Giải Toán tập 1 trang 80
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 80–81
🔍 Kiến thức cần nhớ
Hai đường thẳng song song trong không gian
- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.
- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Hai đường thẳng chéo nhau
- Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không đồng phẳng (không có điểm chung và không song song).
- Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Tính chất của hai đường thẳng song song
- Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17).
a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (dựa vào định nghĩa)
Câu a)
Phân tích: Các đường thẳng AB, AC, CD đều nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD), nên chúng đồng phẳng. Do đó, không có cặp nào chéo nhau.
Xét từng cặp:
- AB và CD:
- ABCD là hình bình hành ⟹ AB // CD
- Vậy AB và CD song song.
- AB và AC:
- Hai đường thẳng này có điểm chung là A.
- Vậy AB và AC cắt nhau tại A.
- AC và CD:
- Hai đường thẳng này có điểm chung là C.
- Vậy AC và CD cắt nhau tại C.
Kết luận:
- Cặp đường thẳng song song: AB và CD
- Các cặp đường thẳng cắt nhau: AB và AC (tại A), AC và CD (tại C)
Câu b)
Phân tích: Cần xét xem trong ba đường thẳng SA, MN, AB có cặp nào chéo nhau không.
Xét từng cặp:
- SA và AB:
- Hai đường thẳng này có điểm chung là A.
- Vậy SA và AB cắt nhau (không chéo nhau).
- SA và MN:
- M ∈ SA, nên đường thẳng MN đi qua điểm M nằm trên SA.
- Do đó SA và MN có điểm chung là M.
- Vậy SA và MN cắt nhau (không chéo nhau).
- MN và AB:
- MN nằm trong mặt phẳng (SAB) vì M ∈ SA, N ∈ SB.
- AB cũng nằm trong mặt phẳng (SAB) vì A, B ∈ (SAB).
- Do đó MN và AB đồng phẳng.
- Vì M, N là hai điểm trên SA, SB (không phải A, B), nên MN // AB (theo định lý đường trung bình hoặc tính chất đồng dạng trong tam giác SAB).
- Vậy MN và AB song song (không chéo nhau).
Kết luận: Trong ba đường thẳng SA, MN, AB không có hai đường thẳng nào chéo nhau.
Cách 2 — Phương pháp nhanh (xét tính đồng phẳng)
Câu a)
Ba đường thẳng AB, AC, CD cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD) ⟹ đồng phẳng từng đôi một ⟹ không có cặp chéo nhau.
- AB // CD (tính chất hình bình hành)
- AB ∩ AC = {A}
- AC ∩ CD = {C}
Câu b)
Ba đường thẳng SA, MN, AB cùng nằm trong mặt phẳng (SAB):
- M ∈ SA ⊂ (SAB)
- N ∈ SB ⊂ (SAB)
- A, B ∈ (SAB)
⟹ Cả ba đường thẳng đồng phẳng ⟹ Không có cặp nào chéo nhau.
💡 Mẹo nhớ: Để hai đường thẳng chéo nhau, điều kiện cần và đủ là chúng không đồng phẳng. Nếu tìm được một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng thì chúng không thể chéo nhau.
⚠️ Lưu ý thi: Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, cần kiểm tra: 1. Có điểm chung không? (Nếu có ⟹ cắt nhau) 2. Nếu không có điểm chung, có đồng phẳng không? (Đồng phẳng ⟹ song song, không đồng phẳng ⟹ chéo nhau)
Luyện tập 2
Đề bài: Trong hình chóp tứ giác S.ABCD (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:
a) Chéo với đường thẳng SA;
b) Chéo với đường thẳng BC.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản (xét từng cặp đường thẳng)
Các đường thẳng trong hình chóp S.ABCD:
- Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD
- Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA
- Các đường chéo đáy: AC, BD
Câu a) Đường thẳng chéo với SA:
Xét lần lượt các đường thẳng:
| Đường thẳng | Vị trí với SA | Lý do |
|---|---|---|
| SB | Cắt nhau tại S | Có điểm chung |
| SC | Cắt nhau tại S | Có điểm chung |
| SD | Cắt nhau tại S | Có điểm chung |
| AB | Cắt nhau tại A | Có điểm chung |
| AD | Cắt nhau tại A | Có điểm chung |
| BC | Chéo nhau | Không có điểm chung, không đồng phẳng |
| CD | Chéo nhau | Không có điểm chung, không đồng phẳng |
| AC | Cắt nhau tại A | Có điểm chung |
| BD | Chéo nhau | Không có điểm chung, không đồng phẳng |
Kết luận câu a: Các đường thẳng chéo với SA là: BC, CD, BD
Câu b) Đường thẳng chéo với BC:
| Đường thẳng | Vị trí với BC | Lý do |
|---|---|---|
| AB | Cắt nhau tại B | Có điểm chung |
| CD | Song song (nếu ABCD là hình bình hành) hoặc cắt nhau | Đồng phẳng |
| AD | Song song hoặc cắt | Đồng phẳng trong (ABCD) |
| SB | Cắt nhau tại B | Có điểm chung |
| SC | Cắt nhau tại C | Có điểm chung |
| SA | Chéo nhau | Không có điểm chung, không đồng phẳng |
| SD | Chéo nhau | Không có điểm chung, không đồng phẳng |
| AC | Cắt nhau tại C | Có điểm chung |
| BD | Cắt nhau tại B | Có điểm chung |
Kết luận câu b: Các đường thẳng chéo với BC là: SA, SD
Cách 2 — Phương pháp nhanh (loại trừ)
Nguyên tắc: Đường thẳng d chéo với đường thẳng a khi và chỉ khi:
- d không đi qua điểm nào trên a
- d không nằm cùng mặt phẳng với a
Câu a) SA đi qua S và A.
- Loại các đường qua S: SB, SC, SD
- Loại các đường qua A: AB, AD, AC
- Còn lại: BC, CD, BD ⟹ đều chéo với SA ✓
Câu b) BC đi qua B và C.
- Loại các đường qua B: AB, SB, BD
- Loại các đường qua C: CD, SC, AC
- Loại các đường đồng phẳng (ABCD): AD
- Còn lại: SA, SD ⟹ đều chéo với BC ✓
💡 Mẹo nhớ: Trong hình chóp, một cạnh bên thường chéo với các cạnh đáy "đối diện" (không chứa đỉnh chung).
Vận dụng 1
Đề bài: Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?
Cách 1 — Phương pháp phân tích hình học
Phân tích bài toán:
- Mép tường là giao tuyến của hai mặt phẳng (tường và sàn, hoặc tường và tường).
- Chiếc gậy có một đầu trên tường, một đầu trên sàn.
- Cần xét xem gậy có thể song song với mép nào không.
Các loại mép tường:
- Mép tường nằm ngang (giao tuyến tường - trần hoặc tường - sàn): nằm ngang
- Mép tường thẳng đứng (giao tuyến hai bức tường): thẳng đứng
Xét khả năng song song:
- Với mép thẳng đứng:
- Gậy có một đầu trên sàn (thấp) và một đầu trên tường (cao hơn).
- Gậy không thẳng đứng vì hai đầu ở vị trí khác nhau.
- ⟹ Gậy không song song với mép thẳng đứng.
- Với mép nằm ngang (mép tường - sàn):
- Một đầu gậy nằm trên sàn, đầu kia nằm trên tường (cao hơn sàn).
- Gậy nghiêng so với mặt sàn.
- ⟹ Gậy không song song với mép nằm ngang của sàn.
- Với mép nằm ngang (mép tường - trần):
- Tương tự, gậy nghiêng nên không thể song song.
Kết luận: Không thể đặt chiếc gậy song song với bất kỳ mép tường nào.
Cách 2 — Phương pháp lập luận nhanh
Gậy nối một điểm trên mặt phẳng tường với một điểm trên mặt phẳng sàn (hai mặt phẳng vuông góc nhau).
Mép tường là giao tuyến của các mặt phẳng này, nằm ở vị trí cố định (ngang hoặc dọc).
Vì gậy "nghiêng" (một đầu cao, một đầu thấp), nó không thể song song với:
- Mép thẳng đứng (gậy không đứng)
- Mép nằm ngang (gậy không nằm ngang)
Kết luận: Không thể đặt gậy song song với mép tường.
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài vận dụng thực tế yêu cầu mô hình hóa tình huống thành bài toán hình học không gian. Cần xác định rõ các mặt phẳng, đường thẳng liên quan.
HĐ2 (Hoạt động 2)
Đề bài: Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên d (H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.
a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với d?
b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) hay không?
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Câu a)
Trong mặt phẳng (P):
- Có điểm M và đường thẳng d.
- M không nằm trên d.
Theo tiên đề Euclid trong hình học phẳng: Qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Kết luận: Trên mặt phẳng (P) có đúng một đường thẳng đi qua M và song song với d.
Câu b)
Gọi đường thẳng đi qua M và song song với d là d'.
Chứng minh d' ⊂ (P):
- d' // d (giả thiết)
- d ⊂ (P) (giả thiết)
- M ∈ d' và M ∈ (P)
Vì d' song song với d và đi qua điểm M thuộc (P), mà d nằm trong (P), nên d' cũng nằm trong (P).
(Điều này suy ra từ tính chất: nếu một đường thẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng và đi qua một điểm của mặt phẳng đó, thì đường thẳng đó nằm trong mặt phẳng.)
Kết luận: Đường thẳng đi qua M song song với d thuộc mặt phẳng (P).
Cách 2 — Phương pháp phản chứng cho câu b
Giả sử d' không thuộc (P).
Khi đó d' và (P) chỉ có điểm chung là M (vì M ∈ d' và M ∈ (P)).
Nhưng d' // d và d ⊂ (P), nên d' và d không có điểm chung.
Xét mặt phẳng chứa d và d': vì d' // d nên tồn tại mặt phẳng (Q) chứa cả d và d'.
Mặt phẳng (Q) chứa d và điểm M (vì M ∈ d').
Nhưng (P) cũng chứa d và M, mà qua một đường thẳng và một điểm ngoài đường thẳng chỉ có duy nhất một mặt phẳng.
⟹ (Q) ≡ (P) ⟹ d' ⊂ (P). Mâu thuẫn với giả sử.
Kết luận: d' thuộc mặt phẳng (P).
🎯 Ghi nhớ: - Qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó (trong không gian cũng như trong mặt phẳng). - Đường thẳng song song với d và đi qua điểm M thuộc (P) thì nằm trong (P).
HĐ3 (Hoạt động 3)
Đề bài: Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?
Giải
Phân tích:
- Mép trên của bảng là một đường thẳng nằm ngang (gọi là đường thẳng a).
- Cần tìm hai đường thẳng song song với a.
Ví dụ các đường thẳng song song với mép trên bảng:
- Mép dưới của bảng (song song với mép trên)
- Mép trên của cửa ra vào (nằm ngang, cùng độ cao hoặc khác độ cao)
- Giao tuyến của tường và trần (nằm ngang)
- Cạnh bàn học (nếu đặt song song với bảng)
Xét hai đường thẳng b và c cùng song song với a:
- b // a
- c // a
Theo tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
⟹ b // c
Kết luận: Hai đường thẳng cùng song song với mép trên của bảng thì song song với nhau.
💡 Mẹo nhớ: Tính chất bắc cầu của quan hệ song song: - a // b và b // c ⟹ a // c - Đây là tính chất quan trọng, thường dùng để chứng minh hai đường thẳng song song.
🎯 Ghi nhớ tổng kết: 1. Ba vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: - Cắt nhau (có đúng 1 điểm chung) - Song song (đồng phẳng, không có điểm chung) - Chéo nhau (không đồng phẳng) 2. Cách nhận biết hai đường thẳng chéo nhau: Chứng minh chúng không đồng phẳng (không tìm được mặt phẳng chứa cả hai). 3. Tính chất song song: Qua 1 điểm ngoài đường thẳng có đúng 1 đường thẳng song song. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.