Giải Toán tập 1 trang 110

Mình giải nốt phần Luyện tập, toàn bộ BÀI TẬP ở trang trước (số 109 trong ảnh) và tóm tắt mục "Em có biết?" của trang 110 nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Một số quy tắc về giới hạn vô cực:

• Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = \pm\infty$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = 0$.
• Nếu $\lim u_n = a > 0$, $\lim v_n = 0$ và $v_n > 0$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = +\infty$.
• Nếu $\lim u_n = +\infty$ và $\lim v_n = a > 0$ thì $\lim u_n v_n = +\infty$.

Luyện tập 5

Đề: Tính $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(n - \sqrt{n}\right)$.

Ta đặt thừa số chung $\sqrt{n}$:

$$n - \sqrt{n} = \sqrt{n}\left(\sqrt{n} - 1\right).$$

Vì $\lim \sqrt{n} = +\infty$ và $\lim(\sqrt{n}-1) = +\infty$ nên tích tiến tới $+\infty$.

$$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(n-\sqrt{n}\right) = +\infty.}$$

Bài 5.1: Tìm các giới hạn

a) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^2+n+1}{2n^2+1}$

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$:

$$\lim \frac{1 + \frac1n + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n^2}} = \frac{1+0+0}{2+0} = \frac{1}{2}.$$

b) $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+2n} - n\right)$

Nhân lượng liên hợp:

$$\sqrt{n^2+2n}-n = \frac{(n^2+2n) - n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n} = \frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}.$$

Chia tử và mẫu cho $n$:
$$= \frac{2}{\sqrt{1+\frac2n}+1} \to \frac{2}{\sqrt{1}+1} = \frac{2}{2} = 1.$$

Bài 5.2: Hai dãy không âm với $\lim u_n = 2$, $\lim v_n = 3$

a) $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n^2}{v_n - u_n}$

Dùng quy tắc tính giới hạn của thương (mẫu khác 0):

$$= \frac{2^2}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4.$$

b) $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt{u_n + 2v_n}$

$$= \sqrt{2 + 2\cdot 3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$

Bài 5.3: Tìm giới hạn của các dãy

a) $u_n = \dfrac{n^2+1}{2n-1}$

Bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1). Đặt $n^2$ làm thừa số chung:

$$u_n = \frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n\left(2 - \frac1n\right)} = n \cdot \frac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac1n}.$$

Vì $\lim n = +\infty$ và $\lim \dfrac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac1n} = \dfrac12 > 0$ nên:
$$\lim u_n = +\infty.$$

b) $v_n = \sqrt{2n^2+1} - n$

Đặt $n$ làm thừa số chung:

$$v_n = n\left(\sqrt{2 + \tfrac{1}{n^2}} - 1\right).$$

Vì $\lim n = +\infty$ và $\lim\left(\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-1\right) = \sqrt2 - 1 > 0$ nên:
$$\lim v_n = +\infty.$$

Bài 5.4: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

Nhớ lại: $0,(a_1a_2\dots a_k)$ chính là tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

a) $1,(12) = 1,121212\dots$

Phần tuần hoàn: $0,(12) = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$.

$$1,(12) = 1 + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}.$$

b) $3,(102) = 3,102102102\dots$

Phần tuần hoàn: $0,(102) = \dfrac{102}{999} = \dfrac{34}{333}$.

$$3,(102) = 3 + \frac{34}{333} = \frac{999 + 34}{333} = \frac{1033}{333}.$$

Bài 5.5: Lượng thuốc trong cơ thể

Đề: Mỗi ngày uống 1 viên 150 mg. Trước mỗi lần uống (từ ngày 2), thuốc cũ còn lại 5%. Tính lượng thuốc sau khi uống viên ngày thứ 5 và ước tính lâu dài.

Gọi $u_n$ là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau khi uống viên ngày thứ $n$.

• $u_1 = 150$.
• Trước lần uống sau, còn lại $5\% = 0,05$ lượng cũ, rồi cộng thêm 150:

$$u_n = 150 + 0,05\,u_{n-1}.$$

Khai triển ra cấp số nhân:

$$u_n = 150\left(1 + 0,05 + 0,05^2 + \dots + 0,05^{n-1}\right) = 150 \cdot \frac{1 - 0,05^n}{1 - 0,05}.$$

Với $n = 5$:

$$u_5 = 150 \cdot \frac{1 - 0,05^5}{0,95} \approx 157,89 \text{ mg}.$$

Ước tính lâu dài ($n \to +\infty$): vì $0,05^n \to 0$ nên

$$\lim u_n = \frac{150}{1 - 0,05} = \frac{150}{0,95} = \frac{3000}{19} \approx 157,89 \text{ mg}.$$

Vậy về lâu dài lượng thuốc trong cơ thể ổn định quanh khoảng 157,89 mg.

Bài 5.6: Độ dài đường gấp khúc vô hạn

Đề: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB = h$, $\widehat{B} = \alpha$. Từ $A$ kẻ $AA_1 \perp BC$, từ $A_1$ kẻ $A_1A_2 \perp AC$, rồi $A_2A_3 \perp BC$, ... Tính độ dài đường gấp khúc $AA_1A_2A_3\dots$ theo $h$ và $\alpha$.

Phân tích từng đoạn:

Đoạn 1: Trong tam giác vuông $ABA_1$ (vuông tại $A_1$), góc $B = \alpha$, cạnh huyền $AB = h$:
$$AA_1 = AB\sin\alpha = h\sin\alpha.$$

Góc $\widehat{BAA_1} = 90^\circ - \alpha$, nên $\widehat{A_1AC} = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Đoạn 2: Trong tam giác vuông $AA_1A_2$ (vuông tại $A_2$), góc $\widehat{A_1AA_2} = \alpha$:
$$A_1A_2 = AA_1\sin\alpha = h\sin^2\alpha.$$

Tiếp tục tương tự, mỗi đoạn lại nhân thêm hệ số $\sin\alpha$:
$$AA_1 = h\sin\alpha,\quad A_1A_2 = h\sin^2\alpha,\quad A_2A_3 = h\sin^3\alpha,\dots$$

Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $h\sin\alpha$ và công bội $q = \sin\alpha$ ($0 < \sin\alpha < 1$). Tổng độ dài:

$$L = \frac{h\sin\alpha}{1 - \sin\alpha}.$$

$$\boxed{L = \dfrac{h\sin\alpha}{1 - \sin\alpha}.}$$

Em có biết? (trang 110)

Phần đọc thêm, không có bài tập, gồm hai nội dung thú vị:

Dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng

• Dãy Fibonacci: $u_1 = u_2 = 1$, $u_n = u_{n-1} + u_{n-2}$ với $n > 2$.
• Đặt $v_n = \dfrac{u_n}{u_{n-1}}$ thì $v_n = 1 + \dfrac{1}{v_{n-1}}$.
• Giới hạn $r$ thỏa $r = 1 + \dfrac1r$, tức $r^2 - r - 1 = 0$, cho $r = \dfrac{1+\sqrt5}{2}$ — chính là tỉ lệ vàng, xuất hiện nhiều trong kiến trúc, hội họa và tự nhiên.

Dãy số logistic

• Trong sinh thái học, dãy $p_{n+1} = k\,p_n(1 - p_n)$ mô phỏng số lượng cá thể của một loài, do Robert May đề xuất năm 1976.
• Tùy hệ số $k$ và giá trị ban đầu $p_0$ mà hệ tiến triển khác nhau. Nếu dãy $(p_n)$ có giới hạn là một số dương thì hệ sinh thái được coi là ổn định.

Một mẹo nhỏ cho cả chương: gặp giới hạn dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ thì chia cho lũy thừa $n$ cao nhất; gặp dạng $\infty - \infty$ có căn thì nhân liên hợp. Em nắm chắc hai kỹ thuật này là xử lý gọn hầu hết bài tập.