Giải Toán tập 1 trang 14

Hai trang ảnh thực tế được đánh số 13 và 14, mình sẽ giải theo đúng số trang in trên sách nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Phần này gồm hai nội dung chính:

1. Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác và đổi qua lại giữa độ và radian (lưu ý chọn đúng chế độ Deg hoặc Rad).
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác, gồm các hệ thức cơ bản:

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

$$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}\quad\left(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$$

$$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}\quad(\alpha \neq k\pi)$$

$$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1\quad\left(\alpha \neq \frac{k\pi}{2}\right)$$

Và giá trị lượng giác của hai góc đối nhau ($\alpha$ và $-\alpha$):

$$\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\quad \tan(-\alpha)=-\tan\alpha,\quad \cot(-\alpha)=-\cot\alpha$$

---

Bài 1: Luyện tập 5 (Dùng máy tính cầm tay)

Đề: Sử dụng máy tính cầm tay để:
a) Tính $\cos\dfrac{3\pi}{7}$; $\tan(-37^\circ 25')$
b) Đổi $179^\circ 23'30''$ sang radian
c) Đổi $\dfrac{7}{9}$ (rad) sang độ

Lời giải:

a) Để máy ở chế độ Rad khi tính cos, đổi sang Deg khi tính tan:
$$\cos\frac{3\pi}{7} \approx 0{,}2225$$
$$\tan(-37^\circ 25') \approx -0{,}7646$$

b) Để máy ở chế độ Deg, nhập $179^\circ 23'30''$ rồi dùng phím $\text{DRG}\blacktriangleright$ đổi sang radian:

$$179^\circ 23'30'' = \left(179 + \frac{23}{60} + \frac{30}{3600}\right)^\circ \times \frac{\pi}{180} \approx 3{,}1310 \text{ (rad)}$$

c) Đổi radian ra độ:
$$\frac{7}{9} \text{ (rad)} = \frac{7}{9}\cdot\frac{180^\circ}{\pi} = \frac{140^\circ}{\pi} \approx 44{,}5634^\circ \approx 44^\circ 33'48''$$

---

Bài 2: HĐ5 (Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản)

a) Đề: Dựa vào định nghĩa của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$, hãy tính $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$.

Lời giải: Trên đường tròn lượng giác bán kính 1, điểm $M$ ứng với góc $\alpha$ có tọa độ $M(\cos\alpha; \sin\alpha)$. Vì $M$ nằm trên đường tròn bán kính 1 nên:

$$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$$

b) Đề: Sử dụng kết quả HĐ5a và định nghĩa của $\tan\alpha$, hãy tính $1+\tan^2\alpha$.

Lời giải: Vì $\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (với $\cos\alpha \neq 0$), ta có:

$$1 + \tan^2\alpha = 1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$$

---

Bài 3: Luyện tập 6

Đề: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết $\cos\alpha = -\dfrac{2}{3}$ và $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$.

Lời giải:

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, ở đó $\sin\alpha < 0$.

Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$\sin\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{4}{9}} = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$$

(lấy dấu âm vì $\sin\alpha < 0$ ở góc phần tư III)

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{-\dfrac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

$$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Giải thích: ở góc phần tư III thì $\tan\alpha > 0$ và $\cot\alpha > 0$, kết quả phù hợp.

---

Bài 4: HĐ6 (Liên hệ giá trị lượng giác của các góc đối nhau)

Đề: Xét hai điểm $M$, $N$ trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H.1.12a).
a) Nhận xét vị trí của $M$, $N$ đối với hệ trục $Oxy$, từ đó rút ra liên hệ giữa $\cos(-\alpha)$ và $\cos\alpha$; $\sin(-\alpha)$ và $\sin\alpha$.
b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa $\tan(-\alpha)$ và $\tan\alpha$; $\cot(-\alpha)$ và $\cot\alpha$.

Lời giải:

a) Điểm $M$ ứng với góc $\alpha$, điểm $N$ ứng với góc $-\alpha$. Hai điểm này đối xứng nhau qua trục hoành $Ox$.

• Đối xứng qua $Ox$ nên hoành độ bằng nhau: $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$
• Tung độ đối nhau: $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

b) Áp dụng định nghĩa $\tan$, $\cot$:
$$\tan(-\alpha) = \frac{\sin(-\alpha)}{\cos(-\alpha)} = \frac{-\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\tan\alpha$$
$$\cot(-\alpha) = \frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} = \frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha} = -\cot\alpha$$

Tổng kết góc đối nhau:

Mẹo nhớ: chỉ có cos là "giữ nguyên" vì cos là hàm chẵn, còn sin, tan, cot đều đổi dấu vì là hàm lẻ.

---

Các Ví dụ 6, 7, 8 trong trang là phần minh họa của sách (đã có lời giải sẵn), nên mình tập trung giải kỹ phần Luyện tập và Hoạt động (HĐ) để bạn tự luyện nhé. Nếu cần mình giải lại chi tiết Ví dụ 8 hay hướng dẫn từng bước bấm máy, cứ nói nhé.