Giải Toán tập 1 trang 122

🔍 Kiến thức cần nhớ

1. Tính liên tục của hàm số

• Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x₀ nếu: lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
• Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) nếu liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

2. Các hàm số sơ cấp liên tục

• Hàm đa thức và các hàm y = sinx, y = cosx liên tục trên ℝ
• Các hàm y = tanx, y = cotx, y = √x và hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng

3. Tính chất về tổng, hiệu, tích, thương

Nếu f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì:

• y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x), y = f(x)·g(x) liên tục tại x₀
• y = f(x)/g(x) liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0

4. Định lý về nghiệm của phương trình

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)·f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 2

Đề bài: Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) = (x² + 1)/(x + 2) liên tục.

---

Cách 1 — Phương pháp xét tập xác định

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số f(x) = (x² + 1)/(x + 2) là hàm phân thức hữu tỉ.

Điều kiện xác định: x + 2 ≠ 0 ⟺ x ≠ -2

Tập xác định: D = ℝ \ {-2} = (-∞; -2) ∪ (-2; +∞)

Bước 2: Kết luận về tính liên tục

Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), nên f(x) liên tục trên tập xác định của nó.

Kết luận: Hàm số f(x) = (x² + 1)/(x + 2) liên tục trên các khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞).

---

Cách 2 — Phương pháp áp dụng tính chất

Phân tích:

• Tử số: g(x) = x² + 1 là hàm đa thức → liên tục trên ℝ
• Mẫu số: h(x) = x + 2 là hàm đa thức → liên tục trên ℝ

Theo tính chất: Thương của hai hàm liên tục sẽ liên tục tại những điểm mà mẫu số khác 0.

h(x) = 0 ⟺ x = -2

Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞; -2) và (-2; +∞).

💡 Mẹo nhớ: Hàm phân thức hữu tỉ P(x)/Q(x) luôn liên tục trên mọi khoảng không chứa nghiệm của mẫu Q(x).

---

HĐ3 (Hoạt động 3)

Đề bài: Cho hai hàm số f(x) = x² và g(x) = -x + 1.

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.

b) Tính L = lim(x→1)[f(x) + g(x)] và so sánh L với f(1) + g(1).

---

Câu a)

Cách 1 — Kiểm tra định nghĩa liên tục

Xét hàm f(x) = x²:

• f(1) = 1² = 1
• lim(x→1) f(x) = lim(x→1) x² = 1
• Vì lim(x→1) f(x) = f(1) = 1 nên f(x) liên tục tại x = 1

Xét hàm g(x) = -x + 1:

• g(1) = -1 + 1 = 0
• lim(x→1) g(x) = lim(x→1) (-x + 1) = -1 + 1 = 0
• Vì lim(x→1) g(x) = g(1) = 0 nên g(x) liên tục tại x = 1

Cách 2 — Áp dụng tính chất hàm đa thức

Vì f(x) = x² và g(x) = -x + 1 đều là hàm đa thức, mà hàm đa thức liên tục trên ℝ, nên cả hai hàm số đều liên tục tại x = 1 (và tại mọi điểm khác).

---

Câu b)

Tính L:

L = lim(x→1)[f(x) + g(x)] = lim(x→1)[x² + (-x + 1)] = lim(x→1)[x² - x + 1]

Thay x = 1: L = 1² - 1 + 1 = 1

Tính f(1) + g(1):

f(1) + g(1) = 1² + (-1 + 1) = 1 + 0 = 1

So sánh: L = f(1) + g(1) = 1

💡 Mẹo nhớ: Kết quả này minh họa tính chất: Nếu f và g liên tục tại x₀ thì lim(x→x₀)[f(x) + g(x)] = f(x₀) + g(x₀), tức tổng của hai hàm liên tục cũng liên tục.

---

Bài 5.14

Đề bài: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 2 và lim(x→1)[2f(x) - g(x)] = 3. Tính g(1).

---

Cách 1 — Áp dụng tính chất giới hạn

Bước 1: Sử dụng tính liên tục

Vì f(x) liên tục tại x = 1 nên: lim(x→1) f(x) = f(1) = 2

Vì g(x) liên tục tại x = 1 nên: lim(x→1) g(x) = g(1)

Bước 2: Tính giới hạn

lim(x→1)[2f(x) - g(x)] = 2·lim(x→1) f(x) - lim(x→1) g(x)

= 2·f(1) - g(1)

= 2·2 - g(1)

= 4 - g(1)

Bước 3: Lập phương trình và giải

Theo đề bài: 4 - g(1) = 3

⟹ g(1) = 4 - 3 = 1

---

Cách 2 — Giải trực tiếp

Ta có:

• lim(x→1)[2f(x) - g(x)] = 3
• Vì f, g liên tục tại x = 1: lim(x→1)[2f(x) - g(x)] = 2f(1) - g(1)

Suy ra: 2f(1) - g(1) = 3

2(2) - g(1) = 3

4 - g(1) = 3

g(1) = 1

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài này thường xuất hiện trong đề thi. Nhớ áp dụng đúng tính chất: hàm liên tục tại x₀ thì giới hạn tại x₀ bằng giá trị hàm tại x₀.

---

Bài 5.15

Đề bài: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

a) f(x) = x/(x² + 5x + 6)

b) f(x) = { 1 + x² nếu x < 1; 4 - x nếu x ≥ 1 }

---

Câu a) f(x) = x/(x² + 5x + 6)

Cách 1 — Phương pháp chuẩn

Bước 1: Tìm tập xác định

Điều kiện: x² + 5x + 6 ≠ 0

Giải phương trình: x² + 5x + 6 = 0

(x + 2)(x + 3) = 0
x = -2 hoặc x = -3

Tập xác định: D = ℝ \ {-3; -2} = (-∞; -3) ∪ (-3; -2) ∪ (-2; +∞)

Bước 2: Xét tính liên tục

• Tử số: x là hàm đa thức → liên tục trên ℝ
• Mẫu số: x² + 5x + 6 là hàm đa thức → liên tục trên ℝ

Theo tính chất, thương của hai hàm liên tục sẽ liên tục tại mọi điểm mà mẫu khác 0.

Kết luận: Hàm số f(x) = x/(x² + 5x + 6) liên tục trên tập xác định của nó, tức liên tục trên các khoảng (-∞; -3), (-3; -2) và (-2; +∞).

💡 Mẹo bấm máy: Để phân tích x² + 5x + 6, dùng chức năng SOLVE hoặc TABLE để tìm nghiệm. Bấm: MODE → 5 (EQN) → 1 → nhập hệ số 1, 5, 6.

---

Câu b) f(x) = { 1 + x² nếu x < 1; 4 - x nếu x ≥ 1 }

Cách 1 — Xét từng miền và điểm ghép nối

Bước 1: Xét tính liên tục trên từng miền

• Với x < 1: f(x) = 1 + x² là hàm đa thức → liên tục trên (-∞; 1)
• Với x > 1: f(x) = 4 - x là hàm đa thức → liên tục trên (1; +∞)

Bước 2: Xét tính liên tục tại điểm ghép nối x = 1

Tính f(1): f(1) = 4 - 1 = 3 (vì x = 1 thuộc trường hợp x ≥ 1)

Tính giới hạn trái:

lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) (1 + x²) = 1 + 1² = 2

Tính giới hạn phải:

lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (4 - x) = 4 - 1 = 3

Nhận xét:
lim(x→1⁻) f(x) = 2 ≠ 3 = lim(x→1⁺) f(x)

Do giới hạn trái ≠ giới hạn phải nên không tồn tại lim(x→1) f(x).

Kết luận: Hàm số f(x) gián đoạn (không liên tục) tại x = 1.

Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞), nhưng không liên tục trên toàn tập xác định ℝ.

---

Cách 2 — Phương pháp nhanh (kiểm tra tại điểm ghép)

Tại điểm ghép x = 1, kiểm tra:

• Giá trị "nhánh trái" khi x → 1: 1 + 1² = 2
• Giá trị "nhánh phải" tại x = 1: 4 - 1 = 3

Vì 2 ≠ 3 → Gián đoạn tại x = 1

⚠️ Lưu ý thi: Với hàm cho bởi nhiều công thức, luôn kiểm tra tính liên tục tại điểm ghép nối. Đây là dạng bài thường gặp trong đề thi!

---

Bài 5.16

Đề bài: Tìm giá trị của tham số m để hàm số

f(x) = { sinx nếu x ≥ 0; -x + m nếu x < 0 }

liên tục trên ℝ.

---

Cách 1 — Phương pháp chuẩn

Bước 1: Xét tính liên tục trên từng miền

• Với x > 0: f(x) = sinx là hàm lượng giác → liên tục trên (0; +∞)
• Với x < 0: f(x) = -x + m là hàm đa thức → liên tục trên (-∞; 0)

Bước 2: Để hàm số liên tục trên ℝ, cần liên tục tại điểm ghép x = 0

Điều kiện liên tục tại x = 0:

lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁻) f(x) = f(0)

Tính f(0): f(0) = sin(0) = 0 (vì x = 0 thuộc trường hợp x ≥ 0)

Tính giới hạn phải:
lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁺) sinx = sin(0) = 0

Tính giới hạn trái:

lim(x→0⁻) f(x) = lim(x→0⁻) (-x + m) = -0 + m = m

Bước 3: Lập điều kiện và giải

Để hàm số liên tục tại x = 0:
lim(x→0⁻) f(x) = f(0)
m = 0

Kết luận: Hàm số liên tục trên ℝ khi m = 0

---

Cách 2 — Phương pháp ghép nối giá trị

Tại x = 0:

• Nhánh phải cho: f(0) = sin(0) = 0
• Nhánh trái tiến tới: lim(x→0⁻)(-x + m) = m

Để liên tục: m = 0

💡 Mẹo nhớ: Với hàm ghép có tham số, điều kiện liên tục là "giá trị hai nhánh khớp nhau tại điểm ghép".

⚠️ Lưu ý thi: Dạng tìm tham số để hàm liên tục là dạng bài thường gặp. Luôn nhớ kiểm tra đủ 3 điều kiện: tồn tại f(x₀), tồn tại giới hạn, và giới hạn = giá trị hàm.

---

Bài 5.17

Đề bài: Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

---

Câu a) Viết công thức hàm số

Cách 1 — Phân tích từng trường hợp

Gọi x (km) là quãng đường di chuyển, f(x) (đồng) là số tiền phải trả.

Trường hợp 1: 0 < x ≤ 0,5 (km đầu tiên - giá mở cửa)
f(x) = 10 000

Trường hợp 2: 0,5 < x ≤ 30 (từ km 0,5 đến km 30)

• Giá mở cửa: 10 000 đồng
• Quãng đường tính thêm: (x - 0,5) km
• Giá mỗi km: 13 500 đồng

f(x) = 10 000 + 13 500(x - 0,5)

f(x) = 10 000 + 13 500x - 6 750

f(x) = 13 500x + 3 250

Trường hợp 3: x > 30 (từ km thứ 31 trở đi)

• Tiền cho 30 km đầu: f(30) = 13 500 × 30 + 3 250 = 405 000 + 3 250 = 408 250 đồng
• Quãng đường tính thêm: (x - 30) km
• Giá mỗi km: 11 000 đồng

f(x) = 408 250 + 11 000(x - 30)

f(x) = 408 250 + 11 000x - 330 000

f(x) = 11 000x + 78 250

Công thức hàm số:

         ⎧ 10 000                nếu 0 < x ≤ 0,5
f(x) =   ⎨ 13 500x + 3 250      nếu 0,5 < x ≤ 30
         ⎩ 11 000x + 78 250     nếu x > 30

---

Câu b) Xét tính liên tục

Cách 1 — Xét từng điểm ghép nối

Điểm ghép x = 0,5:

• f(0,5) = 10 000 (thuộc trường hợp x ≤ 0,5)
• lim(x→0,5⁺) f(x) = 13 500(0,5) + 3 250 = 6 750 + 3 250 = 10 000

Vì f(0,5) = lim(x→0,5⁺) f(x) = 10 000 → Liên tục tại x = 0,5

Điểm ghép x = 30:

• lim(x→30⁻) f(x) = 13 500(30) + 3 250 = 405 000 + 3 250 = 408 250
• lim(x→30⁺) f(x) = 11 000(30) + 78 250 = 330 000 + 78 250 = 408 250

Vì lim(x→30⁻) f(x) = lim(x→30⁺) f(x) = 408 250 → Liên tục tại x = 30

Trên các khoảng:

• (0; 0,5]: f(x) = 10 000 là hằng số → liên tục
• (0,5; 30]: f(x) = 13 500x + 3 250 là đa thức bậc nhất → liên tục
• (30; +∞): f(x) = 11 000x + 78 250 là đa thức bậc nhất → liên tục

Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên tập xác định (0; +∞).

---

Cách 2 — Kiểm tra nhanh tại điểm ghép

→ Hàm số liên tục trên (0; +∞)

💡 Mẹo nhớ: Trong thực tế, bảng giá cước được thiết kế để hàm tiền cước liên tục, tránh "nhảy giá" đột ngột.

💡 Mẹo bấm máy: Dùng chức năng TABLE để kiểm tra nhanh giá trị tại các điểm ghép. Bấm: MODE → 7 (TABLE) → nhập công thức → nhập giá trị cần kiểm tra.

---

🎯 Ghi nhớ

1. Hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định (mọi khoảng không chứa nghiệm của mẫu).

1. Hàm cho bởi nhiều công thức: Kiểm tra liên tục tại điểm ghép bằng cách so sánh giới hạn trái, giới hạn phải và giá trị hàm.

1. Tìm tham số m: Lập điều kiện để giới hạn trái = giới hạn phải = giá trị hàm tại điểm ghép.

1. Bài toán thực tế: Xây dựng hàm số theo từng điều kiện, sau đó kiểm tra liên tục tại các điểm chuyển tiếp.