Giải Toán tập 1 trang 16

Tóm tắt lý thuyết (trang 15)

Đây là phần công thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

Góc bù nhau (α và π − α):
$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha,\quad \cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$$

Góc phụ nhau (α và π/2 − α):
$$\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\quad \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$
$$\tan\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot\alpha,\quad \cot\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha$$

Góc hơn kém π (α và π + α):
$$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\quad \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha,\quad \cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$$

Mẹo nhớ: "cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tang".

---

Luyện tập 7

Đề: Tính a) $\sin(-675^\circ)$; b) $\tan\dfrac{15\pi}{4}$.

a) Cộng thêm một vòng tròn $360^\circ$ để đưa về góc quen thuộc:
$$\sin(-675^\circ)=\sin(-675^\circ+720^\circ)=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

b) Trừ bớt $2\pi$ rồi dùng tính chất hơn kém π:
$$\tan\frac{15\pi}{4}=\tan\left(\frac{15\pi}{4}-2\pi\right)=\tan\frac{7\pi}{4}=\tan\left(\frac{3\pi}{4}+\pi\right)=\tan\frac{3\pi}{4}=-1$$

---

Vận dụng 2

Đề: Huyết áp tâm trương cho bởi $B(t)=80+7\sin\dfrac{\pi t}{12}$ (mmHg), $t$ là số giờ tính từ nửa đêm. Tìm huyết áp tại: a) 6 giờ sáng; b) 10 giờ 30 sáng; c) 12 giờ trưa; d) 8 giờ tối.

a) $t=6$:
$$B(6)=80+7\sin\frac{6\pi}{12}=80+7\sin\frac{\pi}{2}=80+7=87 \text{ mmHg}$$

b) $t=10{,}5$:
$$B(10{,}5)=80+7\sin\frac{10{,}5\pi}{12}=80+7\sin\frac{7\pi}{8}\approx 80+7\cdot 0{,}383\approx 82{,}68 \text{ mmHg}$$

c) $t=12$:
$$B(12)=80+7\sin\pi=80+0=80 \text{ mmHg}$$

d) $t=20$:
$$B(20)=80+7\sin\frac{20\pi}{12}=80+7\sin\frac{5\pi}{3}=80+7\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\approx 73{,}94 \text{ mmHg}$$

---

Bài 1.1: Hoàn thành bảng

Dùng công thức đổi: $\text{rad}=\text{độ}\times\dfrac{\pi}{180}$ và ngược lại.

Cách tính các ô:

• $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$
• $\frac{3\pi}{8}\cdot\frac{180}{\pi}=67{,}5^\circ$
• $900^\circ=900\cdot\frac{\pi}{180}=5\pi$
• $-\frac{7\pi}{12}\cdot\frac{180}{\pi}=-105^\circ$
• $-\frac{11\pi}{8}\cdot\frac{180}{\pi}=-247{,}5^\circ$

---

Bài 1.2: Độ dài cung

Đề: Đường tròn bán kính $R=20$ cm. Tìm độ dài cung có số đo: a) $\frac{\pi}{12}$; b) $1{,}5$; c) $35^\circ$; d) $315^\circ$.

Công thức: $l=R\alpha$ (với $\alpha$ tính bằng rađian).

a) $l=20\cdot\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{5\pi}{3}\approx 5{,}24$ cm

b) $l=20\cdot 1{,}5=30$ cm

c) $35^\circ=\dfrac{7\pi}{36}$ rad nên $l=20\cdot\dfrac{7\pi}{36}=\dfrac{35\pi}{9}\approx 12{,}22$ cm

d) $315^\circ=\dfrac{7\pi}{4}$ rad nên $l=20\cdot\dfrac{7\pi}{4}=35\pi\approx 109{,}96$ cm

---

Bài 1.3: Xác định điểm M

Đưa mỗi góc về khoảng $[0^\circ;360^\circ)$ để biết điểm M nằm ở góc phần tư nào.

a) $\dfrac{2\pi}{3}=120^\circ$ → M ở góc phần tư thứ II.

b) $-\dfrac{11\pi}{4}+4\pi=\dfrac{5\pi}{4}=225^\circ$ → M ở góc phần tư thứ III.

c) $150^\circ$ → M ở góc phần tư thứ II.

d) $-225^\circ+360^\circ=135^\circ$ → M ở góc phần tư thứ II.

---

Bài 1.4: Tính các giá trị lượng giác

Ý tưởng chung: dùng $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, rồi xét dấu theo góc phần tư.

a) $\cos\alpha=\dfrac{1}{5}$, $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ (góc phần tư I, mọi giá trị dương).
$$\sin^2\alpha=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}\Rightarrow \sin\alpha=\frac{2\sqrt6}{5}$$
$$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sqrt6,\qquad \cot\alpha=\frac{1}{2\sqrt6}=\frac{\sqrt6}{12}$$

b) $\sin\alpha=\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ (góc phần tư II, cos âm).
$$\cos^2\alpha=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{3}$$
$$\tan\alpha=-\frac{2}{\sqrt5}=-\frac{2\sqrt5}{5},\qquad \cot\alpha=-\frac{\sqrt5}{2}$$

c) $\tan\alpha=\sqrt5$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư III, sin và cos âm).
$$\cot\alpha=\frac{1}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$$
$$\frac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=6\Rightarrow \cos^2\alpha=\frac{1}{6}\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{\sqrt6}{6}$$
$$\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=\sqrt5\cdot\left(-\frac{\sqrt6}{6}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}$$

d) $\cot\alpha=-\dfrac{1}{\sqrt2}$, $\dfrac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ (góc phần tư IV, sin âm, cos dương).
$$\tan\alpha=-\sqrt2$$
$$\frac{1}{\sin^2\alpha}=1+\cot^2\alpha=\frac{3}{2}\Rightarrow \sin^2\alpha=\frac{2}{3}\Rightarrow \sin\alpha=-\frac{\sqrt6}{3}$$
$$\cos\alpha=\cot\alpha\cdot\sin\alpha=\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(-\frac{\sqrt6}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}$$

---

Bài 1.5: Chứng minh đẳng thức

a) Chứng minh $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=2\cos^2\alpha-1$.

Phân tích hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:
$$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
Thay $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$:
$$=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1 \quad\blacksquare$$

b) Chứng minh $\dfrac{\cos^2\alpha+\tan^2\alpha-1}{\sin^2\alpha}=\tan^2\alpha$.

Biến đổi tử số ($\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha$):
$$\cos^2\alpha+\tan^2\alpha-1=-\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\sin^2\alpha\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}-1\right)=\sin^2\alpha\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$
Vậy:
$$\frac{\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha \quad\blacksquare$$

---

Bài 1.6: Bánh xe đạp

Đề: Bánh xe quay 11 vòng trong 5 giây.

a) Góc quay trong 1 giây.

Mỗi giây bánh xe quay $\dfrac{11}{5}=2{,}2$ vòng. Mỗi vòng là $360^\circ$ hay $2\pi$ rad:
$$\text{Theo độ: } 2{,}2\times 360^\circ=792^\circ$$
$$\text{Theo rađian: } 2{,}2\times 2\pi=4{,}4\pi\approx 13{,}82 \text{ rad}$$

b) Quãng đường trong 1 phút, đường kính bánh xe $d=680$ mm.

Số vòng trong 1 phút (60 giây): $\dfrac{11}{5}\times 60=132$ vòng.

Chu vi bánh xe: $C=\pi d=680\pi$ mm.

Quãng đường:
$$S=132\times 680\pi=89\,760\pi \approx 281\,930 \text{ mm}\approx 281{,}93 \text{ m}$$

Vậy trong 1 phút người đi xe đi được khoảng 281,93 m (gần 0,28 km).