Giải Toán tập 1 trang 96

Tóm tắt lý thuyết: Phép chiếu song song

Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $\Delta$ cắt $(\alpha)$. Với mỗi điểm $M$ trong không gian, ta xác định điểm $M'$ như sau:

• Nếu $M$ thuộc $\Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $\Delta$.
• Nếu $M$ không thuộc $\Delta$ thì $M'$ là giao điểm của $(\alpha)$ và đường thẳng qua $M$ song song với $\Delta$.

Các khái niệm cần nhớ:

Chú ý quan trọng: Nếu một đường thẳng song song với phương chiếu thì hình chiếu của nó là một điểm. Từ đây về sau, ta chỉ xét các phép chiếu mà phương chiếu không song song với mặt phẳng chiếu.

HĐ1: Bóng của khung cửa sổ

Đề bài: Một khung cửa sổ hình tròn với các chấn song tạo thành hình vuông $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$. Dưới ánh mặt trời, khung cửa đổ bóng lên sàn nhà (H.4.56a).

a) Các đường thẳng nối mỗi điểm $A, B, C$ với bóng $A', B', C'$ có đôi một song song hay không?

b) Làm thế nào để xác định được bóng đổ trên sàn nhà của mỗi điểm trên khung cửa sổ?

Lời giải:

a) Có. Các tia sáng mặt trời được coi là song song với nhau (vì Mặt Trời ở rất xa). Vì vậy các đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ (nối mỗi điểm với bóng của nó) đôi một song song với nhau.

b) Để xác định bóng $M'$ của một điểm $M$ bất kì trên khung cửa: ta vẽ đường thẳng đi qua $M$, song song với phương của tia nắng (phương chiếu). Giao điểm của đường thẳng này với mặt sàn chính là bóng $M'$ cần tìm.

Giải thích: Đây chính là mô hình thực tế của phép chiếu song song, với mặt sàn là mặt phẳng chiếu và phương tia nắng là phương chiếu.

Câu hỏi: Bóng của song cửa CD

Đề bài: Trong HĐ1, làm thế nào để xác định được bóng của toàn bộ song cửa $CD$ trên sàn nhà?

Lời giải:

Song cửa $CD$ là một đoạn thẳng. Ta lần lượt xác định bóng của hai điểm đầu mút:

• Bóng $C'$ của điểm $C$ (vẽ tia qua $C$ song song với phương nắng, cắt sàn tại $C'$).
• Bóng $D'$ của điểm $D$ (làm tương tự).

Khi đó bóng của toàn bộ song cửa $CD$ chính là đoạn thẳng $C'D'$.

Lý do: Hình chiếu song song của một đoạn thẳng (không song song với phương chiếu) là một đoạn thẳng. Do đó chỉ cần chiếu hai đầu mút rồi nối lại là đủ.

Ví dụ 1: Hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'

Đề bài:

a) Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.

b) Gọi $M$ là một điểm thuộc đoạn thẳng $AB$. Xác định hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.

Lời giải (H.4.57):

a) Hình chiếu của $A$ là điểm $A'$.

Giải thích từng bước:

• Vì $ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ nên ba cạnh bên đôi một song song: $AA' \parallel BB' \parallel CC'$.
• Như vậy đường thẳng $AA'$ song song với phương chiếu $CC'$.
• Mà $A'$ lại thuộc mặt phẳng $(A'B'C')$.
• Vậy $A'$ chính là hình chiếu của $A$ trên $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.

b) Hình chiếu của $M$ là điểm $M'$ — giao của đường thẳng qua $M$ song song $AA'$ với cạnh $A'B'$.

Giải thích từng bước:

• Trong mặt phẳng $(ABB'A')$, vẽ đường thẳng qua $M$ song song với $AA'$, cắt $A'B'$ tại $M'$. Khi đó $MM' \parallel AA'$.
• Vì $AA' \parallel CC'$ nên suy ra $MM' \parallel CC'$ (cùng song song $AA'$).
• Mà $M'$ thuộc $A'B' \subset (A'B'C')$.
• Vậy $M'$ là hình chiếu của $M$ trên mặt phẳng $(A'B'C')$ theo phương $CC'$.

Ghi chú nhỏ cho em: Hình ảnh mở đầu về công nghệ Goal-line trong bóng đá cũng dựa trên ý tưởng này — yếu tố hình học giúp xác định bóng đã vượt vạch vôi hay chưa chính là hình chiếu (theo phương thẳng đứng) của quả bóng xuống mặt sân.

Em có muốn cô vẽ minh họa lại Hình 4.57 hoặc giải thêm phần bài tập ở các trang sau không?