Giải Toán tập 1 trang 100

🔍 Kiến thức cần nhớ

Tính chất hình biểu diễn của phép chiếu song song

Khi hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu:

• Hình biểu diễn của tam giác (cân, đều, vuông) là một tam giác
• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành
• Hình biểu diễn của hình thang ABCD với AB // CD là một hình thang A'B'C'D' với A'B' // C'D' thỏa mãn: AB/CD = A'B'/C'D'
• Hình biểu diễn của hình tròn là hình elip

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 4

Đề bài: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Bước 1: Vẽ hình biểu diễn của đáy ABCD

• Vì ABCD là hình bình hành, nên hình biểu diễn của nó cũng là một hình bình hành
• Vẽ hình bình hành ABCD với các cạnh đối song song và bằng nhau

Bước 2: Xác định vị trí đỉnh S

• Đỉnh S nằm ngoài mặt phẳng chứa đáy ABCD
• Thường vẽ S ở phía trên tâm của hình bình hành (hoặc lệch một chút để hình rõ ràng hơn)

Bước 3: Nối S với các đỉnh của đáy

• Nối S với A, B, C, D
• Các cạnh khuất (SA, SD hoặc tùy góc nhìn) vẽ bằng nét đứt

Hình biểu diễn:

           S
          /|\
         / | \
        /  |  \
       /   |   \
      A----+----B
      |    |    |
      |    O    |
      |         |
      D---------C

(Trong đó O là giao điểm hai đường chéo, các cạnh SA, SD vẽ nét đứt nếu bị che khuất)

Cách 2 — Phương pháp thực hành nhanh

• Vẽ hình bình hành ABCD với AB // DC, AD // BC
• Chọn điểm S phía trên (thường đặt gần tâm O của hình bình hành)
• Nối SA, SB, SC, SD
• Cạnh nào bị che bởi mặt phẳng phía trước thì vẽ nét đứt

💡 Mẹo nhớ: Khi vẽ hình chóp, luôn vẽ đáy trước (theo đúng dạng hình biểu diễn), sau đó mới xác định đỉnh và nối các cạnh bên.

---

Vận dụng 2

Đề bài: Phép chiếu song song có thể được sử dụng để vẽ dạng nổi (hay dạng 3D) của chữ cái như trong hình dưới đây. Theo phương pháp đó hãy vẽ dạng nổi của một số chữ cái quen thuộc như L, N, T, ...

Cách 1 — Phương pháp cơ bản

Nguyên tắc vẽ chữ 3D bằng phép chiếu song song:

1. Vẽ chữ cái mặt trước (hình phẳng 2D)
2. Kẻ các đường song song từ các đỉnh của chữ theo một phương chiếu cố định (thường là hướng chéo 45°)
3. Vẽ chữ cái mặt sau cách mặt trước một khoảng bằng nhau theo phương chiếu
4. Nối các đỉnh tương ứng của mặt trước và mặt sau

Ví dụ vẽ chữ L dạng 3D:

Mặt trước:        Dạng 3D:
 ___               ___-------___
|                 |  \          \
|                 |   \          \
|                 |    \          \
|___              |___--\___-------
                       \    \
                        \____\

Ví dụ vẽ chữ N dạng 3D:

• Vẽ chữ N ở mặt trước
• Từ mỗi đỉnh của chữ N, kẻ đường song song theo phương chiếu
• Vẽ chữ N ở mặt sau
• Nối các điểm tương ứng

Ví dụ vẽ chữ T dạng 3D:

• Vẽ chữ T mặt trước
• Kẻ các đường song song từ 8 đỉnh của chữ T
• Vẽ chữ T mặt sau
• Nối hoàn chỉnh

Cách 2 — Mẹo thực hành nhanh

• Chọn góc chiếu khoảng 30° – 45° so với phương ngang
• Độ dày của chữ 3D nên bằng khoảng 1/3 – 1/2 chiều cao chữ để hình cân đối
• Các cạnh song song trong thực tế phải vẽ song song trong hình biểu diễn
• Tô đậm các cạnh mặt trước, vẽ nhạt hoặc nét đứt các cạnh mặt sau bị khuất

💡 Mẹo nhớ: Tất cả các đường chiếu phải song song và có cùng độ dài để đảm bảo tính chất của phép chiếu song song.

---

Bài 4.29

Đề bài: Những mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Cách 1 — Phân tích từng mệnh đề

a) Phép chiếu song song biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

Phân tích: Theo tính chất của phép chiếu song song, phép chiếu biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng (hoặc một điểm nếu đoạn thẳng song song với phương chiếu).

→ ĐÚNG (với điều kiện đoạn thẳng không song song với phương chiếu)

b) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng cắt nhau.

Phân tích: Theo tính chất của phép chiếu song song, hai đường thẳng song song sẽ có hình chiếu là hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). Không thể biến thành hai đường thẳng cắt nhau.

→ SAI

c) Phép chiếu song song biến tam giác đều thành tam giác cân.

Phân tích: Phép chiếu song song biến tam giác thành tam giác, nhưng không nhất thiết biến tam giác đều thành tam giác cân. Hình chiếu có thể là tam giác thường (không cân), tam giác cân, hoặc thậm chí tam giác đều tùy thuộc vào vị trí của mặt phẳng chiếu.

→ SAI

d) Phép chiếu song song biến hình vuông thành hình bình hành.

Phân tích: Hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình bình hành. Theo tính chất, phép chiếu song song biến hình bình hành thành hình bình hành. Do đó, hình vuông sẽ được biến thành hình bình hành.

→ ĐÚNG

Cách 2 — Tổng hợp nhanh

Đáp án: a) và d) đúng; b) và c) sai

⚠️ Lưu ý thi: Phép chiếu song song bảo toàn tính song song và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng phương, nhưng không bảo toàn độ dài, góc, và các tính chất về cân, đều.

---

Bài 4.30

Đề bài: Nếu tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua một phép chiếu song song thì tam giác ABC có phải là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song hay không? Giải thích vì sao.

Cách 1 — Phương pháp phân tích

Trả lời: CÓ, tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua một phép chiếu song song.

Giải thích:

Giả sử tam giác A'B'C' là hình chiếu của tam giác ABC qua phép chiếu song song theo phương l⃗ lên mặt phẳng (P).

Bước 1: Xác định quan hệ giữa các điểm

• A' là hình chiếu của A theo phương l⃗
• B' là hình chiếu của B theo phương l⃗
• C' là hình chiếu của C theo phương l⃗

Điều này có nghĩa: AA' // BB' // CC' // l⃗

Bước 2: Xây dựng phép chiếu ngược

Ta xét phép chiếu song song theo cùng phương l⃗ (hoặc phương ngược lại) từ mặt phẳng (P) lên mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Khi đó:

• A là hình chiếu của A'
• B là hình chiếu của B'
• C là hình chiếu của C'

Kết luận: Tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A'B'C' qua phép chiếu song song theo phương l⃗ lên mặt phẳng chứa tam giác ABC.

Cách 2 — Lập luận trực quan

Phép chiếu song song có tính "thuận nghịch":

• Nếu A' là hình chiếu của A, thì đường thẳng AA' song song với phương chiếu
• Theo chiều ngược lại, A cũng nằm trên đường thẳng qua A' song song với phương chiếu
• Do đó A là hình chiếu của A' khi chiếu lên mặt phẳng chứa A

Tương tự cho B, C. Vậy tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A'B'C'.

💡 Mẹo nhớ: Phép chiếu song song có tính đối xứng: nếu X' là hình chiếu của X, thì X cũng có thể xem là hình chiếu của X' theo cùng phương chiếu nhưng lên mặt phẳng khác.

---

Bài 4.31

Đề bài: Phép chiếu song song biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Chứng minh rằng phép chiếu đó biến trọng tâm của tam giác ABC thành trọng tâm của tam giác A'B'C'.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng tính chất bảo toàn tỉ số

Chứng minh:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của BC.

Bước 1: Xác định vị trí trọng tâm G

Theo tính chất trọng tâm: G nằm trên đoạn AM và AG/GM = 2/1 (hay AG = 2GM)

Bước 2: Xét hình chiếu qua phép chiếu song song

Gọi G', M' lần lượt là hình chiếu của G, M qua phép chiếu song song.

Bước 3: Chứng minh M' là trung điểm của B'C'

Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC.

Theo tính chất phép chiếu song song: phép chiếu bảo toàn tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc hai đường thẳng song song).

Do đó: B'M'/M'C' = BM/MC = 1

Suy ra: B'M' = M'C', tức M' là trung điểm của B'C'.

Bước 4: Chứng minh G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'

Vì A, G, M thẳng hàng và AG/GM = 2, theo tính chất bảo toàn tỉ số:

A'G'/G'M' = AG/GM = 2

Điều này có nghĩa:

• G' nằm trên đoạn A'M' (với M' là trung điểm của B'C')
• A'G' = 2 × G'M'

Đây chính là tính chất của trọng tâm tam giác.

Kết luận: G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. ∎

Cách 2 — Phương pháp tọa độ trọng tâm

Chứng minh:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo công thức trọng tâm (dạng vector):

• Vị trí G thỏa mãn: GA⃗ + GB⃗ + GC⃗ = 0⃗

Hay nói cách khác, G chia các đoạn từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối theo tỉ số 2:1.

Vì phép chiếu song song:

• Bảo toàn tính thẳng hàng của ba điểm
• Bảo toàn tỉ số khoảng cách của ba điểm thẳng hàng

Nên G' (hình chiếu của G) cũng chia các đoạn tương ứng trong tam giác A'B'C' theo tỉ số 2:1.

Do đó G' là trọng tâm của tam giác A'B'C'. ∎

⚠️ Lưu ý thi: Bài này thường được mở rộng: phép chiếu song song cũng biến tâm đường tròn ngoại tiếp thành tâm elip ngoại tiếp hình chiếu, biến trực tâm thành điểm có tính chất tương tự trong hình chiếu.

---

Bài 4.32

Đề bài: Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều hay không? Vì sao?

(Hình 4.65: Lục giác ABCDEF với các dấu hiệu cho thấy AB = BC, CD = DE, EF = FA và một số cạnh bằng nhau)

Cách 1 — Phương pháp kiểm tra tính chất

Trả lời: CÓ, hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của một hình lục giác đều.

Giải thích:

Bước 1: Nhắc lại tính chất của hình lục giác đều

• 6 cạnh bằng nhau
• 6 góc bằng nhau (mỗi góc = 120°)
• Có tâm đối xứng
• 3 đường chéo chính đi qua tâm và bằng nhau
• Các cạnh đối song song: AB // DE, BC // EF, CD // FA

Bước 2: Kiểm tra tính chất qua phép chiếu song song

Theo tính chất của phép chiếu song song:

• Các cạnh song song vẫn song song sau khi chiếu
• Các đoạn thẳng bằng nhau và cùng phương vẫn bằng nhau sau khi chiếu

Trong hình lục giác đều:

• AB // DE ⟹ A'B' // D'E' và A'B' = D'E'
• BC // EF ⟹ B'C' // E'F' và B'C' = E'F'
• CD // FA ⟹ C'D' // F'A' và C'D' = F'A'

Bước 3: Đối chiếu với Hình 4.65

Quan sát Hình 4.65:

• Các cặp cạnh đối có vẻ song song
• Các dấu bằng nhau trên hình cho thấy các cặp cạnh đối bằng nhau
• Đây phù hợp với hình chiếu của lục giác đều

Kết luận: Hình 4.65 có thể là hình biểu diễn của hình lục giác đều vì nó thỏa mãn các tính chất được bảo toàn qua phép chiếu song song.

Cách 2 — Lập luận ngắn gọn

Hình lục giác đều có:

• 3 cặp cạnh đối song song và bằng nhau

Phép chiếu song song bảo toàn:

• Tính song song
• Tỉ số độ dài các đoạn cùng phương

Hình 4.65 thể hiện đúng các tính chất này (các cạnh đối song song, các cặp cạnh đối bằng nhau), nên có thể là hình biểu diễn của lục giác đều.

💡 Mẹo nhớ: Để kiểm tra một hình có thể là hình biểu diễn của hình H hay không, chỉ cần kiểm tra các tính chất được bảo toàn qua phép chiếu song song: tính thẳng hàng, tính song song, tỉ số đoạn thẳng cùng phương.

---

Bài 4.33

Đề bài: Vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB song song với CD và AB = 2 cm, CD = 6 cm.

Cách 1 — Phương pháp từng bước

Bước 1: Vẽ hình biểu diễn của đáy ABCD

Vì ABCD là hình thang với AB // CD và AB = 2 cm, CD = 6 cm:

• Hình biểu diễn của hình thang là hình thang
• Tỉ số được bảo toàn: A'B'/C'D' = AB/CD = 2/6 = 1/3

Vẽ hình thang A'B'C'D' với:

• A'B' // C'D'
• Chọn tỉ lệ phù hợp, ví dụ: A'B' = 2 đơn vị, C'D' = 6 đơn vị

Bước 2: Xác định vị trí đỉnh S

• Đỉnh S nằm ngoài mặt phẳng chứa đáy
• Thường đặt S ở phía trên, gần tâm của đáy

Bước 3: Nối S với các đỉnh đáy

• Nối SA, SB, SC, SD
• Các cạnh bị khuất vẽ nét đứt

Hình biểu diễn:

            S
           /|\
          / | \
         /  |  \
        /   |   \
       A----+----B        (AB ngắn, ở trên)
      /     |     \
     /      |      \
    /       |       \
   D--------+--------C    (CD dài, ở dưới)

Lưu ý:

• AB ở phía trên (cạnh ngắn hơn)
• CD ở phía dưới (cạnh dài hơn)
• AB // CD trong hình biểu diễn
• Tỉ số AB : CD = 1 : 3 được giữ nguyên

Cách 2 — Phương pháp thực hành

1. Vẽ đoạn CD = 6 cm (hoặc theo tỉ lệ) làm đáy lớn
2. Vẽ AB = 2 cm song song với CD, nằm phía trên
3. Nối AD và BC tạo thành hình thang ABCD
4. Đánh dấu điểm S phía trên hình thang
5. Nối S với 4 đỉnh, cạnh khuất vẽ nét đứt

💡 Mẹo bấm máy: Khi vẽ hình biểu diễn trên giấy, có thể dùng thước để đảm bảo AB // CD và tỉ số AB/CD = 1/3.

⚠️ Lưu ý thi: Trong hình biểu diễn, phải đảm bảo: - Các đường song song phải vẽ song song - Tỉ số các đoạn cùng phương phải đúng - Phân biệt rõ cạnh thấy (nét liền) và cạnh khuất (nét đứt)

---

Bài 4.34

Đề bài: Trong hình bên, AB và CD là bóng của hai thanh chắn của một chiếc thang dưới ánh mặt trời. Hãy giải thích tại sao AB song song với CD.

Cách 1 — Phương pháp sử dụng phép chiếu song song

Giải thích:

Bước 1: Nhận xét về tia sáng mặt trời

Mặt trời ở rất xa Trái Đất (khoảng 150 triệu km), nên các tia sáng mặt trời chiếu đến Trái Đất có thể coi là song song với nhau.

Bước 2: Liên hệ với phép chiếu song song

Bóng của vật thể dưới ánh mặt trời chính là hình chiếu song song của vật thể đó:

• Phương chiếu = phương của tia sáng mặt trời
• Mặt phẳng chiếu = mặt đất

Bước 3: Áp dụng tính chất

Hai thanh chắn của chiếc thang là hai đoạn thẳng song song với nhau (vì chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và cách đều nhau).

Theo tính chất của phép chiếu song song:

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.

Kết luận: Vì hai thanh chắn của thang song song với nhau, nên bóng của chúng (AB và CD) cũng song song với nhau.

Cách 2 — Giải thích trực quan

• Các tia sáng mặt trời song song
• Hai thanh chắn thang song song
• Mỗi điểm trên thanh chắn được chiếu xuống đất theo cùng phương
• Do đó, hai bóng AB và CD cũng song song

Công thức tổng quát:

Nếu d₁ // d₂ và phép chiếu song song theo phương l⃗, thì d₁' // d₂' (với d₁', d₂' là hình chiếu của d₁, d₂).

💡 Mẹo nhớ: Bóng nắng = phép chiếu song song (vì tia sáng mặt trời gần như song song). Bóng đèn = phép chiếu xuyên tâm (vì tia sáng xuất phát từ một điểm).

🎯 Ghi nhớ: - Phép chiếu song song bảo toàn: tính thẳng hàng, tính song song, tỉ số đoạn thẳng cùng phương, thứ tự điểm. - Phép chiếu song song KHÔNG bảo toàn: độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tính vuông góc. - Ứng dụng thực tế: Bóng nắng, hình chiếu kỹ thuật (hình chiếu bằng, đứng, cạnh), vẽ hình không gian trên mặt phẳng.