Giải Toán tập 1 trang 68
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 68–69
Tóm tắt lý thuyết (trang 68 – "Em có biết?")
Trang này hướng dẫn dùng phần mềm Geogebra để tìm tứ phân vị của mẫu ghép nhóm:
- Bước 1: Lập bảng tần số tích luỹ, với $c_i = m_1 + m_2 + \dots + m_{i-1}$.
- Bước 2: Vẽ đồ thị tần số tích luỹ bằng cách nối các điểm $M_1(a_1;0)$, $M_2(a_2;c_1)$, …, $M_{k+1}(a_{k+1};c_k)$.
- Bước 3: Từ các điểm $A_1\left(0;\dfrac{n}{4}\right)$, $A_2\left(0;\dfrac{n}{2}\right)$, $A_3\left(0;\dfrac{3n}{4}\right)$ kẻ tia song song $Ox$ cắt đồ thị, hoành độ giao điểm cho ta $Q_1, Q_2, Q_3$.
Ví dụ minh hoạ (Hình 3.1) cho kết quả $Q_1 = 15{,}25$; $Q_2 = 18{,}1$; $Q_3 = 20$.
Ý chính: tứ phân vị là hoành độ giao điểm giữa đường ngang $y = \frac{n}{4}, \frac{n}{2}, \frac{3n}{4}$ với đồ thị tần số tích luỹ.
Bài 3.4: Quãng đường từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân
Dãy số liệu:
5, 3, 10, 20, 25, 11, 13, 7, 12, 31, 19, 10, 12, 17, 18, 11, 32, 17, 16, 2, 7, 9, 7, 8, 3, 5, 12, 15, 18, 3, 12, 14, 2, 9, 6, 15, 15, 7, 6, 12.
a) Ghép nhóm (độ rộng 5, khoảng đầu [0;5)) và giá trị đại diện
| Nhóm | Tần số | Giá trị đại diện |
|---|---|---|
| [0; 5) | 5 | 2,5 |
| [5; 10) | 11 | 7,5 |
| [10; 15) | 11 | 12,5 |
| [15; 20) | 9 | 17,5 |
| [20; 25) | 1 | 22,5 |
| [25; 30) | 1 | 27,5 |
| [30; 35) | 2 | 32,5 |
(Giá trị đại diện = trung điểm của mỗi nhóm. Tổng tần số = 40 ✓)
b) Số trung bình
Mẫu không ghép nhóm (tổng tất cả số liệu = 476):
$$\bar{x} = \frac{476}{40} = 11{,}9 \text{ (km)}$$
Mẫu ghép nhóm:
$$\bar{x} = \frac{5\cdot2{,}5 + 11\cdot7{,}5 + 11\cdot12{,}5 + 9\cdot17{,}5 + 1\cdot22{,}5 + 1\cdot27{,}5 + 2\cdot32{,}5}{40} = \frac{505}{40} = 12{,}625 \text{ (km)}$$
Giá trị 11,9 km (không ghép nhóm) chính xác hơn, vì được tính trực tiếp từ số liệu gốc; khi ghép nhóm ta đã thay mỗi số liệu bằng giá trị đại diện nên có sai số.
c) Nhóm chứa mốt
Tần số lớn nhất là 11, xuất hiện ở hai nhóm [5; 10) và [10; 15). Vậy mẫu có hai nhóm chứa mốt là [5; 10) và [10; 15).
Bài 3.5: Tuổi thọ của 50 bình ắc quy ô tô
| Tuổi thọ | [2;2,5) | [2,5;3) | [3;3,5) | [3,5;4) | [4;4,5) | [4,5;5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
a) Mốt và ý nghĩa
Tần số lớn nhất là 14 → nhóm chứa mốt là [3; 3,5). Với $L=3,\ f_m=14,\ f_{m-1}=9,\ f_{m+1}=11,\ h=0{,}5$:
$$M_o = L + \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})}\cdot h = 3 + \frac{14-9}{(14-9)+(14-11)}\cdot 0{,}5 = 3 + \frac{5}{8}\cdot0{,}5 \approx 3{,}31$$
Ý nghĩa: tuổi thọ phổ biến nhất của các bình ắc quy là khoảng 3,31 năm.
b) Tuổi thọ trung bình
Dùng trung điểm 2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25; 4,75:
$$\bar{x} = \frac{4\cdot2{,}25 + 9\cdot2{,}75 + 14\cdot3{,}25 + 11\cdot3{,}75 + 7\cdot4{,}25 + 5\cdot4{,}75}{50} = \frac{174}{50} = 3{,}48 \text{ (năm)}$$
Bài 3.6: Điểm thi môn Toán của 60 thí sinh
| Điểm | 0–9 | 10–19 | 20–29 | 30–39 | 40–49 | 50–59 | 60–69 | 70–79 | 80–89 | 90–99 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số TS | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
a) Hiệu chỉnh thành mẫu ghép nhóm
Vì điểm làm tròn đến hàng đơn vị, ta lùi mỗi đầu mút 0,5 để các nhóm liền nhau:
| Nhóm | [-0,5;9,5) | [9,5;19,5) | [19,5;29,5) | [29,5;39,5) | [39,5;49,5) | [49,5;59,5) | [59,5;69,5) | [69,5;79,5) | [79,5;89,5) | [89,5;99,5) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
b) Các tứ phân vị
Bảng tần số tích luỹ ($n = 60$):
| Nhóm | Tần số | Tích luỹ |
|---|---|---|
| [-0,5;9,5) | 1 | 1 |
| [9,5;19,5) | 2 | 3 |
| [19,5;29,5) | 4 | 7 |
| [29,5;39,5) | 6 | 13 |
| [39,5;49,5) | 15 | 28 |
| [49,5;59,5) | 12 | 40 |
| [59,5;69,5) | 10 | 50 |
| [69,5;79,5) | 6 | 56 |
| [79,5;89,5) | 3 | 59 |
| [89,5;99,5) | 1 | 60 |
$Q_1$ (vị trí $\frac{n}{4}=15$, rơi vào [39,5;49,5)):
$$Q_1 = 39{,}5 + \frac{15-13}{15}\cdot10 \approx 40{,}83$$
$Q_2$ (vị trí $\frac{n}{2}=30$, rơi vào [49,5;59,5)):
$$Q_2 = 49{,}5 + \frac{30-28}{12}\cdot10 \approx 51{,}17$$
$Q_3$ (vị trí $\frac{3n}{4}=45$, rơi vào [59,5;69,5)):
$$Q_3 = 59{,}5 + \frac{45-40}{10}\cdot10 = 64{,}5$$
Ý nghĩa: khoảng 25% thí sinh có điểm dưới 40,83; 50% thí sinh có điểm dưới 51,17 (trung vị); và 75% thí sinh có điểm dưới 64,5.
Bài 3.7: Thời gian ngủ của học sinh khối 11
| Thời gian | [4;5) | [5;6) | [6;7) | [7;8) | [8;9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Nam | 6 | 10 | 13 | 9 | 7 |
| Nữ | 4 | 8 | 10 | 11 | 8 |
a) So sánh thời gian ngủ trung bình
Dùng trung điểm 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5.
Nam (tổng 45 bạn):
$$\bar{x}_{nam} = \frac{6\cdot4{,}5 + 10\cdot5{,}5 + 13\cdot6{,}5 + 9\cdot7{,}5 + 7\cdot8{,}5}{45} = \frac{293{,}5}{45} \approx 6{,}52 \text{ (giờ)}$$
Nữ (tổng 41 bạn):
$$\bar{x}_{nữ} = \frac{4\cdot4{,}5 + 8\cdot5{,}5 + 10\cdot6{,}5 + 11\cdot7{,}5 + 8\cdot8{,}5}{41} = \frac{277{,}5}{41} \approx 6{,}77 \text{ (giờ)}$$
Kết luận: các bạn nữ ngủ trung bình nhiều hơn các bạn nam (6,77 giờ so với 6,52 giờ).
b) 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
"75% ngủ ít nhất bao nhiêu giờ" tức là tìm $Q_1$ của toàn khối (75% học sinh ngủ nhiều hơn $Q_1$). Gộp nam và nữ:
| Nhóm | [4;5) | [5;6) | [6;7) | [7;8) | [8;9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 10 | 18 | 23 | 20 | 15 |
| Tích luỹ | 10 | 28 | 51 | 71 | 86 |
$n = 86$, vị trí $\frac{n}{4} = 21{,}5$ rơi vào nhóm [5;6):
$$Q_1 = 5 + \frac{21{,}5 - 10}{18}\cdot1 \approx 5{,}64 \text{ (giờ)}$$
Vậy có 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất khoảng 5,64 giờ mỗi tối.
Hai trang này khép lại chương về số trung bình – mốt – tứ phân vị của mẫu ghép nhóm. Mẹo nhỏ khi làm bài: luôn kiểm tra tổng tần số trước, rồi xác định đúng nhóm chứa mốt/chứa tứ phân vị bằng bảng tần số tích luỹ là sẽ ít sai.