Giải Toán tập 1 trang 64
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 64–65
(Lưu ý nhỏ: ảnh em gửi là trang 63 và 64 của sách. Thầy giải đầy đủ nội dung trên cả hai trang.)
Tóm tắt lý thuyết
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
$$\overline{x} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_k x_k}{n}$$
trong đó $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm (trung bình cộng hai đầu mút), $m_i$ là tần số nhóm, $n$ là cỡ mẫu.
Trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm
$$M_e = a_p + \frac{\dfrac{n}{2} - (m_1 + \dots + m_{p-1})}{m_p}\cdot (a_{p+1} - a_p)$$
với $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa trung vị, $m_p$ là tần số nhóm đó.
Lưu ý hiệu chỉnh: nhóm rời rạc dạng $k_1\text{-}k_2$ được đưa về $[k_1 - 0{,}5\,;\, k_2 + 0{,}5)$ trước khi tính.
Bài 1: Ví dụ 1 – Cân nặng trung bình lớp 11D
Đề: Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D theo Bảng 3.5.
| Cân nặng | [40,5;45,5) | [45,5;50,5) | [50,5;55,5) | [55,5;60,5) | [60,5;65,5) | [65,5;70,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số HS | 10 | 7 | 16 | 4 | 2 | 3 |
Lời giải
Giá trị đại diện mỗi nhóm là trung bình hai đầu mút: 43, 48, 53, 58, 63, 68.
Cỡ mẫu $n = 42$.
$$\overline{x} = \frac{10\cdot 43 + 7\cdot 48 + 16\cdot 53 + 4\cdot 58 + 2\cdot 63 + 3\cdot 68}{42} \approx 51{,}81 \text{ (kg)}$$
Vậy cân nặng trung bình khoảng 51,81 kg.
Bài 2: Luyện tập 1 – Thời gian xem ti vi
Đề: Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước.
| Thời gian (giờ) | [0;5) | [5;10) | [10;15) | [15;20) | [20;25) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số HS | 8 | 16 | 4 | 2 | 2 |
Lời giải
Giá trị đại diện mỗi nhóm: 2,5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5.
Cỡ mẫu $n = 8 + 16 + 4 + 2 + 2 = 32$.
$$\overline{x} = \frac{8\cdot 2{,}5 + 16\cdot 7{,}5 + 4\cdot 12{,}5 + 2\cdot 17{,}5 + 2\cdot 22{,}5}{32}$$
$$= \frac{20 + 120 + 50 + 35 + 45}{32} = \frac{270}{32} \approx 8{,}44 \text{ (giờ)}$$
Vậy thời gian xem ti vi trung bình khoảng 8,44 giờ/tuần.
Bài 3: HĐ2 – Trung vị thuộc nhóm nào (chiều cao cây na)
Đề: Mẫu số liệu về chiều cao 21 cây na giống.
| Chiều cao (cm) | [0;5) | [5;10) | [10;15) | [15;20) |
|---|---|---|---|---|
| Số cây | 3 | 8 | 7 | 3 |
Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?
Lời giải
Cỡ mẫu $n = 21$ (lẻ), nên trung vị là giá trị $x_{11}$ (vì vị trí $\frac{21+1}{2} = 11$).
Sắp xếp tăng dần:
- $x_1, x_2, x_3$ thuộc [0;5)
- $x_4, \dots, x_{11}$ thuộc [5;10)
Do $x_{11}$ thuộc [5;10) nên trung vị thuộc nhóm [5;10).
Bài 4: Ví dụ 2 – Trung vị thời gian truy cập Internet
Đề: Tính trung vị thời gian (phút) truy cập Internet.
| Thời gian (phút) | [9,5;12,5) | [12,5;15,5) | [15,5;18,5) | [18,5;21,5) | [21,5;24,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số HS | 3 | 12 | 15 | 24 | 2 |
Lời giải
Cỡ mẫu $n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56$.
Trung vị là $\dfrac{x_{28} + x_{29}}{2}$. Cộng dồn tần số: $3, 15, 30, \dots$ → cả $x_{28}, x_{29}$ rơi vào nhóm [15,5;18,5).
Nên nhóm chứa trung vị có $p = 3$: $a_3 = 15{,}5$; $m_3 = 15$; $m_1 + m_2 = 15$; $a_4 - a_3 = 3$.
$$M_e = 15{,}5 + \frac{\dfrac{56}{2} - 15}{15}\cdot 3 = 15{,}5 + \frac{28 - 15}{15}\cdot 3 = 18{,}1$$
Vậy trung vị là 18,1 phút.
Bài 5: Luyện tập 2 – Trung vị tốc độ bóng
Đề: Tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng.
| Tốc độ $v$ (km/h) | Số lần |
|---|---|
| $150 \le v < 155$ | 18 |
| $155 \le v < 160$ | 28 |
| $160 \le v < 165$ | 35 |
| $165 \le v < 170$ | 43 |
| $170 \le v < 175$ | 41 |
| $175 \le v < 180$ | 35 |
Lời giải
Cỡ mẫu $n = 200$, nên $\dfrac{n}{2} = 100$.
Tần số cộng dồn: $18;\ 46;\ 81;\ 124;\ \dots$
Vì $81 < 100 \le 124$ nên trung vị thuộc nhóm $[165;170)$.
Khi đó $a_p = 165$; $m_p = 43$; $m_1 + m_2 + m_3 = 18 + 28 + 35 = 81$; $a_{p+1} - a_p = 5$.
$$M_e = 165 + \frac{100 - 81}{43}\cdot 5 = 165 + \frac{19}{43}\cdot 5 \approx 167{,}21 \text{ (km/h)}$$
Vậy trung vị tốc độ bóng khoảng 167,21 km/h.
Bài 6: HĐ3 – Tứ phân vị $Q_1, Q_3$ thuộc nhóm nào
Đề: Với mẫu số liệu trong HĐ2 (chiều cao cây na), cho biết $Q_1$ và $Q_3$ thuộc nhóm nào.
| Chiều cao (cm) | [0;5) | [5;10) | [10;15) | [15;20) |
|---|---|---|---|---|
| Số cây | 3 | 8 | 7 | 3 |
Lời giải
Cỡ mẫu $n = 21$. Tần số cộng dồn: $3;\ 11;\ 18;\ 21$.
Tìm $Q_1$ (có 25% giá trị nhỏ hơn):
$$\frac{n}{4} = \frac{21}{4} = 5{,}25$$
Vì $3 < 5{,}25 \le 11$ nên $Q_1$ thuộc nhóm [5;10).
Tìm $Q_3$ (có 75% giá trị nhỏ hơn):
$$\frac{3n}{4} = \frac{63}{4} = 15{,}75$$
Vì $11 < 15{,}75 \le 18$ nên $Q_3$ thuộc nhóm [10;15).
Kết luận: $Q_1 \in [5;10)$ và $Q_3 \in [10;15)$.
Tổng kết: thầy đã giải xong toàn bộ ví dụ, luyện tập và hoạt động trên hai trang. Em chú ý quy tắc tìm nhóm chứa trung vị/tứ phân vị: dùng tần số cộng dồn để xác định vị trí $\frac{n}{2}$, $\frac{n}{4}$ hay $\frac{3n}{4}$ rơi vào đâu nhé.