HocKhaThư viện lời giải bài tập

Giải Toán tập 1 trang 92

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 92–93

🔍 Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Hình lăng trụ

  • Hình lăng trụ được tạo bởi hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, nối bởi các cạnh bên song song và bằng nhau.
  • Các mặt bên của hình lăng trụ là các hình bình hành.
  • Tên gọi: Hình lăng trụ có đáy là tam giác → hình lăng trụ tam giác; đáy là tứ giác → hình lăng trụ tứ giác.

⚙️ Bài tập

Luyện tập 3

Đề bài: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

Cách 1 — Phương pháp tìm hai điểm chung

Bước 1: Xác định các điểm thuộc cả hai mặt phẳng.

  • Điểm M nằm trên cạnh của hình chóp, cần xác định vị trí cụ thể của M, E, Q từ Ví dụ 3.
  • Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm chung của chúng.

Bước 2: Tìm điểm chung.

  • Nếu E, M, Q là các điểm xác định mặt phẳng (EMQ), ta cần tìm giao điểm của các cạnh/đường thẳng thuộc (EMQ) với mặt phẳng (ABCD).
  • Các điểm nằm trên mặt phẳng (ABCD) là các điểm thuộc đáy ABCD.

Bước 3: Kết luận.

  • Giao tuyến là đường thẳng đi qua các điểm chung tìm được.
Cách 2 — Phương pháp sử dụng tính chất giao tuyến

Áp dụng quy tắc: Giao tuyến của hai mặt phẳng được xác định khi tìm được hai điểm phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng.

💡 Mẹo nhớ: Để tìm giao tuyến, luôn tìm 2 điểm chung bằng cách xét giao của các đường thẳng/cạnh với mặt phẳng cần tìm.

HĐ5 (Hoạt động 5)

Đề bài: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và A'C (H.4.48).

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số AB/BC, AD/DC' và A'B'/B'C' có bằng nhau không?

Câu a)
Cách 1 — Phương pháp chứng minh song song qua mặt phẳng

Phân tích:

  • Ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song.
  • A ∈ (P), B ∈ (Q), C ∈ (R) trên đường d.
  • A' ∈ (P), B' ∈ (Q), C' ∈ (R) trên đường d'.
  • D là giao điểm của AC' và A'C.

Chứng minh BD // CC':

Xét mặt phẳng (ACC'A'):

  • D = AC' ∩ A'C nên D thuộc mặt phẳng (ACC'A').
  • B thuộc đường thẳng d, mà d đi qua A và C nên B ∈ (ACC'A').

Trong mặt phẳng (ACC'A'), áp dụng định lí Thalès trong hình học phẳng:

  • Vì (P) // (Q) // (R) nên AA' // BB' // CC' (các đường thẳng này là giao tuyến của các mặt phẳng song song với mặt phẳng chứa d và d').

Xét tam giác A'CC':

  • D thuộc A'C, B thuộc đoạn AC.
  • Ta có BD // CC' (do các mặt phẳng song song cắt tạo ra các đoạn tỉ lệ).

Kết luận: BD // CC'

Chứng minh B'D // AA' tương tự.

Kết luận: B'D // AA'

Cách 2 — Sử dụng tính chất Thalès trong không gian

Áp dụng trực tiếp định lí Thalès: Ba mặt phẳng song song chắn trên các cát tuyến những đoạn tương ứng tỉ lệ, từ đó suy ra các đường thẳng nối các điểm tương ứng song song với nhau.

Đáp án:

  • BD // CC': Có
  • B'D // AA': Có
Câu b)
Cách 1 — Áp dụng định lí Thalès trong không gian

Theo định lí Thalès trong không gian:

Ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song chắn trên hai cát tuyến d và d' những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Do đó: AB/BC = A'B'/B'C'

Xét tỉ số AD/DC':

Trong mặt phẳng (ACC'A'), điểm D là giao của AC' và A'C.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác (hoặc hình thang), ta có thể chứng minh:

  • AD/DC' = AB/BC (do tính chất của các đường thẳng song song cắt các cát tuyến).

Kết luận: AB/BC = AD/DC' = A'B'/B'C'

Cách 2 — Chứng minh bằng tọa độ (nếu cần)

Đặt hệ tọa độ và tính toán trực tiếp để xác nhận các tỉ số bằng nhau.

Đáp án: Có, các tỉ số AB/BC, AD/DC' và A'B'/B'C' bằng nhau.

💡 Mẹo nhớ: Định lí Thalès trong không gian là mở rộng của định lí Thalès trong mặt phẳng. Khi ba mặt phẳng song song cắt hai cát tuyến, các đoạn tương ứng luôn tỉ lệ.

Luyện tập 4

Đề bài: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'.

Cách 1 — Áp dụng trực tiếp định lí Thalès

Theo định lí Thalès trong không gian:

AB/BC = A'B'/B'C'

Thay số:

2/4 = 3/B'C'

1/2 = 3/B'C'

B'C' = 3 × 2 = 6 cm

Cách 2 — Sử dụng tỉ lệ

Tỉ số AB : BC = 2 : 4 = 1 : 2

Vậy A'B' : B'C' = 1 : 2

Suy ra: B'C' = 2 × A'B' = 2 × 3 = 6 cm

Đáp án: B'C' = 6 cm

💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, bấm: 2 ÷ 4 = × 3 = rồi lấy nghịch đảo nếu cần, hoặc dùng phương trình tỉ lệ.

HĐ6 (Hoạt động 6)

Đề bài: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tam giác mà em đã học ở lớp 7?

(Hình ảnh: Toblerone, lăng kính, đồng hồ số, ống bút màu)

Trả lời

Đặc điểm chung với hình lăng trụ đứng tam giác:

  1. Thanh Toblerone: Có dạng hình lăng trụ tam giác với hai đáy là tam giác và các mặt bên là hình chữ nhật.
  1. Lăng kính quang học: Là hình lăng trụ tam giác điển hình, hai mặt đáy là tam giác, các mặt bên là hình chữ nhật.
  1. Đồng hồ số (hình lục giác): Có dạng hình lăng trụ nhưng đáy là đa giác (có thể là lục giác), không phải tam giác.
  1. Ống bút màu: Có thể là hình lăng trụ với đáy đa giác hoặc hình trụ tròn.

Kết luận: Các hình ảnh đều có đặc điểm:

  • Hai mặt đáy là hai đa giác bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Các mặt bên là hình bình hành (với lăng trụ đứng thì là hình chữ nhật).
  • Các cạnh bên song song và bằng nhau.

Câu hỏi trong bài (Trang 92)

Đề bài: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Cách 1 — Chứng minh từ định nghĩa

Giải thích:

Bước 1: Theo định nghĩa hình lăng trụ A₁A₂...Aₙ.A'₁A'₂...A'ₙ:

  • Hai đa giác A₁A₂...Aₙ và A'₁A'₂...A'ₙ bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Các đường thẳng A₁A'₁, A₂A'₂, ..., AₙA'ₙ đôi một song song.

Bước 2: Xét mặt bên A₁A'₁A'₂A₂:

  • A₁A'₁ // A₂A'₂ (theo định nghĩa, các cạnh bên song song).
  • A₁A₂ // A'₁A'₂ (vì hai đa giác đáy bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song).

Bước 3: Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

Vậy A₁A'₁A'₂A₂ là hình bình hành.

Bước 4: Từ tính chất hình bình hành:

  • A₁A'₁ = A₂A'₂ (các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau).
  • Tương tự cho các mặt bên khác.

Kết luận: Tất cả các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Cách 2 — Sử dụng phép tịnh tiến

Hình lăng trụ có thể xem là ảnh của đa giác đáy qua phép tịnh tiến theo vectơ A₁A'₁. Do đó:

  • Mỗi đỉnh Aᵢ được tịnh tiến thành A'ᵢ.
  • Các cạnh bên AᵢA'ᵢ song song và bằng nhau (đều bằng vectơ tịnh tiến).
  • Các mặt bên là hình bình hành.
💡 Mẹo nhớ: Hình lăng trụ = đa giác đáy + phép tịnh tiến → mặt bên luôn là hình bình hành!

Luyện tập 5

Đề bài: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Cách 1 — Chứng minh theo định nghĩa hình lăng trụ

Bước 1: Xác định hai đáy của hình AMC.A'M'C'.

  • Đáy dưới: tam giác AMC.
  • Đáy trên: tam giác A'M'C'.

Bước 2: Chứng minh hai đáy bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ nên:

  • Mặt phẳng (ABC) // mặt phẳng (A'B'C').
  • Tam giác ABC = tam giác A'B'C'.

M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C'.

  • Vì BC = B'C' nên MC = M'C' và BM = B'M'.
  • Vì AB = A'B', AC = A'C' nên AM = A'M' (tính chất trung tuyến trong hai tam giác bằng nhau).

Do đó: tam giác AMC = tam giác A'M'C'.

Mặt phẳng (AMC) // mặt phẳng (A'M'C') vì cùng song song với (ABC) // (A'B'C').

Bước 3: Chứng minh các cạnh bên song song.

  • AA' // CC' // MM' (cần chứng minh MM' // AA').

Vì M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C', và BB' // CC' nên:

Xét tứ giác BB'M'M:

  • BM // B'M' (vì M, M' là trung điểm của BC và B'C' tương ứng, mà BC // B'C').
  • BB' // MM' (do tính chất hình lăng trụ).

Thực ra, ta chứng minh MM' // AA' như sau:

Trong hình lăng trụ, vectơ AA' = BB' = CC'.

Vectơ MM' = (vectơ MB' + vectơ B'M')/2 + ...

Cách khác:

Vì BB' // CC' và bằng nhau, mà M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C', nên MM' // BB' // CC' // AA' và MM' = AA'.

Bước 4: Kết luận.

AMC.A'M'C' thỏa mãn:

  • Hai đáy AMC và A'M'C' bằng nhau, nằm trên hai mặt phẳng song song.
  • Các cạnh bên AA', MM', CC' đôi một song song.

Vậy AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Cách 2 — Sử dụng phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ AA' biến:

  • A → A'
  • C → C'
  • M → M' (vì M là trung điểm BC, M' là trung điểm B'C', và phép tịnh tiến bảo toàn trung điểm).

Do đó, tam giác AMC được tịnh tiến thành tam giác A'M'C'.

Vậy AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Đáp án: AMC.A'M'C' là hình lăng trụ (đpcm).

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài chứng minh hình lăng trụ con từ hình lăng trụ lớn rất hay gặp. Cần chứng minh đủ 2 điều kiện: (1) hai đáy bằng nhau và song song, (2) các cạnh bên song song.

HĐ7 (Hoạt động 7)

Đề bài: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành?

Trả lời

Trong các hình ảnh ở HĐ6:

  • Đồng hồ số (hình lục giác): Đáy là lục giác, không phải hình bình hành.
  • Thanh Toblerone: Đáy là tam giác, không phải hình bình hành.
  • Lăng kính: Đáy là tam giác, không phải hình bình hành.
  • Ống bút màu: Nếu có dạng hộp chữ nhật hoặc hình hộp, thì đáy có thể là hình bình hành.

Đáp án: Hình ảnh gợi nên hình lăng trụ có đáy là hình bình hành có thể là hình hộp đựng bút màu (nếu có dạng hình hộp chữ nhật) hoặc các vật dụng có dạng hình hộp.

💡 Mẹo nhớ: Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp. Nếu các mặt bên vuông góc với đáy thì là hình hộp đứng.
🎯 Ghi nhớ: 1. Định lí Thalès trong không gian: Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn tương ứng tỉ lệ. 2. Hình lăng trụ: Có hai đáy là đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song, các mặt bên là hình bình hành. 3. Chứng minh hình lăng trụ: Cần chỉ ra hai đáy song song, bằng nhau và các cạnh bên song song.
Chế độ đọc sách →