Giải Toán tập 1 trang 12

Hai trang này thuộc bài về Giá trị lượng giác của góc lượng giác (sách Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các bài tập có trên trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Cho điểm $M(x; y)$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha$:

• $\cos\alpha = x$ (hoành độ của $M$)
• $\sin\alpha = y$ (tung độ của $M$)
• $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{y}{x}$ (khi $\cos\alpha \neq 0$)
• $\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{x}{y}$ (khi $\sin\alpha \neq 0$)

Một số tính chất cần nhớ:

• $-1 \le \sin\alpha \le 1$; $\quad -1 \le \cos\alpha \le 1$
• $\sin(\alpha + k2\pi) = \sin\alpha$; $\quad \cos(\alpha + k2\pi) = \cos\alpha \ (k\in\mathbb{Z})$
• $\tan\alpha$ xác định khi $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
• $\cot\alpha$ xác định khi $\alpha \neq k\pi$

Bảng dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư:

Bài 1: Luyện tập 4 (biểu diễn góc $-\dfrac{15\pi}{4}$ và $420^\circ$)

Đề: Xác định các điểm $M$ và $N$ trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng $-\dfrac{15\pi}{4}$ và $420^\circ$.

Lời giải:

Điểm $M$ ứng với góc $-\dfrac{15\pi}{4}$. Ta cộng thêm bội của $2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$ để đưa về góc giữa $0$ và $2\pi$:

$$-\frac{15\pi}{4} + 2\cdot 2\pi = -\frac{15\pi}{4} + \frac{16\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$$

Vậy $M$ trùng với điểm biểu diễn góc $\dfrac{\pi}{4}$ (tức $45^\circ$), nằm ở góc phần tư thứ I, là điểm chính giữa cung $AB$.

Điểm $N$ ứng với góc $420^\circ$:

$$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ.$$

Vậy $N$ trùng với điểm biểu diễn góc $60^\circ$, nằm ở góc phần tư thứ I.

Bài 2: Ví dụ 5 (góc $-\dfrac{\pi}{3}$) — đã có lời giải mẫu

Đề: Cho góc lượng giác có số đo bằng $-\dfrac{\pi}{3}$.
a) Xác định điểm $M$ biểu diễn góc đó.
b) Tính các giá trị lượng giác.

Lời giải (theo sách):

a) Góc $-\dfrac{\pi}{3} = -60^\circ$, quay theo chiều âm (chiều kim đồng hồ) một góc $60^\circ$ nên $M$ nằm ở góc phần tư thứ IV (Hình 1.11).

b)

$$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}; \quad \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2};$$

$$\tan\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)} = -\sqrt{3}; \quad \cot\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Giải thích dấu: ở góc phần tư IV thì $\cos > 0$, còn $\sin, \tan, \cot$ đều mang dấu âm — đúng với bảng dấu ở trên.

Bài 3: Luyện tập 4 (góc $\dfrac{5\pi}{6}$)

Đề: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\dfrac{5\pi}{6}$.
a) Xác định điểm $M$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc đó.
b) Tính các giá trị lượng giác.

Lời giải:

a) Đổi sang độ: $\dfrac{5\pi}{6} = 150^\circ$. Vì $90^\circ < 150^\circ < 180^\circ$ nên $M$ nằm ở góc phần tư thứ II.

Điểm $M$ xác định bằng cách quay từ tia $OA$ theo chiều dương một góc $150^\circ$. Tọa độ của $M$ là:

$$M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\ \frac{1}{2}\right).$$

b) Từ tọa độ điểm $M$, hoặc dùng góc liên quan $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$:

$$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; \quad \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2};$$

$$\tan\frac{5\pi}{6} = \frac{\sin\frac{5\pi}{6}}{\cos\frac{5\pi}{6}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$

$$\cot\frac{5\pi}{6} = \frac{\cos\frac{5\pi}{6}}{\sin\frac{5\pi}{6}} = \frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}} = -\sqrt{3}.$$

Kiểm tra dấu: góc phần tư II có $\sin > 0$, còn $\cos, \tan, \cot < 0$ — khớp với bảng dấu.

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (cần thuộc lòng)

Mẹo nhớ: dòng $\sin$ đi theo thứ tự $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ — rồi dòng $\cos$ đọc ngược lại.

Một lưu ý nhỏ: ảnh bạn gửi thực ra là trang 11 và 12 của sách (theo số trang ở góc dưới), mình đã giải đầy đủ toàn bộ nội dung trên hai trang đó.