Giải Toán tập 1 trang 114
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 114–115
🔍 Kiến thức cần nhớ
Giới hạn một bên
- Giới hạn bên phải: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (xₙ) bất kì thỏa mãn x₀ < xₙ < b và xₙ → x₀, ta có f(xₙ) → L. Kí hiệu: lim(x→x₀⁺) f(x) = L
- Giới hạn bên trái: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (xₙ) bất kì thỏa mãn a < xₙ < x₀ và xₙ → x₀, ta có f(xₙ) → L. Kí hiệu: lim(x→x₀⁻) f(x) = L
- Điều kiện tồn tại giới hạn: lim(x→x₀) f(x) = L khi và chỉ khi lim(x→x₀⁻) f(x) = lim(x→x₀⁺) f(x) = L
Giới hạn tại vô cực
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với dãy số (xₙ) bất kì, xₙ > a và xₙ → +∞, ta có f(xₙ) → L. Kí hiệu: lim(x→+∞) f(x) = L
- Với c là hằng số: lim(x→+∞) c = c, lim(x→-∞) c = c
- Với k là số nguyên dương: lim(x→+∞) 1/x^k = 0, lim(x→-∞) 1/x^k = 0
⚙️ Bài tập
Luyện tập 1
Đề bài: Tính lim(x→1) (x - 1)/(√x - 1)
Cách 1 — Nhân liên hợp
Bước 1: Nhận xét dạng giới hạn
Khi x → 1, ta có:
- Tử số: x - 1 → 0
- Mẫu số: √x - 1 → 0
Đây là dạng vô định 0/0, cần biến đổi.
Bước 2: Nhân liên hợp mẫu số
Ta có: x - 1 = (√x - 1)(√x + 1)
Do đó:
(x - 1)/(√x - 1) = (√x - 1)(√x + 1)/(√x - 1) = √x + 1 (với x ≠ 1)
Bước 3: Tính giới hạn
lim(x→1) (x - 1)/(√x - 1) = lim(x→1) (√x + 1) = √1 + 1 = 2
Cách 2 — Đặt t = √x
Đặt t = √x, khi đó x = t² và khi x → 1 thì t → 1
lim(x→1) (x - 1)/(√x - 1) = lim(t→1) (t² - 1)/(t - 1)
= lim(t→1) (t - 1)(t + 1)/(t - 1)
= lim(t→1) (t + 1) = 1 + 1 = 2
💡 Mẹo nhớ: Với dạng (x - a)/(√x - √a), luôn nhớ công thức x - a = (√x - √a)(√x + √a)
HĐ2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Đề bài: Cho hàm số f(x) = |x - 1|/(x - 1)
a) Cho xₙ = n/(n + 1) và x'ₙ = (n + 1)/n. Tính yₙ = f(xₙ) và y'ₙ = f(x'ₙ).
b) Tìm giới hạn của các dãy số (yₙ) và (y'ₙ).
c) Cho các dãy số (xₙ) và (x'ₙ) bất kì sao cho xₙ < 1 < x'ₙ và xₙ → 1, x'ₙ → 1, tính lim(n→+∞) f(xₙ) và lim(n→+∞) f(x'ₙ).
Câu a
Cách 1 — Tính trực tiếp
Với xₙ = n/(n + 1):
Ta có n/(n + 1) < 1 với mọi n ≥ 1 (vì n < n + 1)
Do đó: xₙ - 1 = n/(n + 1) - 1 = (n - n - 1)/(n + 1) = -1/(n + 1) < 0
Suy ra: |xₙ - 1| = -(xₙ - 1) = 1/(n + 1)
Vậy: yₙ = f(xₙ) = |xₙ - 1|/(xₙ - 1) = [1/(n + 1)]/[-1/(n + 1)] = -1
Với x'ₙ = (n + 1)/n:
Ta có (n + 1)/n > 1 với mọi n ≥ 1 (vì n + 1 > n)
Do đó: x'ₙ - 1 = (n + 1)/n - 1 = (n + 1 - n)/n = 1/n > 0
Suy ra: |x'ₙ - 1| = x'ₙ - 1 = 1/n
Vậy: y'ₙ = f(x'ₙ) = |x'ₙ - 1|/(x'ₙ - 1) = [1/n]/[1/n] = 1
Cách 2 — Phân tích hàm f(x)
Ta viết lại hàm số:
- Nếu x > 1: |x - 1| = x - 1, nên f(x) = (x - 1)/(x - 1) = 1
- Nếu x < 1: |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x, nên f(x) = (1 - x)/(x - 1) = -1
Vì xₙ = n/(n + 1) < 1 → yₙ = f(xₙ) = -1
Vì x'ₙ = (n + 1)/n > 1 → y'ₙ = f(x'ₙ) = 1
Câu b
Tìm giới hạn của (yₙ) và (y'ₙ):
Từ câu a, ta có:
- yₙ = -1 với mọi n
- y'ₙ = 1 với mọi n
Do đó:
- lim(n→+∞) yₙ = -1
- lim(n→+∞) y'ₙ = 1
⚠️ Lưu ý: Dãy số hằng có giới hạn bằng chính hằng số đó.
Câu c
Với dãy (xₙ) bất kì thỏa mãn xₙ < 1 và xₙ → 1:
Vì xₙ < 1 nên f(xₙ) = -1 với mọi n
Do đó: lim(n→+∞) f(xₙ) = -1
Điều này có nghĩa: lim(x→1⁻) f(x) = -1
Với dãy (x'ₙ) bất kì thỏa mãn x'ₙ > 1 và x'ₙ → 1:
Vì x'ₙ > 1 nên f(x'ₙ) = 1 với mọi n
Do đó: lim(n→+∞) f(x'ₙ) = 1
Điều này có nghĩa: lim(x→1⁺) f(x) = 1
💡 Mẹo nhớ: Hàm f(x) = |x - a|/(x - a) luôn có giới hạn trái bằng -1 và giới hạn phải bằng 1 tại x = a
⚠️ Lưu ý thi: Vì lim(x→1⁻) f(x) ≠ lim(x→1⁺) f(x), nên lim(x→1) f(x) không tồn tại.
Luyện tập 2
Đề bài: Cho hàm số f(x) = { -x nếu x < 0; √x nếu x ≥ 0 }
Tính lim(x→0⁺) f(x), lim(x→0⁻) f(x) và lim(x→0) f(x).
Cách 1 — Sử dụng định nghĩa
Tính lim(x→0⁺) f(x):
Với dãy (xₙ) bất kì sao cho xₙ > 0 và xₙ → 0, ta có:
f(xₙ) = √xₙ (vì xₙ ≥ 0)
Do đó: lim(n→+∞) f(xₙ) = lim(n→+∞) √xₙ = √0 = 0
Vậy: lim(x→0⁺) f(x) = 0
Tính lim(x→0⁻) f(x):
Với dãy (xₙ) bất kì sao cho xₙ < 0 và xₙ → 0, ta có:
f(xₙ) = -xₙ (vì xₙ < 0)
Do đó: lim(n→+∞) f(xₙ) = lim(n→+∞) (-xₙ) = -0 = 0
Vậy: lim(x→0⁻) f(x) = 0
Tính lim(x→0) f(x):
Vì lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁻) f(x) = 0
Nên: lim(x→0) f(x) = 0
Cách 2 — Nhận xét trực tiếp
Khi x → 0⁺: f(x) = √x → √0 = 0
Khi x → 0⁻: f(x) = -x → -0 = 0
Hai giới hạn một bên bằng nhau và bằng 0, nên lim(x→0) f(x) = 0
💡 Mẹo nhớ: Với hàm số cho từng khúc, tính giới hạn hai bên rồi so sánh để kết luận giới hạn có tồn tại hay không.
HĐ3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
Đề bài: Cho hàm số f(x) = 1 + 2/(x - 1) có đồ thị như Hình 5.4.
Giả sử (xₙ) là dãy số sao cho xₙ > 1, xₙ → +∞. Tính f(xₙ) và tìm lim(n→+∞) f(xₙ).
Cách 1 — Tính trực tiếp
Tính f(xₙ):
f(xₙ) = 1 + 2/(xₙ - 1)
Tìm giới hạn:
Khi xₙ → +∞, ta có xₙ - 1 → +∞
Do đó: 2/(xₙ - 1) → 0
Suy ra: lim(n→+∞) f(xₙ) = lim(n→+∞) [1 + 2/(xₙ - 1)] = 1 + 0 = 1
Vậy: lim(x→+∞) f(x) = 1
Cách 2 — Quan sát đồ thị
Từ đồ thị Hình 5.4, khi x tăng lên vô cùng (x → +∞), đường cong tiến gần đến đường thẳng y = 1 (đường tiệm cận ngang).
Do đó: lim(x→+∞) f(x) = 1
💡 Mẹo nhớ: Với hàm dạng f(x) = a + b/(x - c), giới hạn khi x → ±∞ luôn bằng a (đường tiệm cận ngang y = a).
⚠️ Lưu ý thi: Đây là dạng hàm hữu tỉ đơn giản, thường gặp trong bài tập về tiệm cận. Giới hạn tại vô cực chính là tung độ của đường tiệm cận ngang.
🎯 Ghi nhớ
- Giới hạn một bên: lim(x→x₀) f(x) tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.
- Hàm |x - a|/(x - a): Giới hạn trái = -1, giới hạn phải = 1 tại x = a.
- Giới hạn tại vô cực: lim(x→±∞) 1/x^k = 0 với k nguyên dương.
- Kỹ thuật tính: Nhân liên hợp cho căn thức, chia lũy thừa cao nhất cho giới hạn vô cực.