Giải Toán tập 1 trang 88
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 88–89
Trang 87 – Luyện tập và Bài tập
Luyện tập 4
Đề: Trong Ví dụ 4 (tứ diện $ABCD$), gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $E$ và song song với hai đường thẳng $AB$, $AD$. Xác định giao tuyến của $(Q)$ với các mặt của tứ diện.
Cách làm (nguyên tắc chung):
- Nếu $(Q)$ song song với một đường thẳng $d$ nằm trong một mặt, thì giao tuyến của $(Q)$ với mặt đó song song với $d$.
- $(Q)\parallel AB$: nên ở mặt nào chứa $AB$, giao tuyến sẽ song song với $AB$.
- $(Q)\parallel AD$: nên ở mặt nào chứa $AD$, giao tuyến sẽ song song với $AD$.
Áp dụng:
- Trong mặt $(ABC)$ (chứa $AB$): qua $E$ kẻ đường song song $AB$, cắt cạnh còn lại tạo một giao tuyến $\parallel AB$.
- Trong mặt $(ABD)$ (chứa $AB$): giao tuyến cũng $\parallel AB$.
- Trong mặt $(ACD)$ (chứa $AD$): giao tuyến $\parallel AD$.
- Trong mặt $(ABD)$ hoặc mặt còn lại chứa $AD$: giao tuyến $\parallel AD$.
Kết quả: bốn giao tuyến từng đôi một song song ($AB$ với $AB$, $AD$ với $AD$) nên thiết diện thu được là một hình bình hành (tương tự cách lập luận trong Ví dụ 4).
Bài 4.16: Xét tính đúng – sai của các mệnh đề
Đề: Cho hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ và mặt phẳng $(P)$. Mệnh đề nào đúng?
| Câu | Nội dung | Kết luận |
|---|---|---|
| a) | Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ không song song với $(P)$ | Đúng |
| b) | Nếu $a$ và $(P)$ có điểm chung thì $a$ và $(P)$ cắt nhau | Sai |
| c) | Nếu $a\parallel b$ và $b\subset (P)$ thì $a\parallel (P)$ | Sai |
| d) | Nếu $a$ và $b$ cùng song song với $(P)$ thì $a\parallel b$ | Sai |
Giải thích:
- a) Có điểm chung nghĩa là $a$ cắt $(P)$ hoặc $a$ nằm trong $(P)$, cả hai trường hợp đều không phải song song → đúng.
- b) Sai vì còn khả năng $a$ nằm hẳn trong $(P)$ (lúc đó có vô số điểm chung chứ không "cắt").
- c) Sai vì $a$ có thể nằm trong $(P)$ (vẫn song song với $b$). Phải thêm điều kiện $a\not\subset (P)$ thì mới đúng.
- d) Sai vì hai đường cùng song song với một mặt phẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Bài 4.17: Hai tam giác ABC và ABD
Đề: Cho hai tam giác $ABC$ và $ABD$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AC$, $AD$.
a) Đường thẳng $AM$ có song song với $(BCD)$ không?
$M$ là trung điểm $AC$ nên $AM$ nằm trên đường thẳng $AC$. Mà $C\in (BCD)$, nên đường thẳng $AC$ cắt $(BCD)$ tại $C$.
→ $AM$ không song song với $(BCD)$ (chúng có điểm chung $C$).
b) Đường thẳng $MN$ có song song với $(BCD)$ không?
Trong tam giác $ACD$, $M$, $N$ là trung điểm $AC$, $AD$ nên $MN$ là đường trung bình:
$$MN \parallel CD.$$
Mà $CD\subset (BCD)$ và $MN\not\subset (BCD)$.
→ $MN \parallel (BCD)$. Có song song.
Bài 4.18: Chứng minh BD song song với (AMN)
Đề: Cho tứ diện $ABCD$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$, $CD$. Chứng minh $BD\parallel (AMN)$.
Lời giải:
- Trong tam giác $BCD$, $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $CD$ nên $MN$ là đường trung bình:
$$MN \parallel BD.$$
- Ta có $MN\subset (AMN)$ và $BD\not\subset (AMN)$.
- Một đường thẳng ($BD$) song song với một đường thẳng ($MN$) nằm trong mặt phẳng $(AMN)$ và bản thân nó không thuộc mặt phẳng đó.
$$\Rightarrow BD\parallel (AMN). \qquad \blacksquare$$
Bài 4.19: Thiết diện của hình chóp S.ABCD
Đề: Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB\parallel CD$). $E$ nằm giữa $S$ và $A$. $(P)$ qua $E$, song song với $AB$ và $AD$. Xác định giao tuyến của $(P)$ với các mặt bên. Thiết diện là hình gì?
Lời giải từng mặt:
Mặt $(SAB)$ (chứa $AB$): $(P)\parallel AB$, $E\in (SAB)$ → giao tuyến qua $E$ song song $AB$, cắt $SB$ tại $F$.
$$EF \parallel AB.$$
Mặt $(SAD)$ (chứa $AD$): $(P)\parallel AD$, $E\in (SAD)$ → giao tuyến qua $E$ song song $AD$, cắt $SD$ tại $H$.
$$EH \parallel AD.$$
Mặt $(SCD)$ (chứa $CD$): vì $AB\parallel CD$ và $(P)\parallel AB$ nên $(P)\parallel CD$. Giao tuyến qua $H$ song song $CD$, cắt $SC$ tại $G$.
$$HG \parallel CD.$$
Mặt $(SBC)$: giao tuyến là đoạn $FG$ (nối hai điểm $F$ trên $SB$ và $G$ trên $SC$).
Thiết diện là tứ giác $EFGH$. Vì:
$$EF\parallel AB,\quad HG\parallel CD,\quad AB\parallel CD \Rightarrow EF\parallel HG.$$
→ $EFGH$ có một cặp cạnh đối song song nên là hình thang.
Bài 4.20: Mép trên cánh cửa
Đề: Bạn Nam thấy dù mở cửa ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Đó là mặt phẳng nào? Giải thích.
Trả lời: Đó là mặt sàn (mặt nền nhà / mặt đất).
Giải thích:
- Cánh cửa là hình chữ nhật nên mép trên luôn song song với mép dưới của cánh cửa.
- Trục bản lề cửa thẳng đứng (vuông góc với sàn). Khi cửa quay quanh trục này, mép dưới luôn nằm trong một mặt phẳng song song với sàn (luôn song song sàn).
- Vì mép trên song song mép dưới, mà mép dưới luôn song song mặt sàn, nên mép trên luôn song song với mặt sàn dù cửa ở vị trí nào.
Trang 88 – Mở đầu Bài 13: Hai mặt phẳng song song
Tóm tắt lý thuyết
- Thuật ngữ trọng tâm: hai mặt phẳng song song, định lí Thalès trong không gian, hình lăng trụ, hình hộp.
- Định nghĩa: Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ gọi là song song nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu $(\alpha)\parallel(\beta)$ hay $(\beta)\parallel(\alpha)$.
- Nhận xét quan trọng: Nếu $(\alpha)\parallel(\beta)$ và đường thẳng $d\subset(\alpha)$ thì $d$ không có điểm chung với $(\beta)$, tức $d\parallel(\beta)$.
→ Một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng còn lại.
Trả lời các hoạt động
HĐ1. Ví dụ về các mặt phẳng không có điểm chung (song song): trần nhà và sàn nhà, mặt hai tầng của tủ sách, các tầng của tòa nhà, hai mặt bàn xếp chồng, mặt nước ở các bể nuôi cá xếp tầng, các bậc ruộng bậc thang…
Câu hỏi (?): Trong hình ảnh mở đầu (đầu bếp thái thức ăn), các nhát cắt có tạo thành các mặt phẳng song song. Vì để các miếng đều nhau và đẹp, các nhát dao phải nằm trong những mặt phẳng song song với nhau (khoảng cách giữa các nhát cắt bằng nhau).
Em xem qua nhé. Phần Bài 4.19 nếu thầy vẽ hình ra cùng em thì sẽ thấy rõ thiết diện hình thang hơn — cần thì nói thầy mô tả thêm.