Giải Toán tập 1 trang 102

Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 102–103

Tóm tắt lý thuyết (Trang 101 – Em có biết?)

Phần này giới thiệu về phép chiếu xuyên tâm (phép chiếu phối cảnh):

Phép chiếu song song giữ đúng tỉ lệ kích thước nên hay dùng trong bản vẽ kĩ thuật, nhưng không thể hiện được luật xa gần (vật ở gần trông to, vật ở xa trông nhỏ).
Khai thác "ảo giác" của mắt, Escher và Penrose tạo ra các "vật thể bất khả thi" như "Thác nước Escher" và "Cầu thang Penrose".
Phép chiếu xuyên tâm: với tâm $C$ và mặt phẳng chiếu $(P)$ không đi qua $C$, mỗi điểm $M$ ứng với điểm $M'$ là giao của $CM$ và $(P)$. Phép chiếu này biến đường thẳng thành đường thẳng và đảm bảo luật xa gần.
Các đường thẳng song song trong thực tế (như hai đường ray xe lửa) khi vẽ phối cảnh sẽ "cắt nhau ở xa vô tận" trên đường chân trời.

Bài 4.35

Đề: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ chứa đường thẳng $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$. Vị trí tương đối của $a$ và $b$ là?

Đáp án: C. song song

Lời giải:

$a \parallel (P)$ và $a \subset (Q)$, với $(Q) \cap (P) = b$.
Theo định lí giao tuyến: nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng cắt mặt phẳng đó, thì nó song song với giao tuyến.
Vậy $a \parallel b$.

Bài 4.36

Đề: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $SD$. Đường thẳng $SB$ song song với mặt phẳng nào?

Đáp án: B. $(ACM)$

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, suy ra $O$ là trung điểm $BD$.
Trong tam giác $SBD$: $O$ là trung điểm $BD$, $M$ là trung điểm $SD$, nên $OM$ là đường trung bình $\Rightarrow OM \parallel SB$.
Mà $O \in AC$ nên $OM \subset (ACM)$, và $SB \not\subset (ACM)$.
Vậy $SB \parallel (ACM)$.

Bài 4.37

Đề: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Mặt phẳng $(AB'D')$ song song với mặt phẳng nào?

Đáp án: D. $(BDC')$

Lời giải (dùng vectơ trong hình hộp):

$\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{DC'} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{DC'}$, nên $AB' \parallel DC'$.

$\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{BC'}$, nên $AD' \parallel BC'$.

Mặt phẳng $(AB'D')$ có hai phương $AB', AD'$ lần lượt song song với $DC', BC'$ nằm trong $(BDC')$.
Vậy $(AB'D') \parallel (BDC')$.

Bài 4.38

Đề: Cho ba mặt phẳng $(P), (Q), (R)$ đôi một song song. Đường thẳng $a$ cắt chúng tại $A, B, C$ với $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2}{3}$; đường thẳng $b$ cắt chúng tại $A', B', C'$. Tính $\dfrac{A'B'}{B'C'}$.

Đáp án: A. $\dfrac{2}{3}$

Lời giải:

Định lí Thalès trong không gian: ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Do đó $\dfrac{A'B'}{B'C'} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{2}{3}$.

Bài 4.39

Đề: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SB, SD$; $K$ là giao điểm của $(AMN)$ và $SC$. Tính $\dfrac{SK}{SC}$.

Đáp án: B. $\dfrac{1}{3}$

Lời giải (dùng vectơ, lấy $S$ làm gốc):

Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec a,\ \overrightarrow{SB}=\vec b,\ \overrightarrow{SC}=\vec c,\ \overrightarrow{SD}=\vec d$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\vec a + \vec c = \vec b + \vec d \Rightarrow \vec c = \vec b + \vec d - \vec a$.

Ta có $M=\dfrac{\vec b}{2},\ N=\dfrac{\vec d}{2},\ A=\vec a$.

Điểm $K\in SC$ nên $K = t\vec c$. Đồng thời $K$ thuộc $(AMN)$:

$$K = \vec a + \lambda\left(\tfrac{\vec b}{2}-\vec a\right) + \mu\left(\tfrac{\vec d}{2}-\vec a\right)$$

Thay $\vec c = \vec b + \vec d - \vec a$ vào $K=t\vec c$ rồi đồng nhất hệ số:

Theo vectơ	Phương trình
$\vec a$	$1-\lambda-\mu = -t$
$\vec b$	$\dfrac{\lambda}{2} = t$
$\vec d$	$\dfrac{\mu}{2} = t$

Suy ra $\lambda = \mu = 2t$, thay vào: $1 - 4t = -t \Rightarrow 3t = 1 \Rightarrow t = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $\dfrac{SK}{SC} = \dfrac{1}{3}$.

Bài 4.40

Đề: Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M, M'$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, B'C'$. Hình chiếu của $\triangle B'DM$ qua phép chiếu song song lên $(A'B'C'D')$ theo phương chiếu $AA'$ là?

Đáp án: D. $\triangle B'D'M'$

Lời giải: Chiếu từng đỉnh theo phương $AA'$ (tức theo phương các cạnh bên) lên mặt phẳng đáy trên $(A'B'C'D')$:

$B'$ đã nằm trên mặt phẳng $(A'B'C'D')$ nên ảnh là chính nó: $B' \to B'$.
$D$ chiếu theo phương $DD' \parallel AA'$ nên ảnh là $D'$: $D \to D'$.
$M$ là trung điểm $BC$, chiếu theo phương $AA'$ thành trung điểm của $B'C'$, đó chính là $M'$: $M \to M'$.

Vậy ảnh của $\triangle B'DM$ là $\triangle B'D'M'$.

Tổng hợp đáp án nhanh:

Bài	4.35	4.36	4.37	4.38	4.39	4.40
Đáp án	C	B	D	A	B	D

Em gửi thêm ảnh trang 103 (nếu có phần B – Tự luận) để thầy giải tiếp nhé.

Chế độ đọc sách →