Giải Toán tập 1 trang 120

Hai trang này thuộc Bài 17 – Hàm số liên tục. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết toàn bộ hoạt động và bài luyện tập nhé. (Lưu ý: ảnh gửi lên là trang 119 và 120, mình giải đúng theo nội dung trong ảnh.)

Tóm tắt lý thuyết

Hàm số liên tục tại một điểm:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ chứa $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu
$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).$$

Nếu không thỏa điều kiện trên thì $f(x)$ gián đoạn tại $x_0$.

Điều kiện đầy đủ (khi xét giới hạn một bên):
$$\lim_{x\to x_0^+} f(x) = \lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0).$$

Hàm số liên tục trên một khoảng / đoạn:

• $f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
• $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu liên tục trên $(a;b)$ và $\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$, $\lim_{x\to b^-} f(x)=f(b)$.

Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền nét trên khoảng đó.

---

Bài toán mở đầu: Người lái xe

Đề: Một người lái xe từ $A$ đến $B$ trong 3 giờ, quãng đường dài 180 km. Chứng tỏ có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc 60 km/h.

Ý tưởng: Vận tốc trung bình cả hành trình là
$$v_{tb}=\dfrac{180}{3}=60 \text{ km/h}.$$

Vì vận tốc của xe biến thiên liên tục theo thời gian, mà giá trị trung bình bằng 60 km/h, nên theo tính chất của hàm liên tục (định lý giá trị trung gian sẽ học sau), tồn tại ít nhất một thời điểm xe đạt đúng vận tốc 60 km/h. Đây là tình huống dẫn dắt vào khái niệm liên tục.

---

Bài HĐ1: Nhận biết tính liên tục tại một điểm

Đề: Cho hàm số
$$f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{nếu } x\neq 1\\[2mm] 2 & \text{nếu } x=1.\end{cases}$$
Tính $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ và so sánh với $f(1)$.

Lời giải:

Với $x\neq 1$, ta rút gọn:
$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

Do đó:
$$\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2.$$

Mặt khác $f(1)=2$.

Kết luận: $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=f(1)=2$. Hai giá trị bằng nhau, nên hàm số liên tục tại $x=1$.

---

Bài Luyện tập 1: Xét tính liên tục tại $x_0=0$

Đề: Xét tính liên tục của hàm số
$$f(x)=\begin{cases} -x & \text{nếu } x<0\\ 0 & \text{nếu } x=0\\ x^2 & \text{nếu } x>0\end{cases}$$
tại điểm $x_0=0$.

Lời giải:

Tính hai giới hạn một bên:

Ta thấy:
$$\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^+} f(x)=f(0)=0.$$

Kết luận: Hàm số liên tục tại $x_0=0$.

---

Bài HĐ2: Hàm số liên tục trên một khoảng

Đề: Cho hai hàm số
$$f(x)=\begin{cases} 2x & 0\le x\le \tfrac12\\ 1 & \tfrac12 < x\le 1\end{cases}\qquad g(x)=\begin{cases} x & 0\le x\le \tfrac12\\ 1 & \tfrac12 < x\le 1\end{cases}$$

với đồ thị như Hình 5.7. Xét tính liên tục của $f(x)$ và $g(x)$ tại $x=\tfrac12$ và nhận xét sự khác nhau giữa hai đồ thị.

Lời giải:

Xét hàm $f(x)$ tại $x=\tfrac12$:

• Giá trị hàm: $f\!\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac12=1$.
• Giới hạn trái: $\lim\limits_{x\to \frac12^-} f(x)=2\cdot\tfrac12=1$.
• Giới hạn phải: $\lim\limits_{x\to \frac12^+} f(x)=1$.

Vì $\lim\limits_{x\to \frac12^-} f(x)=\lim\limits_{x\to \frac12^+} f(x)=f\!\left(\tfrac12\right)=1$ nên $f(x)$ liên tục tại $x=\tfrac12$.

Xét hàm $g(x)$ tại $x=\tfrac12$:

• Giá trị hàm: $g\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac12$.
• Giới hạn trái: $\lim\limits_{x\to \frac12^-} g(x)=\tfrac12$.
• Giới hạn phải: $\lim\limits_{x\to \frac12^+} g(x)=1$.

Vì $\lim\limits_{x\to \frac12^-} g(x)=\tfrac12 \neq 1=\lim\limits_{x\to \frac12^+} g(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to \frac12} g(x)$. Do đó $g(x)$ gián đoạn tại $x=\tfrac12$.

Nhận xét về đồ thị:

• Đồ thị $y=f(x)$ là một đường liền nét (không bị đứt) tại $x=\tfrac12$, phù hợp với việc $f$ liên tục tại điểm này.
• Đồ thị $y=g(x)$ bị đứt (có một bước nhảy) tại $x=\tfrac12$: điểm bên trái dừng ở độ cao $\tfrac12$ còn nhánh bên phải bắt đầu ở độ cao $1$. Đây là dấu hiệu trực quan của sự gián đoạn.

Như vậy, một hàm liên tục trên một khoảng có đồ thị là đường liền nét, còn hàm gián đoạn thì đồ thị bị đứt tại điểm gián đoạn.