Giải Toán tập 1 trang 72

Tóm tắt lý thuyết

Khái niệm mặt phẳng

• Mặt bảng, màn hình máy tính, mặt nước tĩnh lặng... cho ta hình ảnh về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
• Biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành (hoặc một góc), tên mặt phẳng ghi ở góc hình.
• Kí hiệu mặt phẳng bằng chữ in hoa hoặc chữ Hy Lạp trong ngoặc: $(P)$, $(\alpha)$.
• Điểm thuộc mặt phẳng: $A \in (P)$. Điểm không thuộc: $B \notin (P)$.

Các tính chất thừa nhận (tiên đề)

1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
3. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét: Một mặt phẳng được xác định hoàn toàn khi biết ba điểm không thẳng hàng thuộc nó, kí hiệu $(ABC)$. Các điểm cùng thuộc một mặt phẳng gọi là đồng phẳng.

HĐ1: Hình ảnh về điểm thuộc mặt phẳng

Đề: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc một mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Trả lời: Một số ví dụ thực tế về "điểm nằm trên mặt phẳng":

• Đầu mũi đinh ghim cắm trên bảng gỗ.
• Vết mực chấm trên trang giấy.
• Ngôi sao nhỏ thấy trên bầu trời đêm.
• Hạt bụi đậu trên mặt bàn.
• Bóng đèn nhỏ gắn trên trần nhà phẳng.

HĐ2: Đường thẳng đi qua hai điểm

Đề: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm $A$, $B$ của trụ nhảy thể hiện hình ảnh một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm $A$, $B$ hay không?

Trả lời: Không. Qua hai điểm phân biệt $A$ và $B$ chỉ có duy nhất một đường thẳng. Đây chính là tính chất thừa nhận: "Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt."

Câu hỏi (?): Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?

Trả lời: Có 3 đường thẳng. Với ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, mỗi cặp điểm xác định một đường thẳng:
$$AB,\quad BC,\quad CA$$
Số cách chọn 2 điểm từ 3 điểm là $C_3^2 = 3$.

HĐ3: Mặt phẳng đi qua ba điểm

Đề: Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó mặt màu đỏ có nằm trên mặt bàn hay không?

b) Có thể đặt khối rubik sao cho bốn đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

Lời giải:

a) Có. Ba đỉnh của mặt màu đỏ là ba điểm không thẳng hàng nên xác định duy nhất một mặt phẳng – chính là mặt bàn. Vì cả mặt màu đỏ (tam giác) cũng đi qua ba điểm này nên nó nằm trọn trên mặt bàn.

b) Không. Bốn đỉnh của khối rubik (hình chóp tam giác) là bốn điểm không đồng phẳng, nên không thể có một mặt phẳng nào (mặt bàn) chứa được cả bốn đỉnh.

Câu hỏi (?): Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Trả lời: Có vô số mặt phẳng. Khi ba điểm thẳng hàng, chúng chỉ xác định một đường thẳng, mà qua một đường thẳng có vô số mặt phẳng đi qua. Tính chất "một mặt phẳng duy nhất" chỉ đúng khi ba điểm không thẳng hàng.

Ví dụ 1: Mặt phẳng qua 3 trong 4 điểm không đồng phẳng

Đề: Cho bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng (H.4.5). Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn điểm đã cho?

Lời giải: Vì bốn điểm không đồng phẳng nên không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi bộ ba điểm xác định đúng một mặt phẳng. Số cách chọn 3 điểm từ 4 điểm:
$$C_4^3 = 4$$
Vậy có 4 mặt phẳng: $(DAB)$, $(DAC)$, $(DBC)$ và $(ABC)$.

Luyện tập 1: Mặt phẳng qua 3 đỉnh của tứ giác

Đề: Cho tứ giác $ABCD$. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Lời giải:

Điểm mấu chốt: Tứ giác $ABCD$ là một hình phẳng, nên bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một mặt phẳng (đồng phẳng).

Do đó, bất kỳ ba đỉnh nào trong bốn đỉnh đó cũng cùng thuộc một mặt phẳng duy nhất – chính là mặt phẳng chứa tứ giác $ABCD$.

Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng đi qua ba trong bốn đỉnh của tứ giác.

So sánh: Khác với Ví dụ 1 (4 điểm không đồng phẳng cho 4 mặt phẳng), ở đây 4 đỉnh đồng phẳng nên chỉ có 1 mặt phẳng.

Vận dụng 1: Vì sao đồ vật thường có ba chân

Đề: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nồi...

Lời giải:

Ba điểm tiếp đất của ba chân là ba điểm không thẳng hàng nên luôn xác định một và chỉ một mặt phẳng (theo tính chất thừa nhận). Nhờ vậy:

• Ba chân luôn cùng tiếp xúc với mặt nền, vật đứng vững, không bị lung lay dù mặt nền có hơi gồ ghề.
• Nếu dùng bốn chân (hoặc nhiều hơn), bốn điểm có thể không đồng phẳng, khiến vật bị kênh, lắc lư khi đặt trên nền không thật phẳng.

Đó là lý do toán học khiến thiết kế ba chân được ưa chuộng vì tính ổn định cao.

Một lưu ý nhỏ: hai trang ảnh em gửi thực ra là trang 71 và 72, cô đã giải trọn vẹn toàn bộ nội dung trên đó. Nếu em cần phần trang 73, em chụp thêm giúp cô nhé.