Giải Toán tập 1 trang 112

Hai trang này thuộc Bài 16: Giới hạn của hàm số (sách Toán 11, bộ Kết nối tri thức với cuộc sống). Mình giải kỹ toàn bộ phần lý thuyết và các hoạt động, ví dụ có trên ảnh nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

Giả sử $(a; b)$ là một khoảng chứa $x_0$ và hàm $y = f(x)$ xác định trên $(a; b)$, có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói $f(x)$ có giới hạn là $L$ khi $x \to x_0$ nếu với mọi dãy $(x_n)$ thỏa $x_n \in (a; b)$, $x_n \neq x_0$ và $x_n \to x_0$ thì $f(x_n) \to L$. Kí hiệu:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \quad \text{hay} \quad f(x) \to L \text{ khi } x \to x_0.$$

Các quy tắc tính giới hạn (khi $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = L$ và $\lim\limits_{x\to x_0} g(x) = M$):

Hai giới hạn cơ bản:

• $\lim\limits_{x\to x_0} c = c$ (với $c$ là hằng số).
• $\lim\limits_{x\to x_0} x^n = x_0^n$ (với $n \in \mathbb{N}$).

HĐ1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{4 - x^2}{x - 2}$.

a) Tìm tập xác định của $f(x)$.

Hàm số xác định khi mẫu khác 0, tức $x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$.

$$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}.$$

b) Cho dãy $x_n = \dfrac{2n+1}{n}$. Rút gọn $f(x_n)$ và tính giới hạn của dãy $(u_n)$ với $u_n = f(x_n)$.

Trước hết rút gọn $f(x)$ trên tập xác định:

$$f(x) = \frac{4 - x^2}{x - 2} = \frac{(2-x)(2+x)}{x - 2} = \frac{-(x-2)(2+x)}{x-2} = -(2 + x).$$

Vì $x_n = \dfrac{2n+1}{n} \neq 2$ với mọi $n$, ta thay vào:

$$f(x_n) = -(2 + x_n) = -\left(2 + \frac{2n+1}{n}\right) = -\frac{2n + 2n + 1}{n} = -\frac{4n+1}{n}.$$

Tính giới hạn:

$$\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{4n+1}{n}\right) = \lim_{n\to+\infty}\left(-4 - \frac{1}{n}\right) = -4.$$

c) Với dãy $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 2$ và $x_n \to 2$, tính $f(x_n)$ và tìm $\lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)$.

Vì $x_n \neq 2$ nên $f(x_n) = -(2 + x_n)$. Do $x_n \to 2$:

$$\lim_{n\to+\infty} f(x_n) = -(2 + 2) = -4.$$

Kết luận: mọi dãy $(x_n)$ tiến tới 2 (khác 2) đều cho $f(x_n) \to -4$, nên $\lim\limits_{x\to 2} f(x) = -4$. Đây chính là ý tưởng dẫn tới định nghĩa giới hạn hàm số tại một điểm.

Ví dụ 1

Cho $f(x) = \dfrac{x-1}{x^2 - 1}$. Chứng tỏ rằng $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}$.

Lời giải: Lấy dãy $(x_n)$ bất kì sao cho $x_n \neq 1$ và $x_n \to 1$. Ta có:

$$f(x_n) = \frac{x_n - 1}{x_n^2 - 1} = \frac{x_n - 1}{(x_n - 1)(x_n + 1)} = \frac{1}{x_n + 1}.$$

Do đó:

$$\lim_{n\to+\infty} f(x_n) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{x_n + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.$$

Vậy $\lim\limits_{x\to 1} f(x) = \dfrac{1}{2}$.

Giải thích: mẫu $x^2 - 1$ tiến tới 0 nên không thay trực tiếp được. Ta phân tích $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ rồi rút gọn thừa số $(x-1)$ chung với tử để khử dạng vô định $\frac{0}{0}$.

Ví dụ 2

Cho $f(x) = x - 1$ và $g(x) = x^3$. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim\limits_{x\to 1}\big[3f(x) - g(x)\big]$; b) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{[f(x)]^2}{g(x)}$.

Lời giải: Trước tiên tính từng giới hạn cơ bản:

$$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}(x-1) = 1 - 1 = 0, \qquad \lim_{x\to 1} g(x) = \lim_{x\to 1} x^3 = 1.$$

a) Áp dụng quy tắc hiệu và tích với hằng số:

$$\lim_{x\to 1}\big[3f(x) - g(x)\big] = 3\lim_{x\to 1}f(x) - \lim_{x\to 1}g(x) = 3\cdot 0 - 1 = -1.$$

b) Vì $\lim\limits_{x\to1} g(x) = 1 \neq 0$ nên dùng được quy tắc thương:

$$\lim_{x\to 1}\frac{[f(x)]^2}{g(x)} = \frac{\big(\lim\limits_{x\to1} f(x)\big)^2}{\lim\limits_{x\to1} g(x)} = \frac{0^2}{1} = 0.$$

Giải thích: vì mẫu có giới hạn khác 0, ta áp dụng trực tiếp các quy tắc; $[f(x)]^2$ được tính bằng tích $f(x)\cdot f(x)$ nên giới hạn bằng $L \cdot L = 0$.

Ví dụ 3

Tính $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9} - 3}{x}$.

Lời giải: Mẫu $x \to 0$ nên không áp dụng ngay quy tắc thương (dạng $\frac{0}{0}$). Ta nhân liên hợp $(\sqrt{x+9}+3)$:

$$\frac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \frac{(\sqrt{x+9})^2 - 3^2}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \frac{(x+9) - 9}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x+9}+3}.$$

Sau khi rút gọn, lấy giới hạn (phần này nối tiếp sang trang sau):

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3} = \frac{1}{\sqrt{0+9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}.$$

Giải thích: nhân liên hợp giúp khử căn ở tử, tạo nhân tử $x$ chung để rút gọn, từ đó khử được dạng vô định.

Một lưu ý nhỏ: bạn ghi là trang 112–113 nhưng hai ảnh thực tế là trang 111 và 112. Mình đã giải đúng theo nội dung trong ảnh. Nếu bạn gửi tiếp trang 113, mình sẽ giải nốt phần còn lại của Ví dụ 3 và các bài sau nhé.