Giải Toán tập 1 trang 116
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 116–117
🔍 Kiến thức cần nhớ
1. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Định nghĩa:
- Hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ nếu với dãy số (xₙ) bất kì, xₙ ∈ (a; b) \ {x₀}, xₙ → x₀, ta có f(xₙ) → +∞. Kí hiệu: lim f(x) = +∞ khi x→x₀
- Hàm số f(x) có giới hạn −∞ khi x → x₀ nếu lim[−f(x)] = +∞ khi x→x₀. Kí hiệu: lim f(x) = −∞ khi x→x₀
2. Giới hạn một bên vô cực
- Giới hạn bên phải: lim f(x) = +∞ khi x → x₀⁺
- Giới hạn bên trái: lim f(x) = +∞ khi x → x₀⁻
3. Quy tắc tính căn thức khi x → −∞
Với a < 0: √(a²b) = −√(a²b) = a√b (vì a < 0)
4. Một số giới hạn đặc biệt
- lim x^k = +∞ khi x → +∞ với k nguyên dương
- lim x^k = +∞ khi x → −∞ với k là số chẵn
- lim x^k = −∞ khi x → −∞ với k là số lẻ
⚙️ Bài tập
Luyện tập 3
Đề bài: Tính lim [√(x² + 2)]/(x + 1) khi x → +∞
Cách 1 — Phương pháp chia cho x (cơ bản)
Bước 1: Phân tích khi x → +∞
Khi x → +∞, ta có x > 0, nên √(x²) = x
Bước 2: Biến đổi biểu thức
√(x² + 2) = √[x²(1 + 2/x²)] = x × √(1 + 2/x²)
Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho x
lim [√(x² + 2)]/(x + 1) = lim [x × √(1 + 2/x²)]/(x + 1)
= lim √(1 + 2/x²) / (1 + 1/x)
Bước 4: Tính giới hạn
Khi x → +∞:
- 2/x² → 0, nên √(1 + 2/x²) → √1 = 1
- 1/x → 0, nên 1 + 1/x → 1
Vậy: lim [√(x² + 2)]/(x + 1) = 1/1 = 1 khi x → +∞
Cách 2 — Nhân liên hợp
Bước 1: Đặt f(x) = √(x² + 2)/(x + 1)
Khi x → +∞, cả tử và mẫu đều → +∞, đây là dạng ∞/∞
Bước 2: Rút x từ tử và mẫu
Tử số: √(x² + 2) = |x| × √(1 + 2/x²) = x × √(1 + 2/x²) (vì x > 0)
Mẫu số: x + 1 = x(1 + 1/x)
Bước 3: Rút gọn
f(x) = [x × √(1 + 2/x²)] / [x(1 + 1/x)] = √(1 + 2/x²) / (1 + 1/x)
Bước 4: Tính giới hạn
lim f(x) = √(1 + 0) / (1 + 0) = 1 khi x → +∞
💡 Mẹo nhớ: Khi tính giới hạn dạng √(ax² + bx + c)/(dx + e) với x → +∞, luôn rút x² ra khỏi căn, được |x| = x (vì x > 0)
Vận dụng (Bài toán hình học)
Đề bài: Cho tam giác vuông OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.
a) Tính h theo a.
b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
Câu a) Tính h theo a
Cách 1 — Dùng công thức diện tích
Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác vuông OAB
- O = (0; 0), A = (a; 0), B = (0; 1)
- OA = a (cạnh nằm trên trục Ox)
- OB = 1 (cạnh nằm trên trục Oy)
- Góc vuông tại O
Bước 2: Tính cạnh huyền AB
AB = √(OA² + OB²) = √(a² + 1)
Bước 3: Áp dụng công thức diện tích
Diện tích tam giác OAB có thể tính theo 2 cách:
- S = (1/2) × OA × OB = (1/2) × a × 1 = a/2
- S = (1/2) × AB × OH = (1/2) × √(a² + 1) × h
Bước 4: Từ đẳng thức diện tích
a/2 = (1/2) × √(a² + 1) × h
⟹ h = a/√(a² + 1)
Cách 2 — Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông OAB, vuông tại O, đường cao OH kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền.
Áp dụng hệ thức: 1/h² = 1/OA² + 1/OB²
1/h² = 1/a² + 1/1² = 1/a² + 1 = (1 + a²)/a²
⟹ h² = a²/(1 + a²)
⟹ h = a/√(a² + 1) (với a > 0)
💡 Mẹo nhớ: Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Nếu đường cao h kẻ từ đỉnh góc vuông, với hai cạnh góc vuông b và c thì: 1/h² = 1/b² + 1/c²
Câu b) Khi điểm A dịch chuyển về O
Phân tích: Khi A → O tức là a → 0⁺
Tính giới hạn:
lim h = lim [a/√(a² + 1)] khi a → 0⁺
= 0/√(0 + 1) = 0/1 = 0
Kết luận: Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H cũng tiến về O (h → 0).
Giải thích: Khi a → 0, tam giác OAB bị "thu hẹp" lại, cạnh OA → 0, nên đường cao OH từ O đến cạnh huyền cũng → 0.
Câu c) Khi A dịch chuyển ra vô cực
Phân tích: Khi A ra vô cực theo chiều dương Ox tức là a → +∞
Tính giới hạn:
lim h = lim [a/√(a² + 1)] khi a → +∞
Chia cả tử và mẫu cho a (với a > 0):
= lim [a/(a × √(1 + 1/a²))] = lim [1/√(1 + 1/a²)]
Khi a → +∞: 1/a² → 0
⟹ lim h = 1/√(1 + 0) = 1
Kết luận: Khi điểm A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H tiến đến điểm B (h → 1 = OB).
Giải thích: Khi a → +∞, cạnh huyền AB gần như song song với trục Ox và gần với đường thẳng y = 1. Do đó đường cao từ O đến AB tiến về độ dài OB = 1.
⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài kết hợp hình học và giới hạn thường xuất hiện trong đề thi. Cần nắm vững hệ thức lượng trong tam giác vuông.
H05
Đề bài: Cho hàm số f(x) = 1/(x − 1). Với các dãy số (xₙ) và (x'ₙ) cho bởi xₙ = 1 + 1/n, x'ₙ = 1 − 1/n, tính lim f(xₙ) và lim f(x'ₙ) khi n → +∞.
Cách 1 — Tính trực tiếp
Bước 1: Tính f(xₙ) với xₙ = 1 + 1/n
f(xₙ) = 1/(xₙ − 1) = 1/[(1 + 1/n) − 1] = 1/(1/n) = n
Bước 2: Tính giới hạn của f(xₙ)
lim f(xₙ) = lim n = +∞ khi n → +∞
Bước 3: Tính f(x'ₙ) với x'ₙ = 1 − 1/n
f(x'ₙ) = 1/(x'ₙ − 1) = 1/[(1 − 1/n) − 1] = 1/(−1/n) = −n
Bước 4: Tính giới hạn của f(x'ₙ)
lim f(x'ₙ) = lim (−n) = −∞ khi n → +∞
Cách 2 — Phân tích ý nghĩa giới hạn một bên
Nhận xét:
- Dãy xₙ = 1 + 1/n → 1 và xₙ > 1 (tiến về 1 từ bên phải)
- Dãy x'ₙ = 1 − 1/n → 1 và x'ₙ < 1 (tiến về 1 từ bên trái)
Phân tích:
- Khi x → 1⁺: (x − 1) → 0⁺ nên 1/(x − 1) → +∞
- Khi x → 1⁻: (x − 1) → 0⁻ nên 1/(x − 1) → −∞
Kết luận:
- lim f(xₙ) = +∞ (giới hạn bên phải)
- lim f(x'ₙ) = −∞ (giới hạn bên trái)
💡 Mẹo nhớ: Với hàm f(x) = 1/(x − a), giới hạn tại x = a phụ thuộc vào hướng tiến: - Từ bên phải (x > a): giới hạn là +∞ - Từ bên trái (x < a): giới hạn là −∞
Luyện tập 4
Đề bài: Tính các giới hạn sau:
a) lim 2/|x| khi x → 0
b) lim 1/√(2 − x) khi x → 2⁻
Câu a) lim 2/|x| khi x → 0
Cách 1 — Dùng định nghĩa giới hạn vô cực
Phân tích:
- Khi x → 0, ta có |x| → 0⁺ (|x| luôn dương)
- Do đó 2/|x| → +∞
Chứng minh:
Lấy dãy (xₙ) bất kì sao cho xₙ ≠ 0 và xₙ → 0.
Khi đó |xₙ| → 0⁺, nên 2/|xₙ| → +∞
Kết luận: lim 2/|x| = +∞ khi x → 0
Cách 2 — Xét giới hạn hai bên
Giới hạn bên phải (x → 0⁺):
Khi x > 0: |x| = x
lim 2/|x| = lim 2/x = +∞ khi x → 0⁺
Giới hạn bên trái (x → 0⁻):
Khi x < 0: |x| = −x
lim 2/|x| = lim 2/(−x) = +∞ khi x → 0⁻
Vì cả hai giới hạn một bên đều bằng +∞, nên:
lim 2/|x| = +∞ khi x → 0
Câu b) lim 1/√(2 − x) khi x → 2⁻
Cách 1 — Phân tích trực tiếp
Điều kiện xác định: 2 − x > 0 ⟺ x < 2
Phân tích:
- Khi x → 2⁻ (x tiến về 2 từ bên trái, x < 2)
- Ta có: 2 − x → 0⁺
- Do đó: √(2 − x) → 0⁺
- Suy ra: 1/√(2 − x) → +∞
Kết luận: lim 1/√(2 − x) = +∞ khi x → 2⁻
Cách 2 — Dùng dãy số
Lấy dãy xₙ = 2 − 1/n² với n ∈ ℕ*
Ta có: xₙ < 2 và xₙ → 2 khi n → +∞
f(xₙ) = 1/√(2 − xₙ) = 1/√(1/n²) = 1/(1/n) = n → +∞
Kết luận: lim 1/√(2 − x) = +∞ khi x → 2⁻
⚠️ Lưu ý thi: Khi tính giới hạn với căn thức, phải chú ý điều kiện xác định và xác định đúng hướng tiến của x (từ bên trái hay bên phải).
💡 Mẹo bấm máy: Với Casio fx-580VN X, dùng chức năng TABLE để kiểm tra: - Nhập hàm Y = 1/√(2 − X) - Cho X chạy từ 1.9 đến 1.99 (bước 0.01) - Quan sát Y tăng dần → +∞
🎯 Ghi nhớ
- Giới hạn vô cực tại một điểm: Khi mẫu số → 0 và tử số ≠ 0, giới hạn có thể là ±∞ tùy thuộc vào dấu của biểu thức.
- Giới hạn một bên: Cần xác định hướng tiến của x (từ trái hay phải) để xác định dấu của giới hạn.
- Với căn thức khi x → −∞: √(x²) = |x| = −x (vì x < 0)
- Hệ thức đường cao trong tam giác vuông: h = (a × b)/√(a² + b²) với a, b là hai cạnh góc vuông.