Giải Toán tập 1 trang 86

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 86–87

Hai trang này thuộc bài "Đường thẳng và mặt phẳng song song" (Hình học không gian lớp 11, bộ Kết nối tri thức). Mình sẽ tóm tắt lý thuyết và giải chi tiết tất cả câu hỏi, ví dụ, luyện tập có trên trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Có ba vị trí tương đối của đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$:

$a$ và $(P)$ có hai điểm chung trở lên → $a$ nằm trong $(P)$.
$a$ và $(P)$ có đúng một điểm chung → $a$ cắt $(P)$.
$a$ và $(P)$ không có điểm chung → $a$ song song với $(P)$, kí hiệu $a \parallel (P)$.

Hai tính chất quan trọng:

Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong $(P)$ và song song với một đường thẳng nằm trong $(P)$ thì $a \parallel (P)$.
Cho $a \parallel (P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b \parallel a$.

Câu hỏi (mở đầu mục)

Đề: Hãy chỉ ra một hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng trong bức ảnh cầu Long Biên (H.4.34).

Trả lời: Hình ảnh các thanh thép dọc nằm ngang của thành cầu (hoặc mặt đường ray) là những đường thẳng song song với mặt nước sông Hồng (xem như một mặt phẳng nằm ngang). Chúng không cắt mặt nước nên song song với mặt phẳng đó.

Ví dụ 1

Đề: Cho hình tứ diện $ABCD$. Trong các mặt phẳng chứa các mặt của tứ diện, cho biết:
a) Đường thẳng $AB$ cắt các mặt phẳng nào;
b) Đường thẳng $AB$ nằm trong các mặt phẳng nào.

Lời giải (đã có trong sách):

a) $AB$ cắt các mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.
b) $AB$ nằm trong các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$.

Giải thích: Bốn mặt của tứ diện là $(ABC), (ABD), (ACD), (BCD)$. Đường $AB$ đi qua hai đỉnh $A$ và $B$ nên nó nằm trọn trong những mặt chứa cả $A$ lẫn $B$, đó là $(ABC)$ và $(ABD)$. Với mặt $(ACD)$, đường $AB$ chỉ có điểm chung là $A$; với mặt $(BCD)$ chỉ có điểm chung là $B$, nên $AB$ cắt hai mặt này.

Luyện tập 1

Đề: Trong Ví dụ 1, đường thẳng $AC$ cắt các mặt phẳng nào, nằm trong các mặt phẳng nào?

Lời giải:

$AC$ đi qua hai đỉnh $A$ và $C$ nên nằm trong các mặt phẳng $(ABC)$ và $(ACD)$.
$AC$ cắt các mặt phẳng $(ABD)$ (tại điểm chung duy nhất $A$) và $(BCD)$ (tại điểm chung duy nhất $C$).

HĐ2

Đề: Cho đường thẳng $a$ không nằm trong $(P)$ và $a$ song song với đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $a$ và $b$. Nếu $a$ và $(P)$ cắt nhau tại điểm $M$ thì $M$ có thuộc $(Q)$ và $M$ có thuộc $b$ hay không?

Lời giải:

Vì $M \in a$ mà $a \subset (Q)$ nên $M \in (Q)$.
Vì $M \in (P)$ và $M \in (Q)$ nên $M$ nằm trên giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$. Mà giao tuyến đó chính là $b$ (do $b$ nằm trong cả $(P)$ và $(Q)$). Suy ra $M \in b$.
Như vậy $M$ là điểm chung của $a$ và $b$, mâu thuẫn với giả thiết $a \parallel b$ (hai đường song song không có điểm chung).

Kết luận: Điều giả sử "$a$ cắt $(P)$" là sai. Vậy $a$ không có điểm chung với $(P)$, tức là $a \parallel (P)$. Đây chính là tính chất 1.

Câu hỏi (sau tính chất)

Đề: Phát biểu trên còn đúng không nếu bỏ điều kiện "$a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$"?

Trả lời: Không còn đúng. Nếu bỏ điều kiện đó thì có thể xảy ra trường hợp $a$ nằm ngay trong $(P)$ và vẫn song song với một đường thẳng $b$ khác cũng nằm trong $(P)$. Khi đó $a$ không song song với $(P)$ mà nằm trong $(P)$. Vì vậy điều kiện "$a$ không nằm trong $(P)$" là bắt buộc.

Ví dụ 2

Đề: Cho ba đường thẳng $a, b, c$ đôi một song song và không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh rằng $a \parallel \text{mp}(b, c)$.

Lời giải (theo sách):

Vì $a, b, c$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nên $a$ không nằm trong $\text{mp}(b, c)$.
Vì $a \parallel b$ và $b \subset \text{mp}(b, c)$ nên theo tính chất 1, $a \parallel \text{mp}(b, c)$.

Luyện tập 2

Đề: Trong Ví dụ 2, chứng minh rằng $c \parallel \text{mp}(a, b)$ và $b \parallel \text{mp}(a, c)$.

Lời giải:

Chứng minh $c \parallel \text{mp}(a, b)$:

Ba đường $a, b, c$ không cùng nằm trong một mặt phẳng nên $c$ không nằm trong $\text{mp}(a, b)$.
Vì $c \parallel a$ (do ba đường đôi một song song) và $a \subset \text{mp}(a, b)$, theo tính chất 1 ta có $c \parallel \text{mp}(a, b)$.

Chứng minh $b \parallel \text{mp}(a, c)$:

Tương tự, $b$ không nằm trong $\text{mp}(a, c)$.
Vì $b \parallel a$ và $a \subset \text{mp}(a, c)$ nên $b \parallel \text{mp}(a, c)$.

Ví dụ 3

Đề: Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Chứng minh rằng có một mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Lời giải (theo sách):

Lấy điểm $M$ bất kì thuộc $a$. Qua $M$ kẻ đường thẳng $b' \parallel b$, đặt $(P) = \text{mp}(a, b')$.
Vì $a$ và $b$ chéo nhau nên $b$ không nằm trong $(P)$.
Vì $b \parallel b'$ và $b' \subset (P)$ nên $b \parallel (P)$.
Vậy $(P)$ là mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$.

Chú ý: Mặt phẳng $(P)$ này là duy nhất. Như vậy, cho trước hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Luyện tập 3

Đề: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang ($AB \parallel CD$). Hai đường thẳng $SD$ và $AB$ có chéo nhau hay không? Chỉ ra mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $AB$.

Lời giải:

$SD$ và $AB$ chéo nhau. Thật vậy, nếu chúng đồng phẳng thì cả bốn điểm $S, D, A, B$ cùng nằm trong một mặt phẳng, kéo theo $S$ nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$ — vô lí vì $S$ là đỉnh chóp không thuộc đáy. Vậy $SD$ và $AB$ không đồng phẳng, tức là chéo nhau.
Xét mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng này chứa $SD$. Mặt khác $AB \parallel CD$ và $CD \subset (SCD)$, còn $AB \not\subset (SCD)$, nên theo tính chất 1 ta có $AB \parallel (SCD)$.

Vậy mặt phẳng $(SCD)$ chứa $SD$ và song song với $AB$.

Vận dụng

Đề: Trong tình huống mở đầu, hãy giải thích tại sao dây nhợ khi căng thì song song với mặt đất. Tác dụng của việc đó là gì?

Trả lời:

Khi căng dây nhợ giữa hai cọc có cùng độ cao so với mặt đất, dây tạo thành một đường thẳng nằm ngang. Đường thẳng này không có điểm chung với mặt đất (xem mặt đất là mặt phẳng nằm ngang) nên song song với mặt đất.
Tác dụng: Dây nhợ căng song song với mặt đất giúp người thợ xây lấy chuẩn độ cao, xây tường thẳng và phẳng, các hàng gạch đều nhau, công trình ngay ngắn.

HĐ3

Đề: Cho $a \parallel (P)$ và $(Q)$ là một mặt phẳng chứa $a$. Giả sử $(Q)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$.
a) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể chéo nhau không?
b) Hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể cắt nhau không?

Lời giải:

a) Không thể chéo nhau. Vì $a \subset (Q)$ và $b \subset (Q)$ nên $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(Q)$, tức là đồng phẳng. Hai đường đồng phẳng thì không chéo nhau.
b) Không thể cắt nhau. Giả sử $a$ cắt $b$ tại điểm $M$. Khi đó $M \in b \subset (P)$ nên $M \in (P)$, đồng thời $M \in a$. Như vậy $a$ và $(P)$ có điểm chung $M$, mâu thuẫn với $a \parallel (P)$.

Kết luận: $a$ và $b$ vừa đồng phẳng vừa không cắt nhau nên $a \parallel b$. Đây chính là tính chất 2: nếu $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $b \parallel a$.

Ví dụ 4

Đề: Cho tứ diện $ABCD$, điểm $E$ nằm giữa $A$ và $C$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB, CD$. Xác định các giao tuyến của $(P)$ với các mặt của tứ diện. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Lời giải (theo sách):

Mặt phẳng $(ABC)$ chứa $AB$ song song với $(P)$ nên $(ABC)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến song song với $AB$. Vẽ $EF \parallel AB$ ($F \in BC$) thì $EF$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABC)$.
Hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ cùng chứa $CD$ song song với $(P)$ nên cắt $(P)$ theo các giao tuyến song song với $CD$. Vẽ $EH, FG$ song song với $CD$ ($H \in AD$, $G \in BD$) thì $EH$, $FG$ lần lượt là giao tuyến của $(P)$ với $(ACD)$ và $(BCD)$.
$GH$ là giao tuyến của $(P)$ và $(ABD)$.

Hình tạo bởi bốn giao tuyến $EF, FG, GH, HE$:

$EF \parallel AB$ và $GH \parallel AB$ nên $EF \parallel GH$.
$EH \parallel CD$ và $FG \parallel CD$ nên $EH \parallel FG$.

Tứ giác $EFGH$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

Nếu bạn muốn mình vẽ lại sơ đồ tứ diện cho Ví dụ 4 hoặc giải thêm bài tập cuối bài, cứ cho mình biết nhé.

Chế độ đọc sách →