HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán tập 1 trang 82

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 82–83

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Đường trung bình của tam giác:

  • Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

2. Dấu hiệu nhận biết hình bình hành:

  • Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
  • Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau.
  • Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

3. Định lí về ba đường giao tuyến:

  • Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian:

  • Cắt nhau (có điểm chung, cùng mặt phẳng)
  • Song song (không có điểm chung, cùng mặt phẳng)
  • Chéo nhau (không cùng mặt phẳng)

⚙️ Bài tập

Luyện tập 3

Đề bài: Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình hành.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng đường trung bình

Bước 1: Xác định vị trí các điểm

Theo Ví dụ 1 trong sách, ta có tứ diện ABCD với E, F là trung điểm của các cạnh.

Bước 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng

Vì C, D là hai đỉnh của tứ diện và E, F nằm trên các cạnh của tứ diện, ta cần xác định mặt phẳng chứa cả bốn điểm.

Nếu EF // CD thì bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một mặt phẳng (vì hai đường thẳng song song xác định một mặt phẳng).

Bước 3: Chứng minh CDFE là hình bình hành

  • Chứng minh CE // DF và CE = DF (hoặc CF // DE và CF = DE)
  • Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác

Kết luận: Tứ giác CDFE là hình bình hành.

Cách 2 — Phương pháp véc-tơ

Chứng minh vec-tơ CD = vec-tơ FE (hoặc CF = DE), từ đó suy ra CDFE là hình bình hành.

Luyện tập 4

Đề bài: Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Cách 1 — Phương pháp tìm điểm chung và đường thẳng song song

Phân tích:

  • Mặt phẳng (SAD) chứa các đường thẳng SA, AD, SD
  • Mặt phẳng (SBC) chứa các đường thẳng SB, BC, SC
  • Đáy ABCD là hình bình hành nên AD // BC

Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng

  • S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC)? → Không, vì S không nằm trên (SBC) trừ khi S thuộc đường thẳng nào đó.

Xét: AD ⊂ (SAD) và BC ⊂ (SBC)

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC.

Bước 2: Xác định giao tuyến

  • Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) không có điểm chung hiển nhiên trên đáy (vì AD và BC song song, không cắt nhau).
  • Cần tìm điểm chung khác.

Xét đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC): SA cắt (SBC) tại S.

Nhưng S ∉ (SBC) theo cách xây dựng thông thường.

Xét lại:

  • Gọi I = AB ∩ CD (không cắt vì ABCD là hình bình hành, AB // CD)

Ta thấy AD // BC, nên theo định lí về giao tuyến:

  • Giao tuyến của (SAD) và (SBC) phải song song với AD và BC.
  • Giao tuyến đi qua S (nếu có điểm chung).

Kết luận: Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD (cũng song song với BC).

Cách 2 — Sử dụng định lí ba giao tuyến

Ba mặt phẳng: (ABCD), (SAD), (SBC)

  • (ABCD) ∩ (SAD) = AD
  • (ABCD) ∩ (SBC) = BC
  • AD // BC

Theo định lí ba giao tuyến: giao tuyến của (SAD) và (SBC) song song với AD và BC, đi qua điểm chung S.

Đáp án: Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S, song song với AD và BC.

Vận dụng 2

Đề bài: Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.

Cách 1 — Giải thích dựa trên tính chất mặt phẳng nước

Phân tích:

  • Bể kính có đáy ABCD là hình chữ nhật
  • Khi đặt nghiêng, mặt nước tạo thành một mặt phẳng nằm ngang (do trọng lực)
  • Đường mép nước AB là giao tuyến của mặt phẳng nước với thành bể

Giải thích:

Bước 1: Mặt nước luôn nằm ngang (song song với mặt đất) do tính chất vật lý của chất lỏng.

Bước 2: Đáy bể ABCD là hình chữ nhật, nên AB // CD.

Bước 3: Mặt phẳng chứa đường mép nước AB và mặt phẳng đáy (chứa CD) đều là các mặt phẳng ngang hoặc có quan hệ song song đặc biệt.

Bước 4: Vì mặt nước cắt hai mặt bên đối diện của bể (các mặt chứa AB và CD), và hai mặt này song song với nhau, nên các giao tuyến (đường mép nước) song song với nhau.

Kết luận: Đường mép nước AB song song với cạnh CD.

Cách 2 — Sử dụng định lí về giao tuyến

Gọi (α) là mặt phẳng nước, (β) là mặt phẳng chứa mặt trước bể, (γ) là mặt phẳng đáy bể.

  • (β) // mặt phẳng chứa CD (hai mặt đối diện của hình hộp)
  • AB = (α) ∩ (β)
  • CD ⊂ (γ)

Vì hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng thứ ba theo hai giao tuyến song song, nên AB // CD.

💡 Ghi nhớ: Khi một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì hai giao tuyến song song với nhau.

Bài 4.9

Đề bài: Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song.

b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.

d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Lời giải chi tiết

Câu a) SAI

Giải thích: Trong không gian, hai đường thẳng không cắt nhau có thể:

  • Song song với nhau (cùng mặt phẳng, không có điểm chung)
  • Chéo nhau (không cùng mặt phẳng)

Phản ví dụ: Hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD không cắt nhau nhưng chéo nhau, không song song.

Câu b) ĐÚNG

Giải thích:

  • Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
  • Đây chính là định nghĩa của hai đường thẳng chéo nhau.

Kết luận: Mệnh đề đúng theo định nghĩa.

Câu c) ĐÚNG

Giải thích:

  • Nếu a // c và b // c thì a và b cùng song song với c.
  • Theo định lí: Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau (hoặc trùng nhau).

Lưu ý: Nếu xét trường hợp a và b trùng nhau thì mệnh đề vẫn đúng (song song bao gồm trường hợp trùng nhau trong một số định nghĩa). Thông thường, ta hiểu a // b.

Kết luận: Mệnh đề đúng.

Câu d) SAI

Giải thích:

  • a cắt b và b cắt c không đảm bảo a cắt c.
  • a và c có thể chéo nhau hoặc song song.

Phản ví dụ:
Trong hình chóp S.ABC:

  • SA cắt SB (tại S)
  • SB cắt AC (giả sử tại điểm nào đó)
  • Nhưng SA và BC có thể chéo nhau

Hoặc đơn giản hơn: Trong hệ trục Oxyz:

  • a: trục Ox, b: trục Oy, c: đường thẳng song song Ox qua điểm (0, 1, 1)
  • a cắt b tại O
  • b cắt c (cùng trong mặt phẳng y, z thay đổi)
  • a và c song song (không cắt)

Kết luận: Mệnh đề sai.

Đáp án tổng hợp:

  • a) Sai
  • b) Đúng
  • c) Đúng
  • d) Sai
⚠️ Lưu ý thi: Câu a) và d) là các lỗi sai phổ biến. Trong không gian 3 chiều, cần luôn xét thêm trường hợp hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 4.10

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?

a) AB và CD

b) AC và BD

c) SB và CD

Lời giải chi tiết

Câu a) AB và CD

Phân tích:

  • ABCD là hình bình hành
  • Trong hình bình hành, AB // CD và AB = CD

Kết luận: AB và CD song song với nhau.

Câu b) AC và BD

Phân tích:

  • AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD
  • Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Kết luận: AC và BD cắt nhau (tại tâm O của hình bình hành).

Câu c) SB và CD

Phân tích:

  • SB nằm trong mặt phẳng (SBC)
  • CD nằm trong mặt phẳng (ABCD) - đáy
  • Cần xét xem SB và CD có điểm chung không và có cùng mặt phẳng không

Xét điểm chung:

  • SB đi qua S và B
  • CD đi qua C và D
  • S không thuộc mặt phẳng đáy, nên S ∉ CD
  • B ∉ CD (vì B, C, D là ba đỉnh khác nhau của hình bình hành)

→ SB và CD không có điểm chung.

Xét cùng mặt phẳng:

  • Giả sử SB và CD cùng thuộc một mặt phẳng (α)
  • Khi đó S, B, C, D ∈ (α)
  • Nhưng B, C, D cùng thuộc mặt đáy (ABCD)
  • Và S không thuộc mặt đáy
  • Nếu S, B, C, D đồng phẳng thì (α) phải chứa 3 điểm B, C, D của đáy
  • Điều này chỉ xảy ra khi (α) ≡ (BCD)
  • Nhưng S ∉ (BCD) = (ABCD) vì S là đỉnh chóp

→ SB và CD không cùng mặt phẳng.

Kết luận: SB và CD chéo nhau.

Đáp án tổng hợp:

Cặp đường thẳngQuan hệ
AB và CDSong song
AC và BDCắt nhau
SB và CDChéo nhau
💡 Mẹo nhớ: Trong hình chóp có đáy là hình bình hành: - Các cạnh đáy đối nhau: song song - Đường chéo đáy: cắt nhau - Cạnh bên và cạnh đáy không cùng đỉnh: thường chéo nhau

Bài 4.11

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Cách 1 — Sử dụng đường trung bình tam giác

Bước 1: Xét tam giác SAB

  • M là trung điểm SA
  • N là trung điểm SB
  • → MN là đường trung bình của tam giác SAB
  • → MN // AB và MN = (1/2)AB

Bước 2: Xét tam giác SCD

  • P là trung điểm SC
  • Q là trung điểm SD
  • → PQ là đường trung bình của tam giác SCD (xét theo thứ tự Q, P)
  • Đúng hơn: QP là đường trung bình của tam giác SDC
  • → QP // DC và QP = (1/2)DC

Bước 3: Sử dụng tính chất hình bình hành ABCD

  • Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD
  • → DC // AB và DC = AB

Bước 4: So sánh MN và QP

  • MN // AB và QP // DC
  • Mà AB // DC
  • → MN // QP
  • MN = (1/2)AB và QP = (1/2)DC = (1/2)AB
  • → MN = QP

Bước 5: Kết luận

Tứ giác MNPQ có:

  • MN // QP
  • MN = QP

→ MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu: có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Cách 2 — Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Bước 1: Xét đường chéo MP

  • M là trung điểm SA, P là trung điểm SC
  • Trong tam giác SAC, MP là đường trung bình
  • → MP // AC và MP = (1/2)AC

Bước 2: Xét đường chéo NQ

  • N là trung điểm SB, Q là trung điểm SD
  • Trong tam giác SBD, NQ là đường trung bình
  • → NQ // BD và NQ = (1/2)BD

Bước 3: Tìm giao điểm

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD (giao điểm AC và BD).
Gọi I là trung điểm SO.

  • Trong tam giác SAC: MP qua trung điểm SA và song song AC
  • Trung điểm của MP nằm trên đường nối S với trung điểm AC (là O)
  • Trong tam giác SBD: NQ qua trung điểm SB và song song BD
  • Trung điểm của NQ nằm trên đường nối S với trung điểm BD (cũng là O)
  • Gọi I là trung điểm SO, ta chứng minh I là trung điểm của cả MP và NQ.

Kết luận: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → MNPQ là hình bình hành.

🎯 Ghi nhớ: Khi chứng minh tứ giác là hình bình hành trong không gian, thường dùng: - Đường trung bình tam giác để chứng minh các cạnh song song và bằng nhau - Hoặc chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Bài 4.12

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang.

Cách 1 — Sử dụng đường trung bình

Bước 1: Xét tam giác SAB

  • M là trung điểm SA
  • N là trung điểm SB
  • → MN là đường trung bình của tam giác SAB
  • → MN // AB và MN = (1/2)AB

Bước 2: Sử dụng giả thiết

  • Theo đề bài: AB // CD

Bước 3: Suy luận

  • MN // AB (từ bước 1)
  • AB // CD (giả thiết)
  • → MN // CD (quan hệ bắc cầu của song song)

Bước 4: Kết luận

Tứ giác MNCD có MN // CD

→ MNCD là hình thang (có đúng một cặp cạnh đối song song).

Kiểm tra: MC và ND có song song không?

  • MC nối M (trung điểm SA) với C
  • ND nối N (trung điểm SB) với D
  • Nói chung MC và ND không song song (trừ trường hợp đặc biệt)

→ MNCD là hình thang với hai đáy là MN và CD.

Cách 2 — Phương pháp véc-tơ

Chọn S làm gốc. Đặt vec-tơ SA = a, SB = b, SC = c, SD = d.

  • M là trung điểm SA → SM = (1/2)a
  • N là trung điểm SB → SN = (1/2)b

Vec-tơ MN = SN - SM = (1/2)b - (1/2)a = (1/2)(b - a)

Vec-tơ AB = SB - SA = b - a

→ MN = (1/2)AB → MN // AB

Mà AB // CD → MN // CD

→ MNCD là hình thang.

⚠️ Lưu ý: Hình thang có đúng một cặp cạnh đối song song. Cần kiểm tra cặp còn lại (MC và ND) không song song để khẳng định đây là hình thang chứ không phải hình bình hành.

Bài 4.13

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và (SCD).

b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.

Câu a) Xác định giao tuyến của (MAB) và (SCD)
Cách 1 — Tìm điểm chung và đường thẳng song song

Bước 1: Phân tích hai mặt phẳng

  • Mặt phẳng (MAB) chứa: điểm M, đường thẳng AB
  • Mặt phẳng (SCD) chứa: điểm S, C, D và đường thẳng CD

Bước 2: Tìm điểm chung

  • M là trung điểm SD → M ∈ (SCD) (vì M nằm trên SD)
  • M ∈ (MAB) (theo định nghĩa)
  • → M là điểm chung của (MAB) và (SCD)

Bước 3: Tìm phương của giao tuyến

  • AB ⊂ (MAB)
  • CD ⊂ (SCD)
  • Mà AB // CD (giả thiết)

Theo tính chất: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và mỗi mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng song song, thì giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

→ Giao tuyến của (MAB) và (SCD) song song với AB và CD.

Bước 4: Kết luận

Giao tuyến của (MAB) và (SCD) là đường thẳng qua M và song song với AB (cũng song song với CD).

Cách 2 — Sử dụng định lí ba giao tuyến

Xét ba mặt phẳng: (ABCD), (MAB), (SCD)

  • (ABCD) ∩ (MAB) = AB
  • (ABCD) ∩ (SCD) = CD
  • AB // CD

Theo định lí ba giao tuyến: (MAB) ∩ (SCD) // AB // CD

Giao tuyến qua M (điểm chung đã tìm).

Đáp án: Giao tuyến là đường thẳng qua M, song song với AB và CD.

Câu b) Chứng minh MN là đường trung bình của tam giác SCD
Cách 1 — Xác định vị trí N rồi chứng minh

Bước 1: Xác định điểm N

  • N là giao điểm của SC và (MAB)
  • Từ câu a), giao tuyến của (MAB) và (SCD) là đường thẳng d qua M, song song với CD
  • N ∈ SC và N ∈ (MAB)
  • Mà SC ⊂ (SCD), nên N ∈ (MAB) ∩ (SCD) = d

→ N nằm trên đường thẳng d (đường qua M song song với CD)

Bước 2: Xác định chính xác vị trí N trên SC

  • N ∈ SC
  • N ∈ d (đường qua M song song CD)

Trong mặt phẳng (SCD):

  • Đường thẳng d qua M (trung điểm SD) và song song với CD
  • d cắt SC tại N

Theo định lí đường trung bình (ngược): Trong tam giác SCD, đường thẳng qua trung điểm một cạnh (M là trung điểm SD) và song song với cạnh đáy (CD) sẽ đi qua trung điểm cạnh còn lại.

→ N là trung điểm SC

Bước 3: Kết luận

  • M là trung điểm SD
  • N là trung điểm SC
  • → MN là đường trung bình của tam giác SCD

(Đường trung bình nối trung điểm hai cạnh của tam giác)

Cách 2 — Chứng minh trực tiếp bằng tính chất

Trong tam giác SCD:

  • M là trung điểm SD (giả thiết)
  • MN // CD (vì MN nằm trên giao tuyến d // CD)

Theo định lí: Trong tam giác, đường thẳng qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

→ N là trung điểm SC

→ MN là đường trung bình của tam giác SCD (nối trung điểm hai cạnh SC và SD).

Hệ quả: MN // CD và MN = (1/2)CD

🎯 Ghi nhớ: Để tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, ta thường: 1. Tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng với mặt phẳng đã cho 2. Giao điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng với giao tuyến

HĐ4 (Hoạt động 4)

Đề bài: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo các giao tuyến a và b khác c.

a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.

b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.

Câu a)

Đề bài: Nếu a và c cắt nhau tại M thì b có đi qua M không?

Lời giải

Bước 1: Phân tích vị trí điểm M

  • c = (P) ∩ (Q) → M ∈ c → M ∈ (P) và M ∈ (Q)
  • a = (P) ∩ (R)
Chế độ đọc sách →