Giải Toán tập 1 trang 108
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 108–109
Tóm tắt lý thuyết
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
- Cấp số nhân vô hạn $(u_n)$ có công bội $q$ với $|q| < 1$ gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
- Tổng của nó:
$$S = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots = \frac{u_1}{1-q} \quad (|q| < 1).$$
Giới hạn vô cực của dãy số
- $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ nếu $u_n$ lớn hơn mọi số dương cho trước, kể từ một số hạng nào đó.
- $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = -\infty$ nếu $\lim\limits_{n\to+\infty}(-u_n) = +\infty$.
- Hai giới hạn cơ bản: $\lim\limits_{n\to+\infty} n^k = +\infty$ ($k$ nguyên dương) và $\lim\limits_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ (với $q > 1$).
Bài 1: Luyện tập 3
Đề: Tìm $\lim\limits_{n\to+\infty} \dfrac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$.
Giải: Chia cả tử và mẫu cho $n$ (lưu ý $n > 0$ nên $n = \sqrt{n^2}$):
$$\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1} = \frac{\dfrac{\sqrt{2n^2+1}}{n}}{\dfrac{n+1}{n}} = \frac{\sqrt{2 + \dfrac{1}{n^2}}}{1 + \dfrac{1}{n}}.$$
Khi $n \to +\infty$ thì $\dfrac{1}{n^2}\to 0$ và $\dfrac{1}{n}\to 0$, nên:
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1} = \frac{\sqrt{2+0}}{1+0} = \boxed{\sqrt{2}}.$$
Bài 2: HĐ4 – Làm quen với việc tính tổng vô hạn
Đề: Hình vuông cạnh 1 chia thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, tô màu hình vuông góc dưới bên trái. Lặp lại với hình vuông góc trên bên phải, vô hạn lần. Gọi $u_1, u_2, \dots$ là độ dài cạnh các hình vuông được tô màu.
a) Tính $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$.
b) Tìm $S = \lim\limits_{n\to+\infty} S_n$.
Giải:
Cạnh các hình vuông được tô màu giảm một nửa mỗi lần:
$$u_1 = \frac{1}{2}, \quad u_2 = \frac{1}{4}, \quad u_3 = \frac{1}{8}, \dots, \quad u_n = \frac{1}{2^n}.$$
a) Đây là cấp số nhân với $u_1 = \dfrac{1}{2}$, công bội $q = \dfrac{1}{2}$:
$$S_n = \frac{u_1\left(1 - q^n\right)}{1-q} = \frac{\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)}{1 - \dfrac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}.$$
b) Vì $\dfrac{1}{2^n}\to 0$ khi $n\to+\infty$ nên:
$$S = \lim_{n\to+\infty} S_n = \lim_{n\to+\infty}\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \boxed{1}.$$
Ý nghĩa: tổng diện tích các phần tô màu tiệm cận tới hình vuông đơn vị.
Bài 3: Luyện tập 4
Đề: Tính tổng $S = 2 + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{49} + \dots + \dfrac{2}{7^{n-1}} + \dots$
Giải: Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 2$ và công bội $q = \dfrac{1}{7}$ (vì $|q| < 1$). Áp dụng công thức:
$$S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{2}{1 - \dfrac{1}{7}} = \frac{2}{\dfrac{6}{7}} = \frac{2\cdot 7}{6} = \boxed{\dfrac{7}{3}}.$$
Bài 4: Vận dụng 2 – Giải thích nghịch lí Zeno
Đề: Achilles chạy 100 km/h, rùa 1 km/h, khoảng cách ban đầu $a = 100$ km.
a) Tính thời gian $t_1, t_2, \dots, t_n, \dots$ để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$, từ $A_2$ đến $A_3$, …
b) Tính tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno ở đâu?
Giải:
a) Mỗi chặng Achilles chạy đến vị trí rùa vừa đứng, trong lúc đó rùa lại bò thêm.
- Chặng 1: Achilles chạy $100$ km, thời gian $t_1 = \dfrac{100}{100} = 1$ (giờ). Lúc này rùa bò thêm $1\cdot 1 = 1$ km.
- Chặng 2: Achilles chạy $1$ km, thời gian $t_2 = \dfrac{1}{100}$ (giờ). Rùa bò thêm $\dfrac{1}{100}$ km.
- Chặng 3: $t_3 = \dfrac{1}{100^2}$ (giờ).
Tổng quát:
$$t_n = \frac{1}{100^{\,n-1}} \ \text{(giờ)}.$$
b) Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $t_1 = 1$, công bội $q = \dfrac{1}{100}$:
$$S = \frac{t_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \dfrac{1}{100}} = \frac{1}{\dfrac{99}{100}} = \boxed{\dfrac{100}{99} \ \text{(giờ)}}.$$
Tức khoảng $1,0101\dots$ giờ thì Achilles đuổi kịp rùa.
c) Sai lầm của Zeno: ông cho rằng vì phải đi qua vô hạn chặng nên cần khoảng thời gian vô hạn. Thực tế tổng vô hạn các khoảng thời gian này là một số hữu hạn ($\dfrac{100}{99}$ giờ). Vô hạn bước không có nghĩa là vô hạn thời gian.
Bài 5: HĐ5 – Nhận biết giới hạn vô cực
Đề: Vi khuẩn ban đầu 50 con, cứ sau mỗi chu kì 4 giờ thì số lượng tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức số vi khuẩn $u_n$ sau chu kì thứ $n$.
b) Sau bao lâu số lượng vượt 10 000?
Giải:
a) Mỗi chu kì số vi khuẩn nhân đôi:
$$u_1 = 50\cdot 2,\quad u_2 = 50\cdot 2^2,\quad \dots \Rightarrow \boxed{u_n = 50\cdot 2^n}.$$
b) Tìm $n$ nhỏ nhất sao cho $u_n > 10\,000$:
$$50\cdot 2^n > 10\,000 \;\Leftrightarrow\; 2^n > 200.$$
Vì $2^7 = 128 < 200$ và $2^8 = 256 > 200$ nên $n = 8$ là số chu kì nhỏ nhất.
Thời gian tương ứng: $8 \times 4 = \boxed{32 \ \text{giờ}}$.
Kiểm tra: sau chu kì 8, $u_8 = 50\cdot 256 = 12\,800 > 10\,000$, còn $u_7 = 50\cdot 128 = 6\,400 < 10\,000$. Đúng.