Giải Toán tập 1 trang 62

🔍 Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu ghép nhóm

• Mẫu số liệu ghép nhóm là cách trình bày số liệu thống kê bằng cách chia các giá trị thành các nhóm (khoảng) và đếm tần số của mỗi nhóm.
• Mỗi nhóm có dạng [a; b) hoặc [a; b] với độ dài nhóm = b - a.
• Giá trị đại diện của nhóm [aᵢ; aᵢ₊₁) là: xᵢ = (aᵢ + aᵢ₊₁)/2

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức: x̄ = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mₖxₖ)/n

Trong đó:

• n = m₁ + m₂ + ... + mₖ là cỡ mẫu
• xᵢ = (aᵢ + aᵢ₊₁)/2 là giá trị đại diện của nhóm [aᵢ; aᵢ₊₁)
• mᵢ là tần số của nhóm thứ i

---

⚙️ Bài tập

---

Vận dụng: Bài toán may áo đồng phục

Đề bài: Một công ty may quần áo đồng phục học sinh cho biết cỡ áo theo chiều cao của học sinh được tính như sau:

Công ty muốn ước lượng tỉ lệ các cỡ áo khi may cho học sinh lớp 11 đã đo chiều cao của 36 học sinh nam khối 11 của một trường và thu được mẫu số liệu sau (đơn vị là centimét):

160, 161, 161, 162, 162, 162, 163, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165, 166, 166, 166, 166, 167, 167, 168, 168, 168, 168, 169, 169, 170, 171, 171, 172, 172, 174.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu với các nhóm đã cho ở bảng trên.

b) Công ty may 500 áo đồng phục cho học sinh lớp 11 thì nên may số lượng áo theo mỗi cỡ là bao nhiêu chiếc?

---

Cách 1 — Phương pháp đếm trực tiếp

a) Lập bảng tần số ghép nhóm:

Bước 1: Sắp xếp và đếm số liệu theo từng nhóm chiều cao.

• Nhóm [150; 160) - Cỡ S: Không có giá trị nào → Tần số = 0
• Nhóm [160; 167) - Cỡ M: 160, 161, 161, 162, 162, 162, 163, 163, 163, 164, 164, 164, 164, 165, 165, 165, 165, 165, 166, 166, 166, 166 → Tần số = 22
• Nhóm [167; 170) - Cỡ L: 167, 167, 168, 168, 168, 168, 169, 169 → Tần số = 8
• Nhóm [170; 175) - Cỡ XL: 170, 171, 171, 172, 172, 174 → Tần số = 6
• Nhóm [175; 180) - Cỡ XXL: Không có giá trị nào → Tần số = 0

Bảng tần số ghép nhóm:

Kiểm tra: 0 + 22 + 8 + 6 + 0 = 36 ✓

---

b) Tính số lượng áo cần may:

Bước 1: Tính tỉ lệ phần trăm của mỗi cỡ áo.

• Cỡ S: 0/36 = 0%
• Cỡ M: 22/36 ≈ 61,11%
• Cỡ L: 8/36 ≈ 22,22%
• Cỡ XL: 6/36 ≈ 16,67%
• Cỡ XXL: 0/36 = 0%

Bước 2: Ước lượng số áo cần may cho 500 áo.

• Cỡ S: 500 × 0/36 = 0 chiếc
• Cỡ M: 500 × 22/36 ≈ 305,56 → 306 chiếc
• Cỡ L: 500 × 8/36 ≈ 111,11 → 111 chiếc
• Cỡ XL: 500 × 6/36 ≈ 83,33 → 83 chiếc
• Cỡ XXL: 500 × 0/36 = 0 chiếc

Kiểm tra: 0 + 306 + 111 + 83 + 0 = 500 ✓

Kết quả:

---

Cách 2 — Phương pháp tính theo phân số tối giản

a) Tương tự cách 1.

b) Tính chính xác bằng phân số:

• Cỡ M: 500 × 22/36 = 11000/36 = 2750/9 ≈ 305,56
• Cỡ L: 500 × 8/36 = 4000/36 = 1000/9 ≈ 111,11
• Cỡ XL: 500 × 6/36 = 3000/36 = 250/3 ≈ 83,33

Làm tròn hợp lý để tổng = 500: M: 306, L: 111, XL: 83

💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, bấm: 500 × 22 ÷ 36 = để tính nhanh số áo cỡ M.

⚠️ Lưu ý thi: Khi làm tròn số lượng, cần kiểm tra tổng để đảm bảo đúng yêu cầu đề bài.

---

Bài 3.1

Đề bài: Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm đó.

a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.

b) Thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau:

---

Cách 1 — Phân tích đặc điểm của mẫu số liệu ghép nhóm

Đặc điểm nhận biết mẫu số liệu ghép nhóm:

• Dữ liệu được chia thành các nhóm (khoảng)
• Mỗi nhóm có dạng [a; b) hoặc [a; b]
• Có tần số (số lần xuất hiện) tương ứng với mỗi nhóm

Phân tích:

a) Mẫu số liệu về số tiền cước điện thoại:

✅ Đây LÀ mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải thích:

• Số tiền được chia thành 5 nhóm: [0; 50), [50; 100), [100; 150), [150; 200), [200; 250)
• Mỗi nhóm có độ dài bằng nhau: 50 nghìn đồng
• Tần số tương ứng cho biết số sinh viên trong mỗi nhóm

Đọc mẫu số liệu:

• 5 sinh viên chi từ 0 đến dưới 50 nghìn đồng
• 12 sinh viên chi từ 50 đến dưới 100 nghìn đồng
• 23 sinh viên chi từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng
• 17 sinh viên chi từ 150 đến dưới 200 nghìn đồng
• 3 sinh viên chi từ 200 đến dưới 250 nghìn đồng
• Tổng số sinh viên: 5 + 12 + 23 + 17 + 3 = 60 sinh viên

---

b) Mẫu số liệu về nhiệt độ:

✅ Đây LÀ mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải thích:

• Nhiệt độ được chia thành 4 nhóm: [19; 22), [22; 25), [25; 28), [28; 31)
• Mỗi nhóm có độ dài bằng nhau: 3°C
• Tần số cho biết số ngày có nhiệt độ trong mỗi khoảng

Đọc mẫu số liệu:

• 7 ngày có nhiệt độ từ 19°C đến dưới 22°C
• 15 ngày có nhiệt độ từ 22°C đến dưới 25°C
• 12 ngày có nhiệt độ từ 25°C đến dưới 28°C
• 6 ngày có nhiệt độ từ 28°C đến dưới 31°C
• Tổng: 7 + 15 + 12 + 6 = 40 ngày ✓

---

Cách 2 — So sánh với mẫu số liệu không ghép nhóm

Mẫu số liệu không ghép nhóm là mẫu liệt kê từng giá trị cụ thể (ví dụ: 45, 67, 89, 120...).

Mẫu số liệu ghép nhóm gộp các giá trị vào các khoảng.

→ Cả hai mẫu a) và b) đều có dữ liệu được trình bày theo khoảng nên đều là mẫu số liệu ghép nhóm.

💡 Mẹo nhớ: Khi thấy dữ liệu dạng [a; b) kèm tần số → đó là mẫu số liệu ghép nhóm.

---

Bài 3.2

Đề bài: Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau:

18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22

20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27, 16.

Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với sáu nhóm có độ dài bằng nhau.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Liệt kê lại dữ liệu: 18, 25, 39, 12, 54, 27, 46, 25, 19, 8, 36, 22, 20, 19, 17, 44, 5, 18, 23, 28, 25, 34, 46, 27, 16

• Giá trị nhỏ nhất: min = 5
• Giá trị lớn nhất: max = 54
• Số giá trị: n = 25

Bước 2: Tính độ dài mỗi nhóm.

Khoảng biến thiên: R = max - min = 54 - 5 = 49

Độ dài mỗi nhóm: h = R/6 = 49/6 ≈ 8,17

→ Làm tròn lên: h = 9 (để đảm bảo phủ hết dữ liệu)

Bước 3: Xác định các nhóm.

Bắt đầu từ 5, với độ dài 9:

• Nhóm 1: [5; 14)
• Nhóm 2: [14; 23)
• Nhóm 3: [23; 32)
• Nhóm 4: [32; 41)
• Nhóm 5: [41; 50)
• Nhóm 6: [50; 59)

Bước 4: Đếm tần số của mỗi nhóm.

Sắp xếp dữ liệu: 5, 8, 12, 16, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 22, 23, 25, 25, 25, 27, 27, 28, 34, 36, 39, 44, 46, 46, 54

• [5; 14): 5, 8, 12 → Tần số = 3
• [14; 23): 16, 17, 18, 18, 19, 19, 20, 22 → Tần số = 8
• [23; 32): 23, 25, 25, 25, 27, 27, 28 → Tần số = 7
• [32; 41): 34, 36, 39 → Tần số = 3
• [41; 50): 44, 46, 46 → Tần số = 3
• [50; 59): 54 → Tần số = 1

Kiểm tra: 3 + 8 + 7 + 3 + 3 + 1 = 25 ✓

Bảng tần số ghép nhóm:

---

Cách 2 — Phương pháp dùng độ dài chẵn

Bước 1: Chọn độ dài nhóm là số tròn.

Với khoảng biến thiên R = 49 và 6 nhóm, ta có thể chọn h = 10 để dễ tính toán.

Bước 2: Xác định các nhóm bắt đầu từ 0.

• [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60)

Bước 3: Đếm tần số.

• [0; 10): 5, 8 → Tần số = 2
• [10; 20): 12, 16, 17, 18, 18, 19, 19 → Tần số = 7
• [20; 30): 20, 22, 23, 25, 25, 25, 27, 27, 28 → Tần số = 9
• [30; 40): 34, 36, 39 → Tần số = 3
• [40; 50): 44, 46, 46 → Tần số = 3
• [50; 60): 54 → Tần số = 1

Kiểm tra: 2 + 7 + 9 + 3 + 3 + 1 = 25 ✓

Bảng tần số ghép nhóm (cách 2):

⚠️ Lưu ý: Có nhiều cách chia nhóm hợp lệ, miễn là có đúng 6 nhóm với độ dài bằng nhau.

---

Bài 3.3

Đề bài: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như sau:

653, 632, 609, 572, 565, 535, 516, 514, 508, 505, 504, 504, 503, 499, 496, 492.

(Theo: https://www.premierleague.com/)

Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bằng nhau.

---

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

• Giá trị nhỏ nhất: min = 492
• Giá trị lớn nhất: max = 653
• Số giá trị: n = 16

Bước 2: Tính độ dài mỗi nhóm.

Khoảng biến thiên: R = max - min = 653 - 492 = 161

Độ dài mỗi nhóm: h = R/7 = 161/7 = 23

Bước 3: Xác định các nhóm.

Bắt đầu từ 492, với độ dài 23:

• Nhóm 1: [492; 515)
• Nhóm 2: [515; 538)
• Nhóm 3: [538; 561)
• Nhóm 4: [561; 584)
• Nhóm 5: [584; 607)
• Nhóm 6: [607; 630)
• Nhóm 7: [630; 653]

Bước 4: Đếm tần số của mỗi nhóm.

Sắp xếp dữ liệu: 492, 496, 499, 503, 504, 504, 505, 508, 514, 516, 535, 565, 572, 609, 632, 653

• [492; 515): 492, 496, 499, 503, 504, 504, 505, 508, 514 → Tần số = 9
• [515; 538): 516, 535 → Tần số = 2
• [538; 561): (không có) → Tần số = 0
• [561; 584): 565, 572 → Tần số = 2
• [584; 607): (không có) → Tần số = 0
• [607; 630): 609 → Tần số = 1
• [630; 653]: 632, 653 → Tần số = 2

Kiểm tra: 9 + 2 + 0 + 2 + 0 + 1 + 2 = 16 ✓

Bảng tần số ghép nhóm:

---

Cách 2 — Phương pháp dùng độ dài tròn

Bước 1: Chọn độ dài nhóm là số tròn.

Ta có thể chọn h = 25 để dễ tính toán.

Bước 2: Xác định các nhóm bắt đầu từ 475 (số tròn gần min).

• [475; 500), [500; 525), [525; 550), [550; 575), [575; 600), [600; 625), [625; 650), [650; 675)

Tuy nhiên, cách này cho 8 nhóm nếu tính từ 475 đến 675.

Điều chỉnh: Bắt đầu từ 490:

• [490; 515), [515; 540), [540; 565), [565; 590), [590; 615), [615; 640), [640; 665)

Bước 3: Đếm tần số.

• [490; 515): 492, 496, 499, 503, 504, 504, 505, 508, 514 → Tần số = 9
• [515; 540): 516, 535 → Tần số = 2
• [540; 565): (không có) → Tần số = 0
• [565; 590): 565, 572 → Tần số = 2
• [590; 615): 609 → Tần số = 1
• [615; 640): 632 → Tần số = 1
• [640; 665): 653 → Tần số = 1

Kiểm tra: 9 + 2 + 0 + 2 + 1 + 1 + 1 = 16 ✓

Bảng tần số ghép nhóm (cách 2):

💡 Mẹo nhớ: Công thức tính độ dài nhóm: h = (max - min)/k, trong đó k là số nhóm.

⚠️ Lưu ý thi: Có thể làm tròn độ dài nhóm lên hoặc xuống, miễn là các nhóm phủ hết dữ liệu và có đúng số nhóm yêu cầu.

---

Phần lý thuyết - Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Trang 62 bắt đầu Bài 9 với phần giới thiệu lý thuyết về:

Thuật ngữ:

• Số trung bình
• Trung vị
• Tứ phân vị
• Mốt

Kiến thức, kĩ năng:

• Tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm
• Hiểu ý nghĩa, vai trò của các số đặc trưng của mẫu số liệu thực tế

Công thức số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm:

x̄ = (m₁x₁ + m₂x₂ + ... + mₖxₖ)/n

Trong đó:

• n = m₁ + m₂ + ... + mₖ là cỡ mẫu
• xᵢ = (aᵢ + aᵢ₊₁)/2 là giá trị đại diện của nhóm [aᵢ; aᵢ₊₁)

---

🎯 Ghi nhớ: - Mẫu số liệu ghép nhóm gộp dữ liệu thành các khoảng để dễ phân tích - Độ dài nhóm = (max - min)/số nhóm - Giá trị đại diện của nhóm = trung bình cộng hai đầu mút - Luôn kiểm tra tổng tần số bằng cỡ mẫu