Giải Toán tập 1 trang 90

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 90–91

🔍 Kiến thức cần nhớ

Điều kiện hai mặt phẳng song song

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.

Tính chất hai mặt phẳng song song

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

⚙️ Bài tập

HĐ2

Đề bài: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) (H.4.41).

Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời các câu hỏi trên.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng

Phân tích:

a ⊂ (α) và a // (β)
b ⊂ (α) và b // (β)
a và b cắt nhau
(α) ∩ (β) = c

Lời giải:

Bước 1: Xét đường thẳng a và c

Ta có: a // (β) (giả thiết)
a ⊂ (α) và c = (α) ∩ (β) nên c ⊂ (α)
Do đó a và c cùng thuộc mặt phẳng (α)
Vì a // (β) nên a không cắt (β), suy ra a không cắt c
Vì a, c cùng thuộc (α) và a không cắt c nên a // c

Bước 2: Xét đường thẳng b và c

Lập luận tương tự: b // (β), b ⊂ (α), c ⊂ (α)
Vì b // (β) nên b không cắt c
Do đó b // c

Bước 3: Rút ra kết luận

Ta có a // c và b // c, trong đó a và b cắt nhau
Điều này mâu thuẫn (hai đường thẳng cắt nhau không thể cùng song song với một đường thẳng)
Vậy giả sử (α) và (β) cắt nhau là sai

Kết luận: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.

Cách 2 — Phương pháp phản chứng trực tiếp

Lời giải:

Giả sử (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c.

Vì a ⊂ (α), a // (β) nên a // c (tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng)
Vì b ⊂ (α), b // (β) nên b // c

Suy ra a // b (cùng song song với c).

Điều này mâu thuẫn với giả thiết a và b cắt nhau.

Vậy (α) và (β) không cắt nhau, tức là (α) // (β).

💡 Mẹo nhớ: Điều kiện để (α) // (β): "Hai đường cắt nhau trong (α) cùng song song với (β)"

⚠️ Lưu ý thi: Cần điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau". Nếu chỉ có một đường thẳng hoặc hai đường thẳng song song thì chưa đủ kết luận.

Câu hỏi bên cạnh HĐ2

Đề bài: Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?

Lời giải:

Không, khẳng định không còn đúng.

Phản ví dụ:

Xét mặt phẳng (α) chứa đường thẳng a
Mặt phẳng (β) song song với a
Hai mặt phẳng (α) và (β) có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với a

Ví dụ cụ thể: Trong hình hộp chữ nhật, mặt phẳng chứa một cạnh bên có thể song song với cạnh đáy nhưng vẫn cắt mặt đáy.

Kết luận: Điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" là cần thiết, không thể bỏ qua.

Luyện tập 1

Đề bài: Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

Cách 1 — Áp dụng trực tiếp điều kiện hai mặt phẳng song song

Lời giải:

Bước 1: Xác định mặt phẳng (m, n)

Qua A vẽ m // BC
Qua A vẽ n // BD
Vì BC và BD cắt nhau tại B nên m và n cắt nhau tại A
Do đó m và n xác định mặt phẳng (m, n)

Bước 2: Chứng minh m // (BCD)

m // BC (theo cách dựng)
BC ⊂ (BCD)
m ∩ (BCD) = ∅ (vì A ∉ (BCD) do 4 điểm không đồng phẳng)
Vậy m // (BCD)

Bước 3: Chứng minh n // (BCD)

n // BD (theo cách dựng)
BD ⊂ (BCD)
n ∩ (BCD) = ∅
Vậy n // (BCD)

Bước 4: Kết luận

Mặt phẳng (m, n) chứa hai đường thẳng cắt nhau m, n
Cả m và n đều song song với (BCD)
Theo điều kiện hai mặt phẳng song song: (m, n) // (BCD)

Cách 2 — Sử dụng tính chất đường thẳng song song

Lời giải:

Vì A, B, C, D không đồng phẳng nên A ∉ (BCD).

Ta có:

m // BC, mà BC ⊂ (BCD) và A ∉ (BCD) ⟹ m // (BCD)
n // BD, mà BD ⊂ (BCD) và A ∉ (BCD) ⟹ n // (BCD)

Vì m, n cùng đi qua A và lần lượt song song với BC, BD cắt nhau nên m và n cắt nhau.

Áp dụng điều kiện hai mặt phẳng song song: (m, n) // (BCD).

🎯 Ghi nhớ: Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta tìm trong mặt phẳng này hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Vận dụng 1

Đề bài: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Cách 1 — Giải thích dựa trên điều kiện hai mặt phẳng song song

Lời giải:

Phân tích cấu trúc:

Hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục chung
Mỗi khung có cạnh dưới tiếp xúc với mặt đất và cạnh trên đỡ mặt bàn

Giải thích:

Gọi hai cạnh trên của hai khung sắt là a và b (đỡ mặt bàn).

Bước 1: Vì mỗi khung là hình chữ nhật nên:

Cạnh trên a // cạnh dưới của khung 1 (nằm trên mặt đất)
Cạnh trên b // cạnh dưới của khung 2 (nằm trên mặt đất)

Bước 2:

Cạnh dưới của khung 1 nằm trên mặt đất ⟹ a // mặt đất
Cạnh dưới của khung 2 nằm trên mặt đất ⟹ b // mặt đất

Bước 3:

Hai đường thẳng a và b cắt nhau (vì hai khung xoay quanh trục chung, không song song)
Mặt bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b
Cả a và b đều song song với mặt đất

Kết luận: Theo điều kiện hai mặt phẳng song song, mặt bàn luôn song song với mặt đất.

Cách 2 — Giải thích theo nguyên lý hình học

Lời giải:

Trong mỗi khung hình chữ nhật:

Các cạnh đối song song và bằng nhau
Cạnh tiếp xúc mặt đất và cạnh đỡ mặt bàn song song với nhau

Khi đặt hai khung không song song (cắt nhau), ta có hai đường thẳng cắt nhau trên mặt bàn, mỗi đường song song với một đường trên mặt đất.

Do đó mặt bàn song song với mặt đất (theo định lý về điều kiện hai mặt phẳng song song).

💡 Ứng dụng thực tế: Đây là nguyên lý thiết kế của nhiều loại bàn gấp, giá đỡ có thể điều chỉnh độ cao mà vẫn giữ mặt phẳng song song.

HĐ3

Đề bài: Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Lời giải:

Không, mặt bìa không trùng với mặt bàn.

Giải thích:

Bước 1: Phân tích vị trí

Mặt bàn nằm ngang ⟹ mặt bàn // mặt đất
Mặt bìa được đặt sao cho mặt bìa // mặt đất

Bước 2: Áp dụng tính chất

Qua một điểm (góc bàn nơi đặt tấm bìa) nằm ngoài mặt đất có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt đất
Mặt bàn đã là mặt phẳng song song với mặt đất đi qua các điểm trên bàn

Bước 3: Kết luận

Nếu điểm đặt tấm bìa nằm trên mặt bàn và tấm bìa song song với mặt đất thì tấm bìa phải nằm trong mặt phẳng của mặt bàn
Tuy nhiên, tấm bìa đặt "lên góc" nên có thể coi là nằm trong cùng mặt phẳng với mặt bàn
Mặt bìa trùng với mặt bàn (nằm trong cùng một mặt phẳng song song với mặt đất)

Kết luận đúng: Mặt bìa nằm trong mặt phẳng chứa mặt bàn (trùng về mặt phẳng, không trùng về vị trí vật lý).

⚠️ Lưu ý: Câu hỏi này nhằm minh họa tính chất: "Qua một điểm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó."

Câu hỏi cuối trang 89

Đề bài: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Cách 1 — Chứng minh bằng phản chứng

Lời giải:

Có, hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh:

Gọi ba mặt phẳng là (α), (β), (γ) với:

(α) // (γ)
(β) // (γ)

Cần chứng minh: (α) // (β)

Phản chứng: Giả sử (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d.

Vì d ⊂ (α) và (α) // (γ) nên d // (γ)
Vì d ⊂ (β) và (β) // (γ) nên d // (γ)

Lấy điểm M ∈ d. Qua M có:

Mặt phẳng (α) song song với (γ)
Mặt phẳng (β) song song với (γ)

Theo tính chất: Qua một điểm ngoài mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Do đó (α) ≡ (β), mâu thuẫn với giả thiết (α) và (β) phân biệt.

Kết luận: (α) // (β).

Cách 2 — Lập luận trực tiếp

Lời giải:

Nếu (α) cắt (β) thì tồn tại điểm M thuộc cả hai mặt phẳng.

Khi đó qua M có hai mặt phẳng phân biệt (α) và (β) cùng song song với (γ).

Điều này mâu thuẫn với tính chất duy nhất.

Vậy (α) // (β).

🎯 Ghi nhớ: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau (tính chất bắc cầu của quan hệ song song).

Luyện tập 2

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho:
MA/MS = NB/NS = PC/PS = QD/QS = 1/2

Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Cách 1 — Sử dụng tính chất hai mặt phẳng song song

Lời giải:

Bước 1: Tính tỉ số vị trí các điểm

Từ MA/MS = 1/2 suy ra MA = (1/2)MS, tức M là trung điểm của AS.

Tương tự: N là trung điểm SB, P là trung điểm SC, Q là trung điểm SD.

(Lưu ý: MA/MS = 1/2 nghĩa là SM/SA = 1/2, tức M là trung điểm SA)

Bước 2: Chứng minh MN // AB và NP // BC

Trong tam giác SAB:

M là trung điểm SA, N là trung điểm SB
Theo tính chất đường trung bình: MN // AB và MN = AB/2

Trong tam giác SBC:

N là trung điểm SB, P là trung điểm SC
Theo tính chất đường trung bình: NP // BC

Bước 3: Chứng minh mp(MNP) // mp(ABCD)

MN // AB mà AB ⊂ (ABCD), M ∉ (ABCD) ⟹ MN // (ABCD)
NP // BC mà BC ⊂ (ABCD), N ∉ (ABCD) ⟹ NP // (ABCD)
MN và NP cắt nhau tại N

Vậy (MNP) // (ABCD)

Bước 4: Chứng minh Q ∈ (MNP)

Tương tự, ta có mp(NPQ) chứa:

NP // BC // (ABCD)
PQ // CD // (ABCD) (vì P, Q là trung điểm SC, SD)

Nên (NPQ) // (ABCD)

Bước 5: Kết luận

Hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ):

Cùng đi qua điểm N (và P)
Cùng song song với (ABCD)

Theo tính chất duy nhất: (MNP) ≡ (NPQ)

Do đó M, N, P, Q đồng phẳng.

Cách 2 — Sử dụng đường trung bình tứ giác

Lời giải:

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD nên:

MN là đường trung bình tam giác SAB ⟹ MN // AB
NP là đường trung bình tam giác SBC ⟹ NP // BC
PQ là đường trung bình tam giác SCD ⟹ PQ // CD
QM là đường trung bình tam giác SDA ⟹ QM // DA

Tứ giác MNPQ có:

MN // AB và PQ // CD, mà AB // CD (ABCD là tứ giác) ⟹ MN // PQ
NP // BC và QM // DA, mà BC // DA ⟹ NP // QM

Vậy MNPQ là hình bình hành, suy ra M, N, P, Q đồng phẳng.

💡 Mẹo nhớ: Khi các điểm chia các cạnh bên của hình chóp theo cùng tỉ số, chúng tạo thành thiết diện song song với đáy.

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài này rất hay gặp. Cần nhớ: điểm chia cùng tỉ số ⟹ mặt phẳng song song với đáy.

HĐ4

Đề bài: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Câu a)

Cách 1 — Chứng minh bằng phản chứng

Lời giải:

Giả sử (R) không cắt (Q), tức (R) // (Q) hoặc (R) ≡ (Q).

Trường hợp 1: (R) // (Q)

Ta có (P) // (Q) (giả thiết)
(R) // (Q)
Suy ra (R) // (P) (hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau)
Mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P)

Trường hợp 2: (R) ≡ (Q)

Khi đó (R) = (Q) // (P)
Mâu thuẫn với (R) cắt (P)

Kết luận: (R) phải cắt (Q).

Cách 2 — Lập luận trực tiếp

Lời giải:

Vì (R) cắt (P) nên (R) không song song với (P).

Giả sử (R) // (Q). Vì (P) // (Q) nên theo tính chất bắc cầu, (R) // (P). Mâu thuẫn.

Vậy (R) cắt (Q).

Câu b)

Lời giải:

Hai đường thẳng a và b không thể chéo nhau và không thể cắt nhau. Chúng song song với nhau.

Chứng minh:

a = (R) ∩ (P)
b = (R) ∩ (Q)
a ⊂ (R) và b ⊂ (R) nên a và b cùng thuộc mặt phẳng (R)

Do đó a và b không thể chéo nhau.

a ⊂ (P) và b ⊂ (Q)
(P) // (Q) nên (P) ∩ (Q) = ∅
Suy ra a ∩ b = ∅

Vì a và b cùng thuộc (R) và không cắt nhau nên a // b.

Kết luận: Hai đường thẳng a và b song song với nhau (không thể chéo, không thể cắt).

🎯 Ghi nhớ: Cho hai mặt phẳng song song, nếu một mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia, và hai giao tuyến song song với nhau.

⚠️ Lưu ý thi: Đây là tính chất quan trọng để tìm giao tuyến và chứng minh song song.

Tổng kết các tính chất quan trọng

Tính chất	Nội dung
Điều kiện (α) // (β)	(α) chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng // (β)
Tính duy nhất	Qua điểm ngoài mp có duy nhất một mp song song
Tính bắc cầu	(α) // (γ), (β) // (γ) ⟹ (α) // (β)
Giao tuyến song song	(P) // (Q), (R) cắt cả hai ⟹ hai giao tuyến //

Chế độ đọc sách →