Giải Toán tập 1 trang 78
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 78–79
Trang 77 – Bài tập (Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian)
Bài 4.1
Đề: Cho hai đường thẳng $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$. Mệnh đề nào đúng?
| Câu | Nội dung | Kết luận |
|---|---|---|
| a) | $a$ chứa một điểm nằm trong $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$ | Sai |
| b) | $a$ chứa hai điểm phân biệt thuộc $(P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$ | Đúng |
| c) | $a, b$ cùng nằm trong $(P)$ thì giao điểm (nếu có) cũng nằm trong $(P)$ | Đúng |
| d) | $a$ nằm trong $(P)$ và $a$ cắt $b$ thì $b$ nằm trong $(P)$ | Sai |
Giải thích:
- a) Sai: đường thẳng chỉ có 1 điểm chung với $(P)$ thì nó cắt $(P)$, không nằm trong $(P)$.
- b) Đúng: qua 2 điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng; cả 2 điểm thuộc $(P)$ nên đường thẳng đó nằm trọn trong $(P)$.
- c) Đúng: giao điểm thuộc cả $a$ và $b$, mà $a, b \subset (P)$ nên giao điểm thuộc $(P)$.
- d) Sai: $b$ có thể chỉ cắt $(P)$ tại đúng giao điểm với $a$, phần còn lại đâm ra ngoài.
→ Đáp án: b) và c).
Bài 4.2
Đề: Tam giác $ABC$, điểm $S \notin (ABC)$. Lấy $D, E$ lần lượt thuộc $SA, SB$ ($D, E \neq S$).
a) $DE$ có nằm trong $(SAB)$ không?
$D \in SA \subset (SAB)$ và $E \in SB \subset (SAB)$, nên hai điểm $D, E$ đều thuộc $(SAB)$. Vậy đường thẳng $DE \subset (SAB)$. Có.
b) Giả sử $DE$ cắt $AB$ tại $F$. Chứng minh $F$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(CDE)$.
- $F \in AB \subset (SAB) \Rightarrow F \in (SAB)$.
- $F \in DE \subset (CDE)$ (vì $D, E \in (CDE)$) $\Rightarrow F \in (CDE)$.
Vậy $F$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(CDE)$. $\blacksquare$
Bài 4.3
Đề: $(P)$ chứa $a, b$. Đường thẳng $c$ cắt $a, b$ tại hai điểm phân biệt. Chứng minh $c \subset (P)$.
Gọi $c \cap a = A$, $c \cap b = B$ với $A \neq B$.
- $A \in a \subset (P) \Rightarrow A \in (P)$.
- $B \in b \subset (P) \Rightarrow B \in (P)$.
Vậy $c$ chứa hai điểm phân biệt $A, B$ thuộc $(P)$, suy ra $c \subset (P)$. $\blacksquare$
Bài 4.4
Đề: Hình chóp $S.ABCD$, $M \in SC$ ($M \neq S, C$). $AB$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh $MN$ là giao tuyến của $(ABM)$ và $(SCD)$.
Xét điểm chung của hai mặt phẳng:
- $M \in (ABM)$ và $M \in SC \subset (SCD) \Rightarrow M$ là điểm chung.
- $N = AB \cap CD$: $N \in AB \subset (ABM)$ và $N \in CD \subset (SCD) \Rightarrow N$ là điểm chung.
Hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$ có hai điểm chung phân biệt $M, N$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$. $\blacksquare$
Bài 4.5
Đề: Hình chóp $S.ABCD$, $E \in SA$ ($E \neq S, A$). Trong $(ABCD)$ vẽ đường thẳng $d$ cắt $CB, CD$ lần lượt tại $M, N$ và cắt tia $AB, AD$ lần lượt tại $P, Q$.
a) Xác định giao điểm của $\text{mp}(E,d)$ với $SB$, $SD$.
- Với $SB$: Trong mặt phẳng $(SAB)$ có $E \in SA$ và $P \in AB$ (cùng thuộc $(SAB)$), nên đường thẳng $EP$ nằm trong $(SAB)$. Gọi $I = EP \cap SB$. Khi đó $I$ là giao điểm cần tìm.
- Với $SD$: Trong mặt phẳng $(SAD)$ có $E \in SA$ và $Q \in AD$, nên $EQ \subset (SAD)$. Gọi $J = EQ \cap SD$. Khi đó $J$ là giao điểm cần tìm.
b) Giao tuyến của $\text{mp}(E,d)$ với các mặt của hình chóp.
Thiết diện là ngũ giác $E\,I\,M\,N\,J$, với các giao tuyến:
| Mặt | Giao tuyến |
|---|---|
| $(SAB)$ | $EI$ |
| $(SBC)$ | $IM$ |
| $(ABCD)$ | $MN$ (chính là $d$) |
| $(SCD)$ | $NJ$ |
| $(SAD)$ | $JE$ |
Bài 4.6
Đề: Tứ diện $ABCD$. Lấy $M, N, P$ trên $AC, BC, BD$ sao cho $AM=CM$, $BN=CN$, $BP=2DP$.
(Tức $M$ là trung điểm $AC$, $N$ là trung điểm $BC$, còn $P$ chia $BD$ với $BP = 2DP$.)
a) Xác định giao điểm của $CD$ và $(MNP)$.
Xét mặt phẳng $(BCD)$ chứa cả hai đường $NP$ và $CD$ ($N \in BC$, $P \in BD$, $C, D$ là đỉnh). Vì $\dfrac{BN}{NC}=1 \neq \dfrac{BP}{PD}=2$ nên $NP$ không song song $CD$, hai đường cắt nhau tại một điểm.
Gọi $I = NP \cap CD$. Khi đó:
- $I \in CD$.
- $I \in NP \subset (MNP)$.
Vậy $I$ là giao điểm của $CD$ và $(MNP)$ (nằm trên phần kéo dài của $CD$ về phía $D$).
b) Xác định giao tuyến của $(ACD)$ và $(MNP)$.
- $M$: $M \in AC \subset (ACD)$ và $M \in (MNP) \Rightarrow M$ là điểm chung.
- $I$: $I \in CD \subset (ACD)$ và $I \in (MNP) \Rightarrow I$ là điểm chung.
Hai mặt phẳng có hai điểm chung $M, I$, nên giao tuyến là đường thẳng $MI$. $\blacksquare$
Bài 4.7
Đề: Vì sao khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay?
Ba ngón tay (không thẳng hàng) tạo ra ba điểm tựa, mà qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. Mặt phẳng này chính là mặt đỡ khay, giúp khay được giữ cố định, cân bằng và không bị nghiêng. Nếu chỉ dùng 1 hoặc 2 ngón thì chưa đủ xác định một mặt phẳng ổn định, khay dễ chao đảo, rơi đổ.
Bài 4.8
Đề: Vì sao khi dùng bàn cắt giấy thì đường cắt luôn là đường thẳng?
Lưỡi dao có một đầu được cố định vào bàn (một điểm cố định). Khi hạ dao xuống, lưỡi dao quay quanh điểm cố định đó và quét nên một mặt phẳng. Mặt bàn cũng là một mặt phẳng. Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo một đường thẳng, nên giao tuyến của mặt phẳng chứa lưỡi dao và mặt bàn (nơi tờ giấy đặt lên) là một đường thẳng. Do đó đường cắt luôn thẳng.
Trang 78 – Bài 11: Hai đường thẳng song song (phần mở đầu)
Tóm tắt lý thuyết phần 1: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian:
- Nếu $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng thì gọi là đồng phẳng. Khi đó có 3 khả năng:
- $a$ cắt $b$ tại $M$: $a \cap b = \{M\}$.
- $a$ song song $b$: $a \parallel b$ (không có điểm chung).
- $a$ trùng $b$: $a \equiv b$.
- Nếu $a$ và $b$ không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì gọi là chéo nhau.
Gợi ý trả lời HĐ1 (quan sát Hình 4.13 – các tuyến đường giao thông trên cao):
- a) Hai tuyến đường giao nhau: là hai tuyến nằm cùng một mặt phẳng (cùng một tầng đường) và cắt nhau.
- b) Hai tuyến không giao nhau: gồm hai tuyến song song hoặc hai tuyến chéo nhau (ví dụ đường trên cao và đường phía dưới khác tầng).
- c) Hai tuyến song song: hai tuyến cùng một mặt phẳng, cùng hướng, không có điểm chung.
Đây là phần dẫn nhập nên chưa có bài tập tính toán; nội dung chính là làm quen các khái niệm đồng phẳng và chéo nhau.
Nếu bạn gửi tiếp trang 79 (phần tính chất và bài luyện tập của Bài 11) thì mình giải tiếp cho trọn vẹn nhé.