Giải Toán tập 1 trang 94
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 94–95
Tóm tắt lý thuyết: Hình hộp
- Hình lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$ có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.
- Các cặp đỉnh đối diện: $A$ và $C'$, $B$ và $D'$, $C$ và $A'$, $D$ và $B'$.
- Các đường chéo: $AC'$, $BD'$, $CA'$, $DB'$.
- Các cặp mặt đối diện: $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$; $(ADD'A')$ và $(BCC'B')$; $(ABB'A')$ và $(CDD'C')$.
Nhận xét quan trọng (rút ra từ Ví dụ 6 và Luyện tập 6):
- Bốn đường chéo của hình hộp cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.
- Các mặt đối diện của hình hộp song song với nhau, và mỗi cặp có thể coi là hai đáy.
Luyện tập 6: Hai mặt đối diện song song
Đề: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh hai mặt phẳng $(ADD'A')$ và $(BCC'B')$ song song với nhau.
Lời giải:
Trong mặt phẳng $(ADD'A')$ có hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $AA'$.
- Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$, mà $BC \subset (BCC'B')$.
- Các cạnh bên của hình hộp song song nên $AA' \parallel BB'$, mà $BB' \subset (BCC'B')$.
Vậy $(ADD'A')$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AD,\ AA'$ cùng song song với $(BCC'B')$, suy ra:
$$(ADD'A') \parallel (BCC'B').$$
Vận dụng 2: Đo mực nước trong bể
Đề: Bác Hà đặt một thanh gỗ vào bể hình hộp, một đầu tựa vào mép nắp bể, đầu kia chạm đáy bể. Giải thích vì sao tỉ lệ giữa độ dài phần thanh gỗ ngâm trong nước và độ dài cả thanh gỗ bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể.
Lời giải:
Mặt nước, đáy bể và mặt nắp bể là ba mặt phẳng song song với nhau (đều nằm ngang).
Thanh gỗ là một đường thẳng "cắt ngang" ba mặt phẳng song song đó:
- Đầu trên ở mặt nắp (độ cao bằng chiều cao bể).
- Mặt nước cắt thanh tại điểm phân chia phần ngâm nước và phần khô.
- Đầu dưới chạm đáy.
Theo tính chất ba mặt phẳng song song chắn trên một đường thẳng những đoạn tương ứng tỉ lệ với khoảng cách giữa các mặt phẳng, ta có:
$$\frac{\text{phần thanh ngâm nước}}{\text{cả thanh gỗ}} = \frac{\text{mực nước (so với đáy)}}{\text{chiều cao bể}}.$$
Nhờ đó, đo phần thanh bị ướt rồi nhân với chiều cao bể, chia cho độ dài thanh, ta biết được mực nước mà không cần đo trực tiếp.
Bài 4.21: Mệnh đề đúng về quan hệ song song
Đề: Cho ba mặt phẳng phân biệt $(P), (Q), (R)$. Mệnh đề nào đúng?
| Câu | Nội dung | Kết luận |
|---|---|---|
| a | $(P)$ chứa một đường song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel(Q)$ | Sai |
| b | $(P)$ chứa hai đường song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel(Q)$ | Sai |
| c | $(P)$ và $(Q)$ cùng song song với $(R)$ thì $(P)\parallel(Q)$ | Đúng |
| d | $(P)$ và $(Q)$ cùng cắt $(R)$ thì $(P)\parallel(Q)$ | Sai |
Giải thích:
- a) Đường thẳng đó song song với $(Q)$ nhưng $(P)$ vẫn có thể cắt $(Q)$ theo một giao tuyến song song với đường thẳng ấy.
- b) Nếu hai đường thẳng đó song song với nhau thì chưa đủ; điều kiện đúng phải là hai đường cắt nhau cùng song song với $(Q)$.
- c) Đây chính là tính chất bắc cầu của hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba → đúng.
- d) Hai mặt phẳng cùng cắt $(R)$ hoàn toàn có thể cắt nhau (ví dụ ba mặt của một góc tam diện).
Vậy chỉ có câu c) đúng.
Bài 4.22: Mặt phẳng trung điểm song song với đáy
Đề: Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. $M, N, P$ là trung điểm $AA', BB', CC'$. Chứng minh $(MNP)\parallel(ABC)$.
Lời giải:
- Mặt bên $ABB'A'$ là hình bình hành, $M, N$ lần lượt là trung điểm $AA', BB'$ nên $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN \parallel AB$, mà $AB \subset (ABC)$.
- Tương tự, trong $BCC'B'$ ta có $NP \parallel BC$, mà $BC \subset (ABC)$.
Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN,\ NP$ cùng song song với $(ABC)$, suy ra:
$$(MNP)\parallel(ABC).$$
Bài 4.23: Hai mặt phẳng dựng từ hình thang
Đề: Hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD$. Qua $A, D$ vẽ hai đường thẳng $m, n$ song song với nhau và không nằm trong $(ABCD)$. Chứng minh $\text{mp}(B,m)\parallel \text{mp}(C,n)$.
Lời giải:
- Mặt phẳng $\text{mp}(B,m)$ đi qua $B$ và đường thẳng $m$ (mà $m$ đi qua $A$), nên chứa cả $AB$ và $m$.
- Mặt phẳng $\text{mp}(C,n)$ đi qua $C$ và đường thẳng $n$ (mà $n$ đi qua $D$), nên chứa cả $CD$ và $n$.
Ta có:
- $m \parallel n$, với $n \subset \text{mp}(C,n)$.
- $AB \parallel CD$ (hai đáy hình thang), với $CD \subset \text{mp}(C,n)$.
Trong $\text{mp}(B,m)$ có hai đường thẳng cắt nhau $m$ và $AB$ (cắt tại $A$) cùng song song với $\text{mp}(C,n)$, suy ra:
$$\text{mp}(B,m)\parallel \text{mp}(C,n).$$
Bài 4.24: Ba mặt phẳng song song chia tỉ lệ
Đề: Tứ diện $SABC$. Trên $SA$ lấy $A_1, A_2$ với $AA_1=A_1A_2=A_2S$. Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ song song với $(ABC)$ và lần lượt đi qua $A_1, A_2$. $(P)$ cắt $SB, SC$ tại $B_1, C_1$; $(Q)$ cắt $SB, SC$ tại $B_2, C_2$. Chứng minh $BB_1=B_1B_2=B_2S$ và $CC_1=C_1C_2=C_2S$.
Lời giải:
Ba mặt phẳng $(ABC),\ (P),\ (Q)$ song song với nhau. Chúng cắt:
- Đường thẳng $SA$ tại $A,\ A_1,\ A_2$.
- Đường thẳng $SB$ tại $B,\ B_1,\ B_2$.
- Đường thẳng $SC$ tại $C,\ C_1,\ C_2$.
Theo định lí: ba mặt phẳng song song chắn trên hai đường thẳng (cát tuyến) những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên:
$$\frac{AA_1}{A_1A_2}=\frac{BB_1}{B_1B_2}, \qquad \frac{A_1A_2}{A_2S}=\frac{B_1B_2}{B_2S}.$$
Mà theo giả thiết $AA_1=A_1A_2=A_2S$, suy ra:
$$BB_1=B_1B_2=B_2S.$$
Hoàn toàn tương tự với cát tuyến $SC$:
$$CC_1=C_1C_2=C_2S.$$
Bài 4.25: Thiết diện song song với đáy
Đề: Lăng trụ tứ giác $ABCD.A'B'C'D'$. Một mặt phẳng song song với $(A'B'C'D')$ cắt các cạnh bên tại $A'', B'', C'', D''$. Hình tạo bởi $A, B, C, D, A'', B'', C'', D''$ là hình gì?
Lời giải:
Vì mặt phẳng cắt song song với mặt đáy $(A'B'C'D')$, mà $(A'B'C'D')\parallel(ABCD)$, nên thiết diện $A''B''C''D''$ song song và "bằng" đáy $ABCD$ (cùng dạng tứ giác). Khi đó $AA''\parallel BB''\parallel CC''\parallel DD''$ (đều nằm trên các cạnh bên song song của lăng trụ).
Vậy $ABCD.A''B''C''D''$ là một hình lăng trụ tứ giác, có hai đáy là $ABCD$ và $A''B''C''D''$.
Bài 4.26: Trọng tâm hai đáy lăng trụ
Đề: Lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. $G, G'$ là trọng tâm của $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$.
a) Chứng minh tứ giác $AGG'A'$ là hình bình hành.
b) Chứng minh $AGC.A'G'C'$ là hình lăng trụ.
Lời giải:
Trong lăng trụ ta có các vectơ cạnh bên bằng nhau:
$$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}.$$
a) Vì $G, G'$ là trọng tâm nên:
$$\overrightarrow{GG'} = \frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right) = \frac{1}{3}\cdot 3\,\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AA'}.$$
Do $\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{AA'}$ nên $AG'G A'$... cụ thể $AA' \parallel GG'$ và $AA'=GG'$. Vậy tứ giác $AGG'A'$ là hình bình hành (có cặp cạnh $AA',\ GG'$ song song và bằng nhau).
b) Xét hai tam giác $AGC$ và $A'G'C'$. Ta có:
$$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{CC'}.$$
Nghĩa là $\triangle A'G'C'$ là ảnh của $\triangle AGC$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AA'}$. Hai tam giác này nằm trong hai mặt phẳng song song $(ABC)\parallel(A'B'C')$, các cạnh bên $AA', GG', CC'$ song song và bằng nhau.
Vậy $AGC.A'G'C'$ là một hình lăng trụ (lăng trụ tam giác).
Bài 4.27: Thiết diện song song mặt bên
Đề: Hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Một mặt phẳng song song với mặt bên $(ABB'A')$ và cắt các cạnh $AD, BC, A'D', B'C'$ lần lượt tại $M, N, M', N'$. Chứng minh $ABNM.A'B'N'M'$ là hình hộp.
Lời giải:
Bước 1 – Đáy $ABNM$ là hình bình hành.
Mặt phẳng cắt $(MNN'M')$ song song với $(ABB'A')$. Giao tuyến của $(ABCD)$ với $(ABB'A')$ là $AB$, nên giao tuyến của $(ABCD)$ với mặt phẳng cắt là một đường song song với $AB$, đó chính là $MN$:
$$MN \parallel AB.$$
Lại có $M\in AD,\ N\in BC$ mà $AD\parallel BC$ nên $AM\parallel BN$.
Vậy $ABNM$ có $AB\parallel MN$ và $AM\parallel BN$ → là hình bình hành.
Bước 2 – Mặt $A'B'N'M'$ cũng là hình bình hành (chứng minh tương tự trong đáy $A'B'C'D'$).
Bước 3 – Các cạnh bên song song và bằng nhau.
Giao tuyến của $(ADD'A')$ với mặt phẳng cắt song song với giao tuyến $AA'$ của $(ADD'A')$ với $(ABB'A')$, nên $MM'\parallel AA'$. Tương tự $NN'\parallel BB'$. Trong hình hộp $AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'$ và bằng nhau, do đó:
$$AA'\parallel BB'\parallel NN'\parallel MM' \text{ và bằng nhau.}$$
Vậy $ABNM.A'B'N'M'$ là hình lăng trụ tứ giác có hai đáy là hình bình hành, tức là một hình hộp.
Bài 4.28: Cầu thang xương cá
Đề: Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.
Lời giải:
- Các mặt bậc thang đều nằm ngang nên chúng là những mặt phẳng song song với nhau.
- Bức tường là một mặt phẳng cố định, cắt qua tất cả các mặt bậc thang đó.
- Phần mép của mỗi bậc trên tường chính là giao tuyến giữa mặt bậc thang và mặt tường.
Theo tính chất: nếu hai mặt phẳng song song cùng bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
Áp dụng cho từng cặp mặt bậc thang, các giao tuyến (mép bậc) lần lượt song song với nhau. Vậy phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau.