Giải Toán tập 1 trang 106
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 106–107
Hai trang này thuộc bài "Giới hạn của dãy số" (sách Toán 11, Kết nối tri thức). Ảnh thực tế là trang 105 và 106, mình sẽ giải đầy đủ theo nội dung có trên ảnh.
Tóm tắt lý thuyết
Dãy số $(u_n)$ có giới hạn 0 khi $n \to +\infty$ nếu $|u_n|$ nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng nào đó. Kí hiệu $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 0$.
Các kết quả cơ bản:
- $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^k} = 0$ với $k$ nguyên dương.
- $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = 0$ nếu $|q| < 1$.
- Nếu $|u_n| \le v_n$ với mọi $n \ge 1$ và $\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$.
Dãy $(u_n)$ có giới hạn là số thực $a$ nếu $\lim (u_n - a) = 0$. Quy tắc tính giới hạn (khi $\lim u_n = a$, $\lim v_n = b$):
$$\lim(u_n \pm v_n) = a \pm b,\quad \lim(u_n v_n) = ab,\quad \lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}\ (b\ne 0).$$
Bài HĐ1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$.
a) Năm số hạng đầu:
$$u_1 = -1,\quad u_2 = \frac{1}{2},\quad u_3 = -\frac{1}{3},\quad u_4 = \frac{1}{4},\quad u_5 = -\frac{1}{5}.$$
Biểu diễn trên trục số: các điểm $-1;\ -\tfrac13;\ -\tfrac15;\ \tfrac14;\ \tfrac12$ nằm hai bên điểm 0, càng về sau càng tiến sát 0.
b) Khoảng cách từ $u_n$ đến 0 là:
$$|u_n - 0| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}.$$
Để khoảng cách nhỏ hơn $0,01$:
$$\frac{1}{n} < 0,01 \iff n > 100.$$
Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 trở đi, khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn $0,01$.
Bài Luyện tập 1
Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$.
Lời giải:
Đặt $u_n = \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n}$. Ta có:
$$|u_n| = \left|\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}\right| = \frac{1}{3^n} = \left(\frac{1}{3}\right)^n.$$
Vì $\left|\dfrac{1}{3}\right| < 1$ nên $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$, tức $\lim |u_n| = 0$.
Do đó $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$. (Áp dụng tính chất: nếu $\lim|u_n|=0$ thì $\lim u_n = 0$.)
Bài HĐ2: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
Cho $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n}$, và $v_n = u_n - 1$. Tính $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$.
Lời giải:
Rút gọn $u_n$:
$$u_n = \frac{n + (-1)^n}{n} = 1 + \frac{(-1)^n}{n}.$$
Suy ra:
$$v_n = u_n - 1 = \frac{(-1)^n}{n}.$$
Khi đó:
$$|v_n| = \frac{1}{n} \to 0 \text{ khi } n \to +\infty.$$
Vậy $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = 0$.
(Điều này cho thấy $\lim u_n = 1$, vì $\lim(u_n - 1) = 0$.)
Bài Luyện tập 2
Cho $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{3\cdot 2^n - 1}{2^n}$. Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3$.
Lời giải:
Xét hiệu $u_n - 3$:
$$u_n - 3 = \frac{3\cdot 2^n - 1}{2^n} - 3 = \frac{3\cdot 2^n - 1 - 3\cdot 2^n}{2^n} = \frac{-1}{2^n} = -\left(\frac{1}{2}\right)^n.$$
Vì $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$ nên $\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, do đó:
$$\lim\limits_{n\to+\infty} (u_n - 3) = 0.$$
Vậy $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 3$.
Bài Vận dụng 1: Quả bóng cao su
Đề: Quả bóng thả từ độ cao 5 m. Sau mỗi lần chạm sàn, bóng nảy lên độ cao bằng $\dfrac{2}{3}$ độ cao trước đó. Gọi $u_n$ là độ cao (mét) sau lần nảy thứ $n$. Chứng minh dãy $(u_n)$ có giới hạn là 0.
Lời giải:
- Lần nảy thứ nhất, bóng lên cao: $u_1 = 5 \cdot \dfrac{2}{3}$.
- Lần thứ hai: $u_2 = u_1 \cdot \dfrac{2}{3} = 5\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$.
- Tổng quát, độ cao sau lần nảy thứ $n$:
$$u_n = 5\left(\frac{2}{3}\right)^n.$$
Đây là dãy số nhân với công bội $q = \dfrac{2}{3}$. Vì $\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$ nên:
$$\lim\limits_{n\to+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0.$$
Do đó:
$$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = 5 \cdot 0 = 0.$$
Vậy dãy $(u_n)$ có giới hạn là 0 (độ cao nảy của bóng giảm dần về 0).
Bài HĐ3: Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy $(u_n)$, $(v_n)$ với $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}$, $v_n = 3 - \dfrac{2}{n}$. Tính và so sánh $\lim(u_n + v_n)$ với $\lim u_n + \lim v_n$.
Lời giải:
Tính từng giới hạn:
$$\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \lim\left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2,$$
$$\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \lim\left(3 - \frac{2}{n}\right) = 3 - 0 = 3.$$
Tính tổng trực tiếp:
$$u_n + v_n = \left(2 + \frac{1}{n}\right) + \left(3 - \frac{2}{n}\right) = 5 - \frac{1}{n}.$$
$$\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n + v_n) = 5 - 0 = 5.$$
So sánh:
$$\lim(u_n + v_n) = 5 = 2 + 3 = \lim u_n + \lim v_n.$$
Hai kết quả bằng nhau. Đây chính là minh hoạ cho quy tắc:
$$\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n.$$
Hai trang còn có Ví dụ 1, Ví dụ 2, Ví dụ 3 đã có lời giải đầy đủ trong sách (về cách chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của $n$), nên mình không lặp lại. Nếu em muốn mình phân tích kỹ Ví dụ 3 để hiểu rõ kỹ thuật chia, cứ nói nhé.