Giải Toán tập 1 trang 104

Trang 103 – Phần B: Tự luận (Bài 4.41 → 4.46)

Đây là các bài hình học không gian về giao tuyến, giao điểm và quan hệ song song. Mình giải chi tiết từng bài.

---

Bài 4.41: Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang, $AB \parallel CD$, $AB < CD$.

a) Giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$:

• $S$ là điểm chung thứ nhất.
• Hai cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang không song song nên kéo dài cắt nhau tại $E$. Khi đó $E \in AD \subset (SAD)$ và $E \in BC \subset (SBC)$.
• Vậy giao tuyến là đường thẳng $SE$, với $E = AD \cap BC$.

b) Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$:

• $S$ là điểm chung.
• $AB \subset (SAB)$, $CD \subset (SCD)$ và $AB \parallel CD$.
• Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: giao tuyến là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ (và $CD$).

c) Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:

• $S$ là điểm chung.
• Gọi $O = AC \cap BD$ (giao của hai đường chéo). Khi đó $O \in (SAC)$ và $O \in (SBD)$.
• Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

---

Bài 4.42: Lăng trụ tam giác – giao điểm và tỉ số

Lăng trụ $ABC.A'B'C'$; $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, BC, AA'$.

a) Xác định giao điểm của $(MNP)$ với $B'C$:

• Vì $M, N$ là trung điểm $AB, BC$ nên $MN \parallel AC$.
• Trong mặt $(ACC'A')$, kẻ qua $P$ đường thẳng song song với $AC$, cắt $CC'$ tại $Q$. Do $P$ là trung điểm $AA'$ nên $Q$ là trung điểm $CC'$.
• Thiết diện của $(MNP)$ với lăng trụ là tứ giác $MNQP$.
• Trong mặt bên $BCC'B'$, đoạn $NQ$ cắt đường $B'C$ tại $K$.

Vậy $K = NQ \cap B'C$ chính là giao điểm cần tìm.

b) Tính $\dfrac{KB'}{KC}$:

Xét hình bình hành $BCC'B'$ với $N$ là trung điểm $BC$, $Q$ là trung điểm $CC'$.

Đặt $\vec{CB}$ và $\vec{CC'}$ làm hai vectơ cơ sở:

• Điểm trên $NQ$: $\;C + \tfrac{1}{2}(1-u)\vec{CB} + \tfrac{1}{2}u\,\vec{CC'}$
• Điểm trên $B'C$: $\;C + v(\vec{CB} + \vec{CC'})$

Đồng nhất hệ số:
$$\tfrac{1}{2}(1-u) = v, \qquad \tfrac{1}{2}u = v \;\Rightarrow\; u = \tfrac12,\; v = \tfrac14.$$

Suy ra $\vec{CK} = \tfrac14 \vec{CB'}$, tức $CK = \tfrac14 CB'$, $KB' = \tfrac34 CB'$.

$$\boxed{\dfrac{KB'}{KC} = 3}$$

---

Bài 4.43: Hình chóp đáy hình bình hành

$S.ABCD$ đáy hình bình hành; $M \in SC$ với $CM = 2SM$ (nên $\dfrac{SM}{SC}=\dfrac13$); $N \in AB$ với $BN = 2AN$ (nên $\dfrac{AN}{AB}=\dfrac13$).

a) Giao điểm $K$ của $(ABM)$ với $SD$ và tỉ số $\dfrac{SK}{SD}$:

Dùng vectơ với gốc $A$, đặt $\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AS}$ làm cơ sở.

$M$ trên $SC$ với $SM/SC = 1/3$ nên

$$\vec{AM} = \vec{AS} + \tfrac13\vec{SC} = \vec{AS} + \tfrac13(\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AS}) = \tfrac23\vec{AS} + \tfrac13\vec{AB}+\tfrac13\vec{AD}.$$

Mặt phẳng $(ABM)$ chứa $\vec{AB}$ và $\vec{AM}$, nên một điểm bất kì thuộc mặt phẳng có dạng:

$$\vec{AX} = \alpha\,\vec{AB} + \beta\Big(\tfrac23\vec{AS} + \tfrac13\vec{AB}+\tfrac13\vec{AD}\Big).$$

$K$ thuộc $SD$: $\vec{AK} = \vec{AS} + t(\vec{AD}-\vec{AS}) = (1-t)\vec{AS} + t\vec{AD}$.

So hệ số theo $\vec{AS}, \vec{AD}, \vec{AB}$:

• $\vec{AS}:\; \tfrac23\beta = 1-t$
• $\vec{AD}:\; \tfrac13\beta = t$
• $\vec{AB}:\; \alpha + \tfrac13\beta = 0$

Từ hai phương trình đầu: $\tfrac23\beta = 1-3\cdot\tfrac13\beta \cdots$ thay $\beta = 3t$ vào: $\tfrac23(3t) = 1-t \Rightarrow 2t = 1-t \Rightarrow t = \tfrac13$.

$$\boxed{\dfrac{SK}{SD} = \dfrac13}$$

b) Chứng minh $MN \parallel (SAD)$:

• Trong mặt $(SCD)$, kẻ $MH \parallel SD$ với $H \in CD$. Vì $\dfrac{CM}{CS} = \dfrac23$ nên $\dfrac{CH}{CD} = \dfrac23$, do đó $\dfrac{DH}{DC} = \dfrac13$.
• Ta có $AN = \tfrac13 AB$ và $DH = \tfrac13 DC$. Mà $AB \parallel DC$, $AB = DC$ (hình bình hành), lại cùng chiều, nên tứ giác $ANHD$ là hình bình hành $\Rightarrow NH \parallel AD$.
• Như vậy trong mặt phẳng $(MNH)$ có:
• $MH \parallel SD \subset (SAD)$,
• $NH \parallel AD \subset (SAD)$.
• Hai đường cắt nhau $MH, NH$ song song với mặt $(SAD)$ nên $(MNH) \parallel (SAD)$.
• Vì $MN \subset (MNH)$ nên $MN \parallel (SAD)$. $\blacksquare$

---

Bài 4.44: Trọng tâm và mặt phẳng song song đáy

$S.ABCD$ đáy hình bình hành; $G, K$ là trọng tâm của $\triangle SAD$, $\triangle SCD$.

a) Chứng minh $GK \parallel (ABCD)$:

• Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AD, CD$ (đều nằm trong mặt đáy).
• $G$ là trọng tâm $\triangle SAD$ nên $G \in SM$ với $\dfrac{SG}{SM} = \dfrac23$.
• $K$ là trọng tâm $\triangle SCD$ nên $K \in SN$ với $\dfrac{SK}{SN} = \dfrac23$.
• Trong $\triangle SMN$: $\dfrac{SG}{SM} = \dfrac{SK}{SN} = \dfrac23 \Rightarrow GK \parallel MN$ (định lí Thales).
• Mà $MN \subset (ABCD)$, $GK \not\subset (ABCD)$ nên $GK \parallel (ABCD)$. $\blacksquare$

b) Chứng minh $MNEF$ là hình bình hành:

(Ở câu này $M, N, E, F$ là giao của mặt phẳng $(P)$ với $SA, SB, SC, SD$.)

• $(P) \parallel (ABCD)$.
• Xét hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(ABCD)$ cùng cắt mặt $(SAB)$:

$$(P)\cap(SAB) = MN, \quad (ABCD)\cap(SAB) = AB \;\Rightarrow\; MN \parallel AB.$$

• Tương tự $(P)\cap(SCD) = EF \parallel CD$.
• Vì $AB \parallel CD$ nên $MN \parallel EF$.
• Tương tự, $(P)\cap(SBC) = NE \parallel BC$ và $(P)\cap(SAD) = FM \parallel AD$; mà $BC \parallel AD$ nên $NE \parallel FM$.
• Tứ giác $MNEF$ có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành. $\blacksquare$

---

Bài 4.45: Hình hộp

$ABCD.A'B'C'D'$; $M, N$ trung điểm $AD, A'B'$.

a) Chứng minh các quan hệ song song:

$BD \parallel B'D'$: Trong hình hộp, $BB' \parallel DD'$ và $BB' = DD'$ nên $BDD'B'$ là hình bình hành $\Rightarrow BD \parallel B'D'$.

$(A'BD) \parallel (CB'D')$:

• $BD \parallel B'D'$ (đã chứng minh), trong đó $BD \subset (A'BD)$, $B'D' \subset (CB'D')$.
• $DA' \parallel B'C$: vì $A'D'CB$... cụ thể $\vec{DA'} = \vec{CB'}$ (cùng bằng $\vec{AA'}$ tịnh tiến), nên $DA' \parallel B'C$, với $DA' \subset (A'BD)$, $B'C \subset (CB'D')$.
• Hai đường cắt nhau $BD, DA'$ của $(A'BD)$ lần lượt song song với hai đường $B'D', B'C$ của $(CB'D')$ nên $(A'BD) \parallel (CB'D')$. $\blacksquare$

$MN \parallel (BDD'B')$:

• Gọi $P$ là trung điểm $AB$.
• Trong $\triangle ABD$: $M, P$ trung điểm $AD, AB \Rightarrow MP \parallel BD \subset (BDD'B')$.
• $PN$: $P$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $A'B'$ nên $PN \parallel AA' \parallel BB' \subset (BDD'B')$.
• Hai đường cắt nhau $MP, PN$ song song với mặt $(BDD'B')$ nên $(MPN) \parallel (BDD'B')$, do đó $MN \parallel (BDD'B')$. $\blacksquare$

b) Đường thẳng $AC'$ đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle A'BD$:

Dùng vectơ với gốc $A$. Vì $G$ là trọng tâm $\triangle A'BD$:

$$\vec{AG} = \tfrac13\big(\vec{AA'} + \vec{AB} + \vec{AD}\big).$$

Mặt khác, đường chéo hình hộp:

$$\vec{AC'} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'}.$$

Suy ra $\vec{AG} = \dfrac13\vec{AC'}$, nghĩa là $A, G, C'$ thẳng hàng (và $G$ chia $AC'$ theo tỉ lệ $AG:GC' = 1:2$).

Vậy đường thẳng $AC'$ đi qua trọng tâm $G$ của $\triangle A'BD$. $\blacksquare$

---

Bài 4.46: Tứ diện và mặt phẳng song song hai cạnh

Tứ diện $ABCD$; $M \in AB$ với $BM = 3AM$ (nên $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac14$). Mặt phẳng $(P)$ qua $M$, $(P) \parallel AD$ và $(P) \parallel BC$.

a) Xác định giao điểm $K$ của $(P)$ với $CD$:

• $(P) \parallel AD$, $(P)$ cắt $(ABD)$ theo giao tuyến qua $M$ song song $AD$, cắt $BD$ tại $Q$. Vì $\dfrac{BM}{BA} = \dfrac34$ nên $\dfrac{BQ}{BD} = \dfrac34$.
• $(P) \parallel BC$, $(P)$ cắt $(BCD)$ theo giao tuyến qua $Q$ song song $BC$, cắt $CD$ tại $K$.

Vậy $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $Q$ song song $BC$ với $CD$.

b) Tính $\dfrac{KC}{CD}$:

Trong $\triangle BCD$, $QK \parallel BC$ với $Q \in BD$, $K \in CD$. Vì $\dfrac{BQ}{BD} = \dfrac34$ nên $\dfrac{DQ}{DB} = \dfrac14$, theo Thales:

$$\dfrac{DK}{DC} = \dfrac{DQ}{DB} = \dfrac14 \;\Rightarrow\; \dfrac{KC}{CD} = 1 - \dfrac14 = \dfrac34.$$

$$\boxed{\dfrac{KC}{CD} = \dfrac34}$$

---

Trang 104 – Mở đầu Chương V: Giới hạn. Hàm số liên tục

Trang này là phần giới thiệu chương, chưa có bài tập. Tóm tắt nội dung:

Nội dung chương:

• Khái niệm giới hạn của dãy số và của hàm số.
• Một số định lí, quy tắc tìm giới hạn — nền tảng cho Giải tích và nhiều bài toán thực tiễn.
• Cuối chương trình bày hàm số liên tục cùng vài tính chất cơ bản.

Bài 15 – Giới hạn của dãy số. Mục tiêu kiến thức, kĩ năng:

• Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số.
• Giải thích một số giới hạn cơ bản.
• Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản.
• Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và áp dụng vào các tình huống thực tiễn.

Nghịch lí Zeno (Achilles đuổi rùa):
Achilles chạy nhanh nhưng xuất phát sau rùa quãng đường $a$. Zeno lập luận: trước hết Achilles phải tới vị trí xuất phát của rùa ($A_2 = R_1$), lúc đó rùa đã đi tiếp tới $R_2$; rồi Achilles phải tới $R_2$ ($A_3 = R_2$), khi đó rùa lại ở $R_3$,... Cứ thế, theo lập luận này Achilles "không bao giờ đuổi kịp rùa".

Ý nghĩa: nghịch lí này nói về việc cộng vô hạn các quãng đường ngày càng nhỏ. Chính nó đã thúc đẩy sự hình thành khái niệm giới hạn — công cụ giúp tính được tổng của vô hạn số hạng (cấp số nhân lùi vô hạn) và lí giải được vì sao thực tế Achilles vẫn đuổi kịp rùa. Đây là cầu nối dẫn vào bài học về giới hạn dãy số.

---

Tổng kết nhanh các tỉ số quan trọng để em ghi nhớ:

Nếu em muốn mình vẽ hình minh họa cho bài nào để dễ hình dung hơn, cứ nói nhé.