn khoảng biến thiên.
⚙️ Bài tập
HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Xét dữ liệu cho trong tình huống mở đầu.
- a) Mẫu số liệu về tổng điểm, kí hiệu là (T), có bao nhiêu giá trị?
- b) Nếu lập bảng tần số cho mẫu số liệu (T) thì có dễ hình dung được bức tranh tổng thể về kết quả thi không? Vì sao?
- c) Mẫu số liệu (T) được mô tả dưới dạng bảng thống kê sau:
| Tổng điểm | < 6 | [6; 7) | [7; 8) | ... | [28; 29) | [29; 30] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | 23 | 69 | 192 | ... | 216 | 12 |
Hãy đọc và giải thích số liệu được biểu diễn trong bảng thống kê.
Cách 1 — Phân tích trực tiếp
a) Số giá trị của mẫu số liệu (T):
Tổng điểm thi có thể nhận các giá trị từ 0 đến 30 điểm (tổng điểm 3 môn, mỗi môn tối đa 10 điểm).
Do tổng điểm là số thực (có thể có phần thập phân), nên số giá trị có thể rất lớn, vô số giá trị trong khoảng [0; 30].
b) Có dễ hình dung bức tranh tổng thể không?
Không dễ, vì:
- Mẫu số liệu (T) có rất nhiều giá trị khác nhau (điểm có thể là 6.5, 6.75, 7.25,...)
- Nếu lập bảng tần số chi tiết, bảng sẽ rất dài, khó đọc và khó nhận ra xu hướng phân bố
- Việc ghép nhóm giúp tổng hợp, dễ quan sát hơn
c) Giải thích bảng thống kê:
- Cột "< 6": Có 23 thí sinh có tổng điểm nhỏ hơn 6
- Cột "[6; 7)": Có 69 thí sinh có tổng điểm từ 6 đến dưới 7 (6 ≤ điểm < 7)
- Cột "[7; 8)": Có 192 thí sinh có tổng điểm từ 7 đến dưới 8
- Cột "[28; 29)": Có 216 thí sinh có tổng điểm từ 28 đến dưới 29
- Cột "[29; 30]": Có 12 thí sinh có tổng điểm từ 29 đến 30 (bao gồm cả 30)
💡 Lưu ý: Nhóm cuối cùng dùng dấu ] để bao gồm giá trị lớn nhất (30 điểm).
Cách 2 — Phân tích theo ý nghĩa thực tế
a) Vì điểm thi là số thực liên tục trong khoảng [0; 30], nên về lý thuyết có vô hạn giá trị có thể nhận được.
b) Lập bảng tần số chi tiết không hiệu quả vì:
- Phải liệt kê hàng trăm, hàng nghìn giá trị khác nhau
- Mỗi giá trị có thể chỉ xuất hiện 1-2 lần → không thấy được quy luật
- Ghép nhóm giúp "gom" các giá trị gần nhau, dễ thấy xu hướng
c) Bảng cho biết phân bố số thí sinh theo khoảng điểm:
- Nhóm điểm thấp (< 6): 23 em
- Nhóm điểm cao nhất ([29; 30]): 12 em
- Ta thấy nhóm [28; 29) có 216 em → nhiều thí sinh đạt điểm cao
Luyện tập 1
Đề bài: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
| Thời gian | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | [35; 40) | [40; 45) | [45; 50) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số nhân viên | 6 | 14 | 25 | 37 | 21 | 13 | 9 |
Đọc và giải thích mẫu số liệu này.
Cách 1 — Giải thích từng nhóm
Đọc và giải thích mẫu số liệu:
- Đây là mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian đi làm của nhân viên công ty
- Giải thích từng nhóm:
- [15; 20): Có 6 nhân viên có thời gian đi làm từ 15 đến dưới 20 phút
- [20; 25): Có 14 nhân viên có thời gian đi làm từ 20 đến dưới 25 phút
- [25; 30): Có 25 nhân viên có thời gian đi làm từ 25 đến dưới 30 phút
- [30; 35): Có 37 nhân viên có thời gian đi làm từ 30 đến dưới 35 phút
- [35; 40): Có 21 nhân viên có thời gian đi làm từ 35 đến dưới 40 phút
- [40; 45): Có 13 nhân viên có thời gian đi làm từ 40 đến dưới 45 phút
- [45; 50): Có 9 nhân viên có thời gian đi làm từ 45 đến dưới 50 phút
- Tổng số nhân viên: 6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = 125 nhân viên
- Độ dài mỗi nhóm: 5 phút (các nhóm có độ dài bằng nhau)
Cách 2 — Phân tích xu hướng và đặc điểm
Phân tích đặc điểm mẫu số liệu:
- Khoảng thời gian: từ 15 phút đến dưới 50 phút
- Số nhóm: 7 nhóm, mỗi nhóm có độ dài 5 phút
- Nhóm có tần số cao nhất: [30; 35) với 37 nhân viên → đa số nhân viên mất khoảng 30-35 phút đi làm
- Nhóm có tần số thấp nhất: [15; 20) với 6 nhân viên → ít nhân viên ở gần công ty
Nhận xét xu hướng:
- Phân bố có dạng "đỉnh" ở giữa (nhóm 30-35 phút)
- Số nhân viên giảm dần về hai phía
- Phần lớn nhân viên (25 + 37 + 21 = 83 người) mất từ 25 đến 40 phút đi làm
💡 Mẹo bấm máy: Để tính tổng số nhân viên, bấm: 6 + 14 + 25 + 37 + 21 + 13 + 9 = → Kết quả: 125
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Chỉ số BMI (đo bằng w/h², trong đó w là cân nặng đơn vị là kilôgam, h là chiều cao đơn vị là mét) của các học sinh trong một tổ được cho như sau:
19,2 21,1 16,8 23,5 20,6 25,2 18,7 19,1
Một người có chỉ số BMI nhỏ hơn 18,5 được xem là thiếu cân; từ 18,5 đến dưới 23 là có cân nặng lí tưởng so với chiều cao; từ 23 trở lên là thừa cân. Hãy lập mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên để biểu diễn tình trạng cân nặng so với chiều cao của các học sinh trong tổ.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (theo tiêu chí đề bài)
Bước 1: Xác định các nhóm theo tiêu chí
Theo đề bài, có 3 nhóm:
- Thiếu cân: BMI < 18,5 → nhóm [0; 18,5)
- Cân nặng lí tưởng: 18,5 ≤ BMI < 23 → nhóm [18,5; 23)
- Thừa cân: BMI ≥ 23 → nhóm [23; +∞)
Bước 2: Phân loại từng giá trị
| Chỉ số BMI | Phân loại |
|---|---|
| 19,2 | Lí tưởng (18,5 ≤ 19,2 < 23) |
| 21,1 | Lí tưởng (18,5 ≤ 21,1 < 23) |
| 16,8 | Thiếu cân (16,8 < 18,5) |
| 23,5 | Thừa cân (23,5 ≥ 23) |
| 20,6 | Lí tưởng (18,5 ≤ 20,6 < 23) |
| 25,2 | Thừa cân (25,2 ≥ 23) |
| 18,7 | Lí tưởng (18,5 ≤ 18,7 < 23) |
| 19,1 | Lí tưởng (18,5 ≤ 19,1 < 23) |
Bước 3: Lập bảng tần số ghép nhóm
| Tình trạng | Thiếu cân | Cân nặng lí tưởng | Thừa cân |
|---|---|---|---|
| Chỉ số BMI | < 18,5 | [18,5; 23) | ≥ 23 |
| Số học sinh | 1 | 5 | 2 |
Cách 2 — Trình bày dạng bảng chuẩn
Sắp xếp dữ liệu: 16,8 ; 18,7 ; 19,1 ; 19,2 ; 20,6 ; 21,1 ; 23,5 ; 25,2
Bảng mẫu số liệu ghép nhóm:
| Chỉ số BMI | [0; 18,5) | [18,5; 23) | [23; +∞) |
|---|---|---|---|
| Số học sinh | 1 | 5 | 2 |
Kiểm tra: 1 + 5 + 2 = 8 học sinh ✓
Nhận xét:
- 1/8 = 12,5% học sinh thiếu cân
- 5/8 = 62,5% học sinh có cân nặng lí tưởng
- 2/8 = 25% học sinh thừa cân
- Đa số học sinh trong tổ có cân nặng phù hợp với chiều cao
⚠️ Lưu ý thi: Khi đề cho tiêu chí phân nhóm sẵn, phải dùng đúng các mốc đó, không tự ý chia nhóm khác.
Luyện tập 2
Đề bài: Cân nặng (kg) của 35 người trưởng thành tại một khu dân cư được cho như sau:
43 51 47 62 48 40 50 62 53 56 40 48 56 53 50 42 55
52 48 46 45 54 52 50 47 44 54 55 60 63 58 55 60 58 53
Chuyển mẫu số liệu trên thành dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau, trong đó có nhóm [40; 45).
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Bước 1: Xác định khoảng biến thiên
- Giá trị nhỏ nhất: 40
- Giá trị lớn nhất: 63
- Khoảng biến thiên: 63 − 40 = 23
Bước 2: Xác định các nhóm
Đề yêu cầu có nhóm [40; 45), nên độ dài mỗi nhóm là 5.
Các nhóm cần lập:
- [40; 45): chứa các giá trị từ 40 đến dưới 45
- [45; 50): chứa các giá trị từ 45 đến dưới 50
- [50; 55): chứa các giá trị từ 50 đến dưới 55
- [55; 60): chứa các giá trị từ 55 đến dưới 60
- [60; 65): chứa các giá trị từ 60 đến dưới 65 (bao gồm 63)
Bước 3: Sắp xếp và đếm tần số
Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần:
40, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 47, 48, 48, 48, 50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 53, 53, 54, 54, 55, 55, 55, 56, 56, 58, 58, 60, 60, 62, 62, 63
Đếm tần số từng nhóm:
- [40; 45): 40, 40, 42, 43, 44 → 5 người
- [45; 50): 45, 46, 47, 47, 48, 48, 48 → 7 người
- [50; 55): 50, 50, 50, 51, 52, 52, 53, 53, 53, 54, 54 → 11 người
- [55; 60): 55, 55, 55, 56, 56, 58, 58 → 7 người
- [60; 65): 60, 60, 62, 62, 63 → 5 người
Bước 4: Lập bảng tần số ghép nhóm
| Cân nặng (kg) | [40; 45) | [45; 50) | [50; 55) | [55; 60) | [60; 65) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số người | 5 | 7 | 11 | 7 | 5 |
Kiểm tra: 5 + 7 + 11 + 7 + 5 = 35 người ✓
Cách 2 — Phương pháp nhanh (dùng gạch đếm)
Lập bảng gạch đếm trực tiếp:
Duyệt qua từng số liệu và gạch vào nhóm tương ứng:
| Nhóm | Gạch đếm | Tần số |
|---|---|---|
| [40; 45) | IIIII | 5 |
| [45; 50) | IIIII II | 7 |
| [50; 55) | IIIII IIIII I | 11 |
| [55; 60) | IIIII II | 7 |
| [60; 65) | IIIII | 5 |
Kết quả:
| Cân nặng (kg) | [40; 45) | [45; 50) | [50; 55) | [55; 60) | [60; 65) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số người | 5 | 7 | 11 | 7 | 5 |
💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng STAT (Mode 3) để nhập dữ liệu, sau đó dùng TABLE để kiểm tra phân bố.
💡 Mẹo nhớ: Khi đếm, đánh dấu từng số đã đếm để tránh bỏ sót hoặc đếm trùng.
Nhận xét:
- Nhóm [50; 55) có số người đông nhất (11 người)
- Phân bố có dạng đối xứng quanh nhóm giữa
- Cân nặng phổ biến nhất trong khoảng 50-55 kg
⚠️ Lưu ý thi: Luôn kiểm tra tổng tần số = cỡ mẫu để đảm bảo không đếm sót hoặc đếm thừa.
🎯 Ghi nhớ: - Mẫu số liệu ghép nhóm dùng khi dữ liệu có nhiều giá trị khác nhau, giúp dễ quan sát xu hướng - Các nhóm dạng [a; b) với a là đầu mút trái (thuộc nhóm), b là đầu mút phải (không thuộc nhóm) - Khi chuyển sang dạng ghép nhóm: (1) Xác định các nhóm, (2) Đếm tần số mỗi nhóm - Luôn kiểm tra tổng tần số = số phần tử mẫu