Giải Toán tập 1 trang 10

Tóm tắt lý thuyết

Công thức đổi đơn vị giữa độ và radian:

$$\alpha^\circ = \alpha \cdot \frac{\pi}{180}\ \text{rad}\qquad\qquad \alpha\ \text{rad} = \alpha \cdot \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ$$

Độ dài cung tròn:

$$\boxed{l = R\alpha}\quad(\alpha\ \text{tính bằng radian})$$

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính 1, được định hướng (chiều dương ngược kim đồng hồ) và lấy điểm gốc $A(1;0)$.

Bảng giá trị đặc biệt (độ ↔ radian):

---

Luyện tập 3

Đề:
a) Đổi từ độ sang radian: $360^\circ;\ -450^\circ$.
b) Đổi từ radian sang độ: $3\pi;\ -\dfrac{11\pi}{5}$.

Lời giải:

a) Áp dụng $\alpha^\circ = \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180}$ rad:

$$360^\circ = 360 \cdot \frac{\pi}{180} = 2\pi$$

$$-450^\circ = -450 \cdot \frac{\pi}{180} = -\frac{5\pi}{2}$$

b) Áp dụng $\alpha\ \text{rad} = \alpha \cdot \left(\dfrac{180}{\pi}\right)^\circ$:

$$3\pi = 3\pi \cdot \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ = 540^\circ$$

$$-\frac{11\pi}{5} = -\frac{11\pi}{5}\cdot\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ = -\frac{11 \cdot 180}{5} = -396^\circ$$

---

HĐ3: Xây dựng công thức tính độ dài cung tròn

Đề: Cho đường tròn bán kính $R$.
a) Độ dài cung có số đo 1 rad là bao nhiêu?
b) Tính độ dài $l$ của cung có số đo $\alpha$ rad.

Lời giải:

a) Cả đường tròn có số đo $2\pi$ rad và chu vi $2\pi R$. Vì độ dài cung tỉ lệ với số đo, nên cung ứng với 1 rad có độ dài:

$$\frac{2\pi R}{2\pi} = R$$

b) Cung 1 rad dài $R$, nên cung $\alpha$ rad dài:

$$l = R\alpha$$

---

Ví dụ 4 (giải bài toán mở đầu – trạm ISS)

Lời giải trong sách:

• Bán kính quỹ đạo: $R = 6400 + 400 = 6800$ (km).
• Đổi $45^\circ = 45 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}$ rad.
• Quãng đường: $l = R\alpha = 6800 \cdot \dfrac{\pi}{4} \approx 5340{,}708 \approx 5341$ (km).

---

Vận dụng 1: Bài toán máy kéo

Đề: Máy kéo có bánh xe sau đường kính 184 cm, bánh xe trước đường kính 92 cm, chuyển động đều với vận tốc bánh sau là 80 vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi trong 10 phút.
b) Tính vận tốc máy kéo (km/giờ).
c) Tính vận tốc bánh xe trước (vòng/phút).

Lời giải:

a) Mỗi vòng quay, bánh xe sau lăn được một đoạn bằng chu vi của nó:

$$C = \pi d = 184\pi\ (\text{cm})$$

Trong 10 phút bánh sau quay $80 \times 10 = 800$ vòng, nên quãng đường:

$$s = 800 \times 184\pi = 147\,200\pi \approx 462\,433\ \text{cm} \approx 4{,}62\ \text{km}$$

b) Quãng đường 10 phút ≈ 4,62 km, mà 10 phút = $\dfrac{1}{6}$ giờ nên vận tốc:

$$v = 4{,}62 \times 6 \approx 27{,}7\ \text{km/giờ}$$

c) Hai bánh xe lăn cùng quãng đường (gắn trên một xe). Trong 1 phút quãng đường lăn là $80 \times 184\pi$ cm. Bánh trước có chu vi $92\pi$ cm nên số vòng/phút:

$$\frac{80 \times 184\pi}{92\pi} = 80 \times \frac{184}{92} = 80 \times 2 = 160\ \text{vòng/phút}$$

Giải thích: bánh trước nhỏ bằng nửa bánh sau (đường kính 92 so với 184), nên muốn lăn cùng quãng đường nó phải quay gấp đôi → 160 vòng/phút.

---

HĐ4: Nhận biết đường tròn lượng giác

Đề: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn tâm $O$ bán kính 1, gốc $A(1;0)$, chiều dương ngược kim đồng hồ.
a) Xác định điểm $M$ sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \dfrac{5\pi}{4}$.
b) Xác định điểm $N$ sao cho $\text{sđ}(OA, ON) = -\dfrac{7\pi}{4}$.

Lời giải:

a) Đổi sang độ: $\dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ$. Quay từ $A$ ngược chiều kim đồng hồ một góc $225^\circ$ → điểm $M$ nằm ở góc phần tư thứ III (như Hình 1.7).

b) Đổi sang độ: $-\dfrac{7\pi}{4} = -315^\circ$. Quay theo chiều âm (cùng kim đồng hồ) $315^\circ$, kết quả trùng với góc $360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$ → điểm $N$ nằm ở góc phần tư thứ I.

Ghi nhớ định nghĩa: điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc $\alpha$ là điểm $M$ sao cho $\text{sđ}(OA, OM) = \alpha$.

---

Ví dụ 5: Xác định điểm M, N trên đường tròn lượng giác

Đề: Xác định $M$ biểu diễn góc $\dfrac{13\pi}{4}$ và $N$ biểu diễn góc $-150^\circ$.

Lời giải:

Với điểm $M$, tách phần nguyên vòng quay:

$$\frac{13\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi$$

Tức quay đủ 1 vòng ($2\pi$) rồi quay thêm $\dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ$. Vậy $M$ ở vị trí góc $225^\circ$ (góc phần tư thứ III), như Hình 1.8.

Với điểm $N$, quay theo chiều âm $150^\circ$ → $N$ ở góc phần tư thứ III (gần $N$ trong Hình 1.8). Vị trí này tương đương góc $360^\circ - 150^\circ = 210^\circ$.

---

Nếu em muốn mình vẽ minh họa vị trí các điểm trên đường tròn hoặc giải thêm phần "Giá trị lượng giác" tiếp theo, cứ nói nhé!