Giải Toán tập 1 trang 98

Tóm tắt lý thuyết

Tính chất của phép chiếu song song:

1. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không đổi thứ tự; biến đường thẳng → đường thẳng, tia → tia, đoạn thẳng → đoạn thẳng.
2. Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
3. Giữ nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{A'B'}{C'D'}$$

Hình biểu diễn: Hình biểu diễn của một hình trong không gian là hình chiếu song song của hình đó trên một mặt phẳng (hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó).

---

Bài 1: Luyện tập 1

Đề: Cho hình hộp $ABCD.EFGH$ (H.4.58). Xác định hình chiếu của điểm $A$ trên mặt phẳng $(CDHG)$ theo phương $BC$ và theo phương $BG$.

Lời giải:

Chiếu theo phương $BC$:

• Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$.
• Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC$, do đó đường thẳng qua $A$ song song $BC$ chính là đường thẳng $AD$.
• Đường này cắt mặt phẳng $(CDHG)$ tại điểm $D$ (vì $D$ thuộc cạnh $DC \subset (CDHG)$).

→ Hình chiếu của $A$ theo phương $BC$ là điểm $D$.

Chiếu theo phương $BG$:

• Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BG$.
• Trong hình hộp, $ABGH$... ta xét tứ giác $ABGH$: cạnh $AH \parallel BG$ (vì $AB \parallel HG$ và $AB = HG$, nên $ABGH$ là hình bình hành), suy ra $AH \parallel BG$.
• Đường thẳng $AH$ cắt mặt phẳng $(CDHG)$ tại điểm $H$ (vì $H \in (CDHG)$).

→ Hình chiếu của $A$ theo phương $BG$ là điểm $H$.

---

Bài 2: Vận dụng 1

Đề: Trong hình ảnh mở đầu, khi một bàn thắng được ghi thì hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng có vị trí như thế nào với vạch vôi?

Lời giải:

Một bàn thắng hợp lệ khi quả bóng đã vượt hoàn toàn qua vạch vôi cầu môn. Vậy:

→ Hình chiếu của quả bóng trên mặt đất theo phương thẳng đứng nằm phía trong khung thành, đã vượt qua hẳn vạch vôi (không còn nằm trên vạch vôi nữa).

---

Bài 3: HĐ2

Đề: Quan sát Hình 4.56a và trả lời:

a) Hình chiếu $O'$ của điểm $O$ có nằm trên đoạn $A'C'$ hay không?

b) Hình chiếu của hai song cửa $AB$ và $CD$ như thế nào với nhau?

c) Hình chiếu $O'$ của điểm $O$ có phải là trung điểm của đoạn $A'C'$ hay không?

Lời giải:

a) $O$ là giao điểm hai đường chéo nên $O$ nằm trên đoạn $AC$. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ thứ tự, nên $A', O', C'$ thẳng hàng theo thứ tự đó.

→ Có, $O'$ nằm trên đoạn $A'C'$.

b) $AB \parallel CD$, mà phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường song song hoặc trùng nhau.

→ Hình chiếu của $AB$ và $CD$ song song hoặc trùng nhau (với khung cửa thì song song với nhau).

c) Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $\dfrac{AO}{OC}=1$. Phép chiếu giữ nguyên tỉ số độ dài nên $\dfrac{A'O'}{O'C'}=1$.

→ Có, $O'$ là trung điểm của đoạn $A'C'$.

---

Bài 4: Câu hỏi (?) – sau Hình 4.59

Đề: Hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có phải là hai đường thẳng cắt nhau hay không?

Lời giải:

Không phải lúc nào cũng vậy. Hai đường thẳng cắt nhau khi chiếu song song có thể cho:

• Hai đường thẳng cắt nhau (trường hợp thường gặp), hoặc
• Hai đường thẳng trùng nhau (khi mặt phẳng chứa hai đường đó song song với phương chiếu, ảnh của chúng nằm trên cùng một đường thẳng).

Vậy câu trả lời là: hình chiếu của hai đường thẳng cắt nhau có thể là hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

---

Bài 5: Luyện tập 2

Đề: Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).

Lời giải:

Cho hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$ (hai đáy). Gọi $A'B'C'D'$ là hình chiếu song song của $ABCD$.

• Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng, nên ảnh của $AB, BC, CD, DA$ lần lượt là các đoạn $A'B', B'C', C'D', D'A'$. Do đó $A'B'C'D'$ là một tứ giác.
• Vì $AB \parallel CD$, phép chiếu song song biến hai đường song song thành hai đường song song hoặc trùng nhau. Hai cạnh $A'B'$ và $C'D'$ không thể trùng nhau (vì chúng là ảnh của hai đáy phân biệt của tứ giác), nên $A'B' \parallel C'D'$.

Tứ giác $A'B'C'D'$ có $A'B' \parallel C'D'$ nên nó là hình thang. (đpcm)

---

Bài 6: Luyện tập 3

Đề: Một phép chiếu song song biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến đường trung bình của tam giác $ABC$ thành đường trung bình của tam giác $A'B'C'$.

Lời giải:

Xét đường trung bình $MN$ của tam giác $ABC$, với $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$. Gọi $M', N'$ lần lượt là ảnh của $M, N$ qua phép chiếu.

• Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $A, M, B$ thẳng hàng và $\dfrac{AM}{MB}=1$. Phép chiếu giữ nguyên tỉ số nên $A', M', B'$ thẳng hàng và $\dfrac{A'M'}{M'B'}=1$ ⟹ $M'$ là trung điểm $A'B'$.
• Tương tự, $N'$ là trung điểm $A'C'$.

Vậy $M'N'$ nối trung điểm hai cạnh $A'B'$ và $A'C'$ của tam giác $A'B'C'$, tức $M'N'$ là đường trung bình của tam giác $A'B'C'$. (đpcm)

---

Bài 7: HĐ3

Đề: Trong ba hình dưới đây (Hình 4.63), hình nào thể hiện hình lập phương chính xác hơn?

Lời giải:

• Hình a): các cạnh song song được vẽ song song, các mặt là hình bình hành — đúng quy tắc hình biểu diễn của phép chiếu song song.
• Hình b): các cạnh đáy bị "xòe" ra không song song → sai.
• Hình c): các cạnh bên không song song (bị thu hẹp về phía đáy như phối cảnh) → sai.

→ Hình a) thể hiện hình lập phương chính xác hơn.

---

Bài 8: Câu hỏi (?) – cuối trang 98

Đề: Quan sát hình ảnh khung cửa sổ trong Hình 4.56a và cho biết hình biểu diễn của hình tam giác, hình vuông, hình tròn là hình gì?

Lời giải:

Dựa vào tính chất của phép chiếu song song:

Giải thích: Phép chiếu song song giữ tính thẳng hàng và song song nhưng không giữ độ dài, góc; nên hình vuông (có các cặp cạnh song song) trở thành hình bình hành, còn đường tròn trở thành elip.

---

Tóm lại, hai trang này tập trung vào các tính chất quan trọng của phép chiếu song song (thẳng hàng, song song, tỉ số độ dài) và cách dùng chúng để dựng hình biểu diễn. Em nắm vững ba tính chất là giải được hầu hết các bài dạng này. Cần cô làm rõ chỗ nào cứ hỏi nhé!