Giải Toán tập 1 trang 74
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 74–75
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Ký hiệu: d ⊂ (P) hoặc (P) ⊃ d
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
- Ký hiệu: d = (P) ∩ (Q)
- Cách xác định giao tuyến: Tìm hai điểm cùng thuộc cả hai mặt phẳng.
3. Cách xác định một mặt phẳng
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.
⚙️ Bài tập
HĐ4
Đề bài: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?
Cách 1 — Áp dụng trực tiếp tính chất
Lời giải:
Gọi mặt bàn là mặt phẳng (P).
- Hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn, nghĩa là hai điểm đầu mút của sợi dây thuộc mặt phẳng (P).
- Khi căng sợi dây, sợi dây tạo thành một đường thẳng nối hai điểm đầu mút.
- Theo tính chất: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Kết luận: Sợi dây nằm trên mặt bàn.
Cách 2 — Giải thích trực quan
Sợi dây khi căng thẳng sẽ tạo thành đoạn thẳng. Vì cả hai đầu đều chạm mặt bàn (mặt phẳng), nên toàn bộ sợi dây phải nằm trong mặt phẳng đó (không thể "nổi lên" hay "chìm xuống" được).
🎯 Ghi nhớ: Đây là tính chất cơ bản nhất để xác định đường thẳng nằm trong mặt phẳng — chỉ cần 2 điểm thuộc mặt phẳng là đủ.
Luyện tập 2
Đề bài: Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
Cách 1 — Áp dụng tính chất đường thẳng nằm trong mặt phẳng
Lời giải:
Bước 1: Xác định vị trí các điểm.
- Điểm M thuộc đường thẳng BC (theo Ví dụ 2).
- Điểm N thuộc đường thẳng AB.
Bước 2: Kiểm tra M và N có thuộc mặt phẳng (ABC) không.
- Đường thẳng BC có hai điểm B, C thuộc mặt phẳng (ABC).
→ Đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (ABC).
→ Điểm M ∈ BC nên M ∈ mặt phẳng (ABC).
- Đường thẳng AB có hai điểm A, B thuộc mặt phẳng (ABC).
→ Đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC).
→ Điểm N ∈ AB nên N ∈ mặt phẳng (ABC).
Bước 3: Kết luận về đường thẳng MN.
Đường thẳng MN có hai điểm phân biệt M, N cùng thuộc mặt phẳng (ABC).
Kết luận: Đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC).
Cách 2 — Lập luận nhanh
Cả M (trên BC) và N (trên AB) đều là các điểm thuộc tam giác ABC, nên chúng đều thuộc mặt phẳng (ABC). Hai điểm thuộc một mặt phẳng thì đường thẳng qua chúng cũng thuộc mặt phẳng đó.
💡 Mẹo nhớ: Bất kỳ điểm nào nằm trên các cạnh (hoặc đường thẳng chứa các cạnh) của tam giác ABC đều thuộc mặt phẳng (ABC).
HĐ5
Đề bài: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?
Cách 1 — Áp dụng tính chất giao tuyến
Lời giải:
- Mặt nước là một mặt phẳng (gọi là mặt phẳng (P)).
- Thành bể là một mặt phẳng khác (gọi là mặt phẳng (Q)).
- Hai mặt phẳng này có điểm chung (tại vị trí mặt nước chạm thành bể).
Theo tính chất: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó.
Kết luận: Mặt nước và thành bể giao nhau theo một đường thẳng.
Cách 2 — Quan sát thực tế
Nhìn vào bể nước, ta thấy vệt nước in trên thành bể luôn tạo thành một đường thẳng nằm ngang. Đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng.
⚠️ Lưu ý thi: Giao tuyến của hai mặt phẳng luôn là đường thẳng (không phải đường cong hay tập hợp rời rạc các điểm).
Luyện tập 3
Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Cách 1 — Tìm hai điểm chung
Lời giải:
Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất.
Điểm S là đỉnh chung của cả hai mặt phẳng:
- S ∈ mặt phẳng (SBM) (vì S là một đỉnh của mặt phẳng này)
- S ∈ mặt phẳng (SCN) (vì S là một đỉnh của mặt phẳng này)
→ S là điểm chung của hai mặt phẳng.
Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai.
Xét trung điểm các cạnh:
- M là trung điểm của AB
- N là trung điểm của AC
Trong tam giác ABC, đoạn MN là đường trung bình, nên MN // BC.
Xét giao điểm của BM và CN:
- BM nằm trong mặt phẳng (SBM)
- CN nằm trong mặt phẳng (SCN)
Vì M, N là trung điểm của AB, AC nên BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Gọi G' là giao điểm của BM và CN trong mặt phẳng (ABC).
- G' ∈ BM ⊂ mặt phẳng (SBM)
- G' ∈ CN ⊂ mặt phẳng (SCN)
→ G' là điểm chung của hai mặt phẳng (chính là trọng tâm G của tam giác ABC).
Bước 3: Kết luận.
Hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) có hai điểm chung là S và G.
Kết luận: Giao tuyến của (SBM) và (SCN) là đường thẳng SG.
Cách 2 — Nhận xét nhanh từ tính chất trọng tâm
- BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC, cắt nhau tại trọng tâm G.
- S là đỉnh chung của cả hai mặt phẳng.
- Vậy giao tuyến đi qua S và G, tức là đường thẳng SG.
💡 Mẹo nhớ: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, luôn tìm 2 điểm chung. Thường một điểm là đỉnh chung (dễ thấy), điểm còn lại tìm bằng cách xét giao của các đường thẳng nằm trong từng mặt phẳng.
HĐ6
Đề bài: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm phân biệt B, C (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?
Cách 1 — Phân tích từng phần
Lời giải:
Phần 1: Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không?
- Điểm A là một trong ba điểm xác định mặt phẳng (ABC).
→ A ∈ mặt phẳng (ABC) ✓
- Đường thẳng d chứa hai điểm B và C.
- B ∈ mặt phẳng (ABC) (vì B là đỉnh của tam giác ABC)
- C ∈ mặt phẳng (ABC) (vì C là đỉnh của tam giác ABC)
- Đường thẳng d có hai điểm B, C thuộc mặt phẳng (ABC).
→ d ⊂ mặt phẳng (ABC) ✓
Kết luận phần 1: Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d.
Phần 2: Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?
- Đường thẳng AB đi qua hai điểm A, B đều thuộc mặt phẳng (ABC).
→ AB ⊂ mặt phẳng (ABC) ✓
- Đường thẳng BC đi qua hai điểm B, C đều thuộc mặt phẳng (ABC).
→ BC ⊂ mặt phẳng (ABC) ✓
Kết luận phần 2: Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC.
Cách 2 — Lập luận tổng quát
Mặt phẳng (ABC) được xác định bởi 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Do đó:
- Mọi điểm trên các cạnh AB, BC, CA đều thuộc mặt phẳng này.
- Đường thẳng d (chứa B, C) chính là đường thẳng BC, nên d nằm trong (ABC).
- Các đường thẳng AB, BC đều nằm trong (ABC).
🎯 Ghi nhớ: Đây là minh họa cho hai cách xác định mặt phẳng: - Cách 1: Một điểm + một đường thẳng không đi qua điểm đó (điểm A và đường thẳng d) - Cách 2: Hai đường thẳng cắt nhau (AB và BC cắt nhau tại B)
⚠️ Lưu ý thi: Các dạng bài về đường thẳng và mặt phẳng thường yêu cầu: 1. Chứng minh điểm/đường thẳng thuộc mặt phẳng 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 3. Xác định mặt phẳng theo các cách khác nhau Luôn nhớ: 2 điểm để xác định đường thẳng nằm trong mặt phẳng, 2 điểm chung để xác định giao tuyến!