Giải Toán tập 1 trang 8

Tóm tắt lý thuyết

Số đo góc lượng giác (Ou, Ov):

• Một góc hình học uOv có số đo $\alpha$ sẽ ứng với hai góc lượng giác:
• $sđ(Ou, Ov) = \alpha + k360^\circ$ (quay theo chiều dương)
• $sđ(Ov, Ou) = -\alpha + k360^\circ$ (quay theo chiều âm)

Hệ thức Chasles: Với ba tia bất kì Ou, Ov, Ow:

$$sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Hệ quả: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov:

$$sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + k360^\circ$$

Đơn vị đo góc:

• Độ: $1^\circ = 60'$, $1' = 60''$.
• Radian: cung có độ dài bằng bán kính R thì có số đo 1 rad.
• Quan hệ: $360^\circ = 2\pi$ rad, suy ra

$$1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \qquad 1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$$

---

Ví dụ 1: Số đo góc lượng giác khi biết góc hình học

Đề: Cho góc hình học $uOv$ có số đo $60^\circ$. Xác định số đo các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ và $(Ov, Ou)$.

Lời giải (theo sách):

• Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov (quay chiều dương):

$$sđ(Ou, Ov) = 60^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• Góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou (quay chiều âm):

$$sđ(Ov, Ou) = -60^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Giải thích: Hai góc lượng giác có chung "khung" góc hình học $60^\circ$ nhưng ngược chiều quay nên một cái mang dấu dương, một cái mang dấu âm. Thêm $k360^\circ$ để gộp tất cả các vòng quay.

---

Luyện tập 1: Đọc số đo từ hình vẽ

Đề: Cho góc hình học $uOv = 45^\circ$. Xác định số đo góc lượng giác $(Ou, Ov)$ trong mỗi trường hợp.

a) Mũi tên quay từ Ou đến Ov theo chiều dương một cung nhỏ $45^\circ$:

$$sđ(Ou, Ov) = 45^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Hình có vòng quay lớn (đường tròn vẽ quanh O) cho thấy tia quay theo chiều âm, đi "đường vòng" để tới vị trí Ov, tức quay $-315^\circ$:

$$sđ(Ou, Ov) = -315^\circ + k360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Giải thích: Cùng một vị trí tia cuối nhưng cách quay khác nhau (chiều và số vòng) sẽ cho số đo khác nhau, dù tất cả đều cùng họ "sai khác $k360^\circ$". Ở câu b, đi ngược chiều hết phần lớn vòng tròn nên là $-315^\circ$ (lưu ý $-315^\circ + 360^\circ = 45^\circ$, cùng một tia cuối).

---

HĐ2: Nhận biết hệ thức Chasles

Đề: Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo góc hình học $uOv = 30^\circ$ và $vOw = 45^\circ$ (Hình 1.5).

a) Theo hình vẽ (có vòng quay âm lớn cho góc đầu):
$$sđ(Ou, Ov) = -330^\circ, \quad sđ(Ov, Ow) = 45^\circ, \quad sđ(Ou, Ow) = 75^\circ$$

(Vì $-330^\circ + 360^\circ = 30^\circ$ đúng là góc hình học uOv; còn $75^\circ = 30^\circ + 45^\circ$ là tổng hai góc hình học.)

b) Kiểm tra hệ thức:

$$sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = -330^\circ + 45^\circ = -285^\circ$$

$$sđ(Ou, Ow) + k360^\circ = 75^\circ + k360^\circ$$

Cho hai vế bằng nhau: $-285^\circ = 75^\circ + k360^\circ \Rightarrow k360^\circ = -360^\circ \Rightarrow k = -1$.

Vậy tồn tại số nguyên $k = -1$ thỏa mãn, đúng như hệ thức Chasles.

---

Ví dụ 2: Tính số đo nhờ hệ thức Chasles

Đề: Cho góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $-270^\circ$ và $(Ox, Ov)$ có số đo $135^\circ$. Tính số đo các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.

Lời giải:

$$sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + k360^\circ$$

$$= 135^\circ - (-270^\circ) + k360^\circ = 405^\circ + k360^\circ$$

$$= 45^\circ + (k+1)360^\circ = 45^\circ + m360^\circ \quad (m = k+1,\ m \in \mathbb{Z})$$

Vậy $sđ(Ou, Ov) = 45^\circ + m360^\circ \ (m \in \mathbb{Z})$.

Giải thích: Ta tách $405^\circ = 45^\circ + 360^\circ$ rồi gộp $360^\circ$ vào phần $k360^\circ$ để đưa về số đo gọn trong khoảng $[0^\circ; 360^\circ)$.

---

Luyện tập 2: Áp dụng tương tự

Đề: Cho góc lượng giác $(Ox, Ou)$ có số đo $240^\circ$ và $(Ox, Ov)$ có số đo $-270^\circ$. Tính số đo các góc lượng giác $(Ou, Ov)$.

Lời giải:

$$sđ(Ou, Ov) = sđ(Ox, Ov) - sđ(Ox, Ou) + k360^\circ$$

$$= -270^\circ - 240^\circ + k360^\circ = -510^\circ + k360^\circ$$

$$= -150^\circ + (k-1)360^\circ = -150^\circ + m360^\circ \quad (m \in \mathbb{Z})$$

Vậy $sđ(Ou, Ov) = -150^\circ + m360^\circ \ (m \in \mathbb{Z})$, cũng có thể viết là $210^\circ + m360^\circ$.

Kiểm tra: $-510^\circ + 360^\circ = -150^\circ$; và $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$ (cùng một họ).

---

Mục 2: Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn (lý thuyết)

Phần này trang 8 chỉ trình bày lý thuyết, chưa có bài tập. Các ý chính cần nhớ:

Mẹo nhỏ cho em: khi đổi từ độ sang radian thì nhân với $\dfrac{\pi}{180}$, đổi ngược lại thì nhân với $\dfrac{180}{\pi}$. Cứ nhớ "có $\pi$ thì là radian, không có $\pi$ thì là độ" để khỏi nhầm.

Nếu em muốn cô làm thêm phần bài tập của mục 2 (thường nằm ở trang sau), gửi ảnh trang tiếp theo nhé!