Giải Toán tập 1 trang 84
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 84–85
Mình xem kỹ hai ảnh thì thấy đây thực ra là trang 83 và 84 (góc dưới có đánh số 83 và 84), chứ không phải 84–85. Mình giải theo đúng nội dung trong ảnh nhé.
Trang 83 có hai bài tập 4.14, 4.15 và mục đọc thêm "Em có biết?". Trang 84 là mở đầu Bài 12, chỉ có phần lý thuyết, chưa có bài tập.
Bài 4.14: Giao tuyến của hai mặt phẳng và quan hệ song song
Đề bài:
Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $CD$ và $P$ là một điểm thuộc cạnh $AC$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$ và chứng minh giao tuyến đó song song với $BD$.
Lời giải từng bước:
Bước 1 — Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.
Xét trong mặt phẳng $(ABC)$:
- Đường thẳng $AM$ nằm trong $(AMN)$.
- Đường thẳng $BP$ nằm trong $(BPD)$.
Hai đường $AM$ và $BP$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ ($A, M, B, P$ đều thuộc $(ABC)$ vì $M \in BC$, $P \in AC$), nên chúng cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm đó là $I$:
$$I = AM \cap BP.$$
Vì $I \in AM \subset (AMN)$ và $I \in BP \subset (BPD)$ nên $I$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(BPD)$.
Bước 2 — Xét quan hệ song song.
$M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$:
$$MN \parallel BD.$$
Ta có:
- $MN \subset (AMN)$ và $MN \parallel BD$,
- $BD \subset (BPD)$,
- Hai mặt phẳng $(AMN)$, $(BPD)$ có điểm chung $I$.
Theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: giao tuyến của $(AMN)$ và $(BPD)$ phải song song với cả $MN$ và $BD$.
Bước 3 — Kết luận.
Giao tuyến của $(AMN)$ và $(BPD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $I$ và song song với $BD$ (và với $MN$):
$$d = (AMN) \cap (BPD), \quad I \in d, \quad d \parallel BD.$$
Bài 4.15: Đố vui về hai cánh cửa sổ
Đề bài:
Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao. Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?
Lời giải:
Trường hợp 1 — Cánh cửa hình chữ nhật.
Mỗi cánh cửa quay quanh một mép trong (mép gắn vào tường) cố định. Hai mép trong này:
- cùng nằm trên mặt tường,
- cùng thẳng đứng (cùng vuông góc với mặt đất),
nên hai mép trong song song với nhau.
Vì mỗi cánh cửa là hình chữ nhật nên mép ngoài luôn song song với mép trong của chính cánh cửa đó (hai cạnh đối của hình chữ nhật). Do đó:
$$\text{mép ngoài 1} \parallel \text{mép trong 1} \parallel \text{mép trong 2} \parallel \text{mép ngoài 2}.$$
Theo tính chất bắc cầu, hai mép ngoài luôn song song với nhau, không phụ thuộc vào việc mở cửa ở vị trí nào. Đây chính là lý do hai mép ngoài luôn thẳng đứng và song song.
Trường hợp 2 — Cánh cửa hình thang.
Lúc này mép ngoài của mỗi cánh cửa là cạnh xiên, không song song với mép trong (mép quay) thẳng đứng nữa, nên ta không thể lập luận như trên.
Khi cánh cửa quay quanh mép trong thẳng đứng, mép ngoài luôn tạo với trục quay (mép trong) một góc nghiêng không đổi. Vì vậy khi quay, hướng của mỗi mép ngoài "quét" theo một mặt nón có trục thẳng đứng và cùng độ mở góc. Hai mặt nón hướng này có chung trục và chung góc, nên chúng có những hướng chung.
Kết luận: Có. Vẫn tồn tại những vị trí mở cửa mà ở đó hai mép ngoài của hai cánh cửa hình thang song song với nhau, nhưng khác với hình chữ nhật, điều này chỉ xảy ra ở một số vị trí nhất định chứ không phải mọi vị trí.
Phần "Em có biết?" (đọc thêm, không có bài tập)
Tóm tắt nhanh để các em nắm ý:
- Cố định một đường thẳng đứng $\Delta$, cho đường thẳng $d$ quay quanh $\Delta$.
- Nếu $d \parallel \Delta$ → tạo ra mặt trụ; nếu $d$ cắt $\Delta$ → tạo ra mặt nón (H.4.31).
- Nếu $d$ và $\Delta$ chéo nhau → tạo ra mặt hypebol (hyperboloid), một "dạng 3D" của đường hypebol học ở lớp 10 (H.4.32). Cắt mặt này bởi mặt phẳng đi qua trục $\Delta$ thì vết cắt là một đường hypebol (H.4.33).
- Mặt hypebol xuất hiện nhiều trong kiến trúc, xây dựng và có thể "dựng" được bằng các nan tre thẳng, que tính, đũa...
Trang 84 – Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song (lý thuyết mở đầu)
Trang này mới bắt đầu bài học, chưa có bài tập. Mình tóm tắt phần lý thuyết:
Mục tiêu của bài: nhận biết và giải thích điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng, các tính chất cơ bản, và liên hệ thực tiễn (ví dụ dây căng khi xây tường gạch).
Vị trí tương đối của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ — có 3 trường hợp:
| Trường hợp | Số điểm chung | Kí hiệu |
|---|---|---|
| $d$ song song với $(\alpha)$ | Không có điểm chung | $d \parallel (\alpha)$ hay $(\alpha) \parallel d$ |
| $d$ cắt $(\alpha)$ | Có đúng một điểm chung $M$ | $d \cap (\alpha) = \{M\}$ |
| $d$ nằm trong $(\alpha)$ | Có nhiều hơn một điểm chung | $d \subset (\alpha)$ hay $(\alpha) \supset d$ |
Đây là kiến thức nền để sang các phần sau xét điều kiện song song và các định lý liên quan. Khi sang trang có bài tập của Bài 12, các em gửi mình giải tiếp nhé.