Giải Toán tập 1 trang 118
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 118–119
Trước khi vào bài tập, mình tóm tắt nhanh phần lý thuyết ở trang trước nhé.
Tóm tắt lý thuyết: Quy tắc tính giới hạn vô cực
Khi một trong hai hàm có giới hạn vô cực, các quy tắc với giới hạn hữu hạn không còn dùng được. Ta thay bằng hai quy tắc sau (vẫn đúng cho cả giới hạn một bên):
Quy tắc giới hạn của tích $f(x)g(x)$ khi $\lim f(x)=L\neq 0$ và $\lim g(x)=\pm\infty$:
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | $\lim f(x)g(x)$ |
|---|---|---|
| $L>0$ | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $L>0$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $L<0$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $L<0$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
Quy tắc giới hạn của thương $\dfrac{f(x)}{g(x)}$:
| $\lim f(x)$ | $\lim g(x)$ | Dấu $g(x)$ | $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
|---|---|---|---|
| $L$ | $\pm\infty$ | tuỳ ý | $0$ |
| $L>0$ | $0$ | $+$ | $+\infty$ |
| $L>0$ | $0$ | $-$ | $-\infty$ |
| $L<0$ | $0$ | $+$ | $-\infty$ |
| $L<0$ | $0$ | $-$ | $+\infty$ |
Mẹo nhớ: khi mẫu tiến về 0, xét dấu tử và dấu mẫu rồi áp dụng quy tắc “dấu của thương”.
Luyện tập 5
Tính $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\frac{2x-1}{x-2}$ và $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\frac{2x-1}{x-2}$.
Khi $x\to 2$: tử số $2x-1\to 3>0$, mẫu $x-2\to 0$.
- $x\to 2^+$: $x-2\to 0^+$ (dương). Tử dương, mẫu $\to 0^+$ nên
$$\lim_{x\to 2^+}\frac{2x-1}{x-2}=+\infty.$$
- $x\to 2^-$: $x-2\to 0^-$ (âm). Tử dương, mẫu $\to 0^-$ nên
$$\lim_{x\to 2^-}\frac{2x-1}{x-2}=-\infty.$$
Bài 5.7: So sánh hai hàm số
Cho $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ và $g(x)=x+1$. Khẳng định nào đúng?
a) $f(x)=g(x)$.
b) $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}g(x)$.
Lời giải:
- Câu a) Sai. Tuy rằng với $x\neq 1$ ta có $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$, nhưng $f$ không xác định tại $x=1$ (tập xác định $\mathbb{R}\setminus\{1\}$), còn $g$ xác định tại mọi $x$. Hai hàm khác tập xác định nên không bằng nhau.
- Câu b) Đúng.
$$\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2,\qquad \lim_{x\to 1}g(x)=2.$$
Vậy khẳng định đúng là b).
Bài 5.8: Tính các giới hạn
a) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x+2)^2-4}{x}$
Khai triển tử: $(x+2)^2-4=x^2+4x+4-4=x^2+4x=x(x+4)$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{x(x+4)}{x}=\lim_{x\to 0}(x+4)=4.$$
b) $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$
Dạng $\frac{0}{0}$, nhân liên hợp $\sqrt{x^2+9}+3$:
$$\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\frac{(x^2+9)-9}{x^2\big(\sqrt{x^2+9}+3\big)}=\frac{x^2}{x^2\big(\sqrt{x^2+9}+3\big)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}.$$
Cho $x\to 0$:
$$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}.$$
Bài 5.9: Hàm Heaviside
$H(t)=\begin{cases}0 & \text{nếu } t<0\\ 1 & \text{nếu } t\ge 0\end{cases}$. Tính $\displaystyle\lim_{t\to 0^+}H(t)$ và $\displaystyle\lim_{t\to 0^-}H(t)$.
- Khi $t\to 0^+$ thì $t>0\ge 0$ nên $H(t)=1$:
$$\lim_{t\to 0^+}H(t)=1.$$
- Khi $t\to 0^-$ thì $t<0$ nên $H(t)=0$:
$$\lim_{t\to 0^-}H(t)=0.$$
Hai giới hạn một bên khác nhau, nên $\lim_{t\to 0}H(t)$ không tồn tại (đúng với ý nghĩa “chuyển trạng thái tắt/mở” tại $t=0$).
Bài 5.10: Giới hạn một bên
a) $\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{x-2}{x-1}$
Khi $x\to 1^+$: tử $x-2\to -1<0$, mẫu $x-1\to 0^+$.
Tử âm, mẫu $\to 0^+$ nên
$$\lim_{x\to 1^+}\frac{x-2}{x-1}=-\infty.$$
b) $\displaystyle\lim_{x\to 4^-}\frac{x^2-x+1}{4-x}$
Khi $x\to 4^-$: tử $x^2-x+1\to 16-4+1=13>0$, mẫu $4-x\to 0^+$ (vì $x<4$ nên $4-x>0$).
Tử dương, mẫu $\to 0^+$ nên
$$\lim_{x\to 4^-}\frac{x^2-x+1}{4-x}=+\infty.$$
Bài 5.11: Giới hạn có dấu giá trị tuyệt đối
Cho $g(x)=\dfrac{x^2-5x+6}{|x-2|}$. Tìm $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}g(x)$ và $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}g(x)$.
Phân tích tử: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$.
- $x\to 2^+$: $x>2$ nên $|x-2|=x-2$. Khi đó
$$g(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\ \to\ 2-3=-1.$$
$$\lim_{x\to 2^+}g(x)=-1.$$
- $x\to 2^-$: $x<2$ nên $|x-2|=-(x-2)$. Khi đó
$$g(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{-(x-2)}=-(x-3)=3-x\ \to\ 3-2=1.$$
$$\lim_{x\to 2^-}g(x)=1.$$
Bài 5.12: Giới hạn tại vô cực
a) $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$
Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x>0$ thì $\sqrt{x^2}=x$):
$$\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}.$$
Cho $x\to +\infty$: tử $\to 0-2=-2$, mẫu $\to\sqrt{1}=1$.
$$\lim_{x\to +\infty}\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}=-2.$$
b) $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^2+x+2}-x\big)$
Dạng $\infty-\infty$, nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+x+2}-x=\frac{(x^2+x+2)-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}.$$
Chia tử mẫu cho $x$ ($x>0$):
$$=\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1}\ \to\ \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$
$$\lim_{x\to +\infty}\big(\sqrt{x^2+x+2}-x\big)=\frac{1}{2}.$$
Bài 5.13: Giới hạn một bên
Cho $f(x)=\dfrac{2}{(x-1)(x-2)}$. Tìm $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)$ và $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)$.
Tử số luôn bằng $2>0$. Quanh $x=2$ thì $x-1\to 1>0$, còn $x-2\to 0$. Vậy dấu của mẫu phụ thuộc dấu của $x-2$.
- $x\to 2^+$: $x-2\to 0^+$, nên $(x-1)(x-2)\to 0^+$. Tử dương, mẫu $\to 0^+$:
$$\lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$$
- $x\to 2^-$: $x-2\to 0^-$, nên $(x-1)(x-2)\to 0^-$. Tử dương, mẫu $\to 0^-$:
$$\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty.$$
Lưu ý nhỏ cho cả trang: với các giới hạn dạng "mẫu tiến về 0", em đừng vội kết luận mà hãy luôn xét dấu của tử và dấu của mẫu khi tiến về 0 (qua bên trái hay bên phải). Đó là chìa khoá để chọn $+\infty$ hay $-\infty$.