Giải Toán tập 1 trang 66
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 66–67
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị thứ nhất Q₁: Xác định nhóm chứa Q₁ (nhóm thứ p: [aₚ; aₚ₊₁)), sau đó:
Q₁ = aₚ + [(n/4 - (m₁ + ... + mₚ₋₁)) / mₚ] × (aₚ₊₁ - aₚ)
Tứ phân vị thứ ba Q₃: Xác định nhóm chứa Q₃ (nhóm thứ p: [aₚ; aₚ₊₁)), sau đó:
Q₃ = aₚ + [(3n/4 - (m₁ + ... + mₚ₋₁)) / mₚ] × (aₚ₊₁ - aₚ)
Trong đó: n là cỡ mẫu, mₚ là tần số nhóm p.
2. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt): [aⱼ; aⱼ₊₁)
Bước 2: Tính mốt:
Mₒ = aⱼ + [(mⱼ - mⱼ₋₁) / ((mⱼ - mⱼ₋₁) + (mⱼ - mⱼ₊₁))] × h
Trong đó: mⱼ là tần số nhóm j, h là độ dài nhóm, quy ước m₀ = mₖ₊₁ = 0.
💡 Mẹo nhớ: Nhóm chứa mốt = nhóm có tần số CAO NHẤT!
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
⚠️ Lưu ý: Cần tham khảo dữ liệu từ Luyện tập 2 (trang trước). Giả sử dữ liệu Luyện tập 2 là bảng tần số ghép nhóm với cỡ mẫu n = 56 và các nhóm tương tự Ví dụ 3.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (theo công thức SGK)
Bước 1: Xác định vị trí các tứ phân vị
Với cỡ mẫu n = 56:
- Vị trí Q₁: n/4 = 56/4 = 14 → Q₁ nằm giữa x₁₄ và x₁₅
- Vị trí Q₃: 3n/4 = 3×56/4 = 42 → Q₃ nằm giữa x₄₂ và x₄₃
Bước 2: Tính Q₁
Giả sử bảng tần số ghép nhóm:
| Nhóm | Tần số | Tần số tích lũy |
|---|---|---|
| [9,5; 12,5) | m₁ = 3 | 3 |
| [12,5; 15,5) | m₂ = 12 | 15 |
| [15,5; 18,5) | m₃ = 15 | 30 |
| [18,5; 21,5) | m₄ = 24 | 54 |
| [21,5; 24,5) | m₅ = 2 | 56 |
Vị trí 14 thuộc nhóm 2: [12,5; 15,5) vì tần số tích lũy nhóm 1 là 3 < 14 ≤ 15
Áp dụng công thức:
- p = 2, a₂ = 12,5, m₂ = 12
- m₁ = 3, độ dài nhóm = 3
Q₁ = 12,5 + [(14 - 3) / 12] × 3
Q₁ = 12,5 + (11/12) × 3
Q₁ = 12,5 + 2,75
Q₁ = 15,25
Bước 3: Tính Q₃
Vị trí 42 thuộc nhóm 4: [18,5; 21,5) vì 30 < 42 ≤ 54
Áp dụng công thức:
- p = 4, a₄ = 18,5, m₄ = 24
- m₁ + m₂ + m₃ = 3 + 12 + 15 = 30
Q₃ = 18,5 + [(42 - 30) / 24] × 3
Q₃ = 18,5 + (12/24) × 3
Q₃ = 18,5 + 1,5
Q₃ = 20
Cách 2 — Phương pháp nhanh (dùng tính chất)
Mẹo xác định nhanh nhóm chứa tứ phân vị:
- Nhóm chứa Q₁: có khoảng n/4 giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này
- Nhóm chứa Q₃: có khoảng 3n/4 giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này
Với n = 56:
- n/4 = 14 → Tìm nhóm có tần số tích lũy vượt qua 14 → Nhóm [12,5; 15,5)
- 3n/4 = 42 → Tìm nhóm có tần số tích lũy vượt qua 42 → Nhóm [18,5; 21,5)
Kết quả: Q₁ = 15,25 và Q₃ = 20
💡 Mẹo bấm máy: Sau khi xác định đúng nhóm, chỉ cần tính biểu thức đơn giản trên máy tính.
HĐ4 (Hoạt động 4)
Đề bài: Với số liệu cho trong Luyện tập 1:
a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng cho mốt?
Lời giải
Câu a)
Không thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc.
Lý do: Khi số liệu đã được ghép nhóm, ta chỉ biết số lượng giá trị trong mỗi khoảng, không biết chính xác từng giá trị riêng lẻ. Do đó, không thể xác định giá trị nào xuất hiện nhiều nhất trong mẫu gốc.
Câu b)
- Mốt thuộc nhóm có tần số lớn nhất là hợp lí nhất vì nhóm này chứa nhiều giá trị nhất.
- Nên lấy số đại diện trong nhóm để ước lượng cho mốt, cụ thể dùng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm:
Mₒ = aⱼ + [(mⱼ - mⱼ₋₁) / ((mⱼ - mⱼ₋₁) + (mⱼ - mⱼ₊₁))] × h
⚠️ Lưu ý thi: Mốt của mẫu ghép nhóm chỉ là GIÁ TRỊ ƯỚC LƯỢNG, không phải giá trị chính xác!
Luyện tập 3 (Tìm mốt)
Đề bài: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:
| Thời gian (phút) | [0,5; 10,5) | [10,5; 20,5) | [20,5; 30,5) | [30,5; 40,5) | [40,5; 50,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | 2 | 10 | 6 | 4 | 3 |
Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (theo công thức SGK)
Bước 1: Xác định nhóm chứa mốt
So sánh tần số các nhóm:
- Nhóm 1: 2
- Nhóm 2: 10 ← Lớn nhất
- Nhóm 3: 6
- Nhóm 4: 4
- Nhóm 5: 3
→ Nhóm chứa mốt là [10,5; 20,5) với j = 2
Bước 2: Xác định các tham số
- a₂ = 10,5 (đầu mút trái của nhóm chứa mốt)
- m₂ = 10 (tần số nhóm chứa mốt)
- m₁ = 2 (tần số nhóm liền trước)
- m₃ = 6 (tần số nhóm liền sau)
- h = 20,5 - 10,5 = 10 (độ dài nhóm)
Bước 3: Áp dụng công thức
Mₒ = a₂ + [(m₂ - m₁) / ((m₂ - m₁) + (m₂ - m₃))] × h
Mₒ = 10,5 + [(10 - 2) / ((10 - 2) + (10 - 6))] × 10
Mₒ = 10,5 + [8 / (8 + 4)] × 10
Mₒ = 10,5 + (8/12) × 10
Mₒ = 10,5 + (2/3) × 10
Mₒ = 10,5 + 6,67
Mₒ ≈ 17,17 (phút)
Cách 2 — Phương pháp phân tích nhanh
Nhận xét nhanh:
- Nhóm [10,5; 20,5) có tần số 10 > các nhóm khác
- Hiệu tần số với nhóm trước: 10 - 2 = 8
- Hiệu tần số với nhóm sau: 10 - 6 = 4
- Tỉ lệ: 8/(8+4) = 8/12 = 2/3
→ Mốt nằm ở vị trí 2/3 độ dài nhóm tính từ đầu mút trái
Mₒ = 10,5 + (2/3) × 10 = 10,5 + 6,67 ≈ 17,17 phút
Ý nghĩa: Thời gian làm bài phổ biến nhất của học sinh là khoảng 17,17 phút.
💡 Mẹo bấm máy: Bấm trực tiếp: 10.5 + (10-2)/((10-2)+(10-6)) × 10 = 17.1666...
Vận dụng
Đề bài: Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.
⚠️ Lưu ý: Cần tham khảo Bảng 3.1 ở trang trước để có dữ liệu cụ thể.
Hướng dẫn giải (phương pháp chung)
Các số đặc trưng cần tính:
- Số trung bình (X̄): Tính bằng công thức trung bình có trọng số với giá trị đại diện mỗi nhóm
- Trung vị (Mₑ = Q₂): Xác định nhóm chứa trung vị, áp dụng công thức nội suy
- Tứ phân vị Q₁ và Q₃: Áp dụng công thức đã học
- Mốt (Mₒ): Xác định nhóm có tần số lớn nhất, áp dụng công thức
- Phương sai và độ lệch chuẩn: Tính theo công thức cho mẫu ghép nhóm
Giải thích ý nghĩa:
- Số trung bình: Giá trị trung tâm của dữ liệu
- Trung vị: 50% dữ liệu nhỏ hơn giá trị này
- Q₁: 25% dữ liệu nhỏ hơn giá trị này
- Q₃: 75% dữ liệu nhỏ hơn giá trị này
- Mốt: Giá trị xuất hiện phổ biến nhất
- Độ lệch chuẩn: Mức độ phân tán của dữ liệu
🎯 Ghi nhớ: - Tứ phân vị: Chia mẫu thành 4 phần bằng nhau, mỗi phần chứa 25% dữ liệu - Mốt: Tìm nhóm có tần số LỚN NHẤT trước, rồi mới áp dụng công thức - Các số đặc trưng của mẫu ghép nhóm chỉ là giá trị ước lượng cho mẫu số liệu gốc - Công thức mốt có dạng "nội suy tuyến tính" dựa trên chênh lệch tần số với các nhóm lân cận