Giải Toán tập 1 trang 124
Lời giải chi tiết SGK Lớp 11 · Môn ToĂ¡n · Trang 124–125
Hai trang này là phần Bài tập cuối chương V (Giới hạn. Hàm số liên tục) của sách Toán 11 tập 1 – Kết nối tri thức với cuộc sống. Trang 123 là phần trắc nghiệm, trang 124 là phần tự luận.
Tóm tắt lý thuyết cần dùng
- Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số tại một điểm và tại vô cực.
- Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \dfrac{u_1}{1-q}$ với $|q|<1$.
- Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ bằng phân tích, nhân liên hợp.
- Hàm số liên tục tại $x_0$ khi $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$.
A – TRẮC NGHIỆM (Trang 123)
Bài 5.18: Giới hạn dãy có căn
Đề: $u_n = \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n}$. Mệnh đề đúng là?
Khi $n\to+\infty$: $\sqrt{n^2+1}$ tăng cỡ $n$, còn $\sqrt{n}$ tăng chậm hơn nhiều, nên hiệu tiến ra $+\infty$.
$$\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$$
Đáp án: C
Bài 5.19: Giới hạn phân thức chứa lũy thừa
Đề: $u_n = \dfrac{2+2^2+\dots+2^n}{2^n}$. Tìm giới hạn.
Tử là tổng cấp số nhân: $2+2^2+\dots+2^n = 2\cdot\dfrac{2^n-1}{2-1} = 2^{n+1}-2$.
$$u_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^n} = 2 - \frac{2}{2^n} \to 2$$
Đáp án: B
Bài 5.20: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Đề: $u_n = \dfrac{2}{3^n}$. Tính tổng cấp số nhân.
Số hạng đầu $u_1 = \dfrac{2}{3}$, công bội $q = \dfrac{1}{3}$ ($|q|<1$).
$$S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{2/3}{1-1/3} = \frac{2/3}{2/3} = 1$$
Đáp án: C
Bài 5.21: Giới hạn hiệu hai căn tại vô cực
Đề: $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x+2}$. Mệnh đề đúng là?
Nhân liên hợp:
$$f(x) = \frac{(x+1)-(x+2)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} \to 0$$
Đáp án: B
Bài 5.22: Giới hạn một bên có dấu giá trị tuyệt đối
Đề: $f(x) = \dfrac{x-x^2}{|x|}$. Tính $\lim\limits_{x\to0^+} f(x)$.
Với $x>0$ thì $|x|=x$:
$$f(x) = \frac{x-x^2}{x} = 1-x \to 1$$
Đáp án: B
Bài 5.23: Tập liên tục của hàm
Đề: $f(x) = \dfrac{x+1}{|x+1|}$. Hàm liên tục trên?
Hàm xác định khi $x+1\neq0$, tức $x\neq -1$. Trên mỗi khoảng nó là thương các hàm liên tục nên liên tục.
$$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$
Đáp án: C
Bài 5.24: Tìm tham số để hàm liên tục
Đề: $f(x)=\dfrac{x^2+x-2}{x-1}$ nếu $x\neq1$, và $f(1)=a$. Liên tục tại $x=1$ khi?
$$\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = \lim_{x\to1}(x+2) = 3$$
Để liên tục: $a = 3$.
Đáp án: B
B – TỰ LUẬN (Trang 124)
Bài 5.25: Kết luận giới hạn từ bất đẳng thức
Đề: Dãy $(u_n)$ thỏa $|u_n - 1| < \dfrac{2}{n}$. Kết luận gì về giới hạn?
Vì $0 \le |u_n - 1| < \dfrac{2}{n}$ và $\dfrac{2}{n} \to 0$, theo nguyên lí kẹp:
$$|u_n - 1| \to 0 \;\Rightarrow\; \lim u_n = 1$$
Bài 5.26: Tìm giới hạn các dãy
a) $u_n = \dfrac{n^2}{3n^2+7n-2}$. Chia cả tử mẫu cho $n^2$:
$$u_n = \frac{1}{3+\frac{7}{n}-\frac{2}{n^2}} \to \frac{1}{3}$$
b) $v_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k+5^k}{6^k} = \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k + \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{5}{6}\right)^k$.
Hai tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
$$\lim v_n = \frac{1}{1-\frac12} + \frac{1}{1-\frac56} = 2 + 6 = 8$$
c) $w_n = \dfrac{\sin n}{4n}$. Vì $|\sin n|\le 1$ nên $0\le \left|w_n\right|\le \dfrac{1}{4n}\to 0$.
$$\lim w_n = 0$$
Bài 5.27: Số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số
a) $1{,}(01) = 1 + 0{,}(01)$. Phần tuần hoàn chu kì 2:
$$0{,}(01) = \frac{01}{99} = \frac{1}{99} \;\Rightarrow\; 1{,}(01) = 1 + \frac{1}{99} = \frac{100}{99}$$
b) $5{,}(132) = 5 + 0{,}(132)$. Chu kì 3:
$$0{,}(132) = \frac{132}{999} = \frac{44}{333} \;\Rightarrow\; 5{,}(132) = 5 + \frac{44}{333} = \frac{1709}{333}$$
Bài 5.28: Tính các giới hạn
a) Nhân liên hợp:
$$\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} = \lim_{x\to7}\frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} = \lim_{x\to7}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3} = \frac{1}{6}$$
b) Phân tích nhân tử:
$$\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x\to1}\frac{x^2+x+1}{x+1} = \frac{3}{2}$$
c) Khi $x\to1$, tử $2-x\to1>0$, mẫu $(1-x)^2\to 0^+$:
$$\lim_{x\to1}\frac{2-x}{(1-x)^2} = +\infty$$
d) Khi $x\to-\infty$ thì $\sqrt{4x^2+1} = |x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$:
$$\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{\sqrt{4x^2+1}} = \lim_{x\to-\infty}\frac{1+\frac{2}{x}}{-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$$
Bài 5.29: Giới hạn một bên
a) Với $x>3$ thì $|x-3| = x-3$:
$$\lim_{x\to3^+}\frac{x^2-9}{|x-3|} = \lim_{x\to3^+}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to3^+}(x+3) = 6$$
b) Khi $x\to1^-$: tử $x\to1>0$, mẫu $\sqrt{1-x}\to 0^+$:
$$\lim_{x\to1^-}\frac{x}{\sqrt{1-x}} = +\infty$$
Bài 5.30: Chứng minh giới hạn không tồn tại
Đề: Chứng minh $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.
- Khi $x\to0^+$ ($x>0$): $\dfrac{|x|}{x} = \dfrac{x}{x} = 1$, nên giới hạn phải $=1$.
- Khi $x\to0^-$ ($x<0$): $\dfrac{|x|}{x} = \dfrac{-x}{x} = -1$, nên giới hạn trái $=-1$.
Hai giới hạn một bên khác nhau $(1\neq -1)$ nên $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{|x|}{x}$ không tồn tại.
Bài 5.31: Giải thích vì sao hàm gián đoạn
a) $f(x)=\dfrac{1}{x}$ nếu $x\neq0$, $f(0)=1$.
$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ không hữu hạn, nên $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ không tồn tại. Vậy $f$ gián đoạn tại $x=0$.
b) $g(x)=1+x$ nếu $x<1$, $g(x)=2-x$ nếu $x\ge1$.
- Giới hạn trái: $\lim\limits_{x\to1^-}(1+x) = 2$.
- Giới hạn phải: $\lim\limits_{x\to1^+}(2-x) = 1$.
Vì $2\neq1$ nên không có giới hạn tại $x=1$, hàm $g$ gián đoạn tại $x=1$.
Bài 5.32: Tính liên tục của lực hấp dẫn
Đề: $F(r) = \dfrac{GMr}{R^3}$ nếu $r Trên mỗi khoảng $(0;R)$ và $(R;+\infty)$, $F$ là hàm sơ cấp nên liên tục. Chỉ cần xét điểm nối $r=R$: Hai giá trị bằng nhau nên $F$ liên tục tại $r=R$. Kết luận: $F(r)$ liên tục trên $(0;+\infty)$. a) $f(x)=\dfrac{\cos x}{x^2+5x+6}$. Mẫu khác 0: $x^2+5x+6\neq0 \Leftrightarrow x\neq-2$ và $x\neq-3$. b) $g(x)=\dfrac{x-2}{\sin x}$. Mẫu khác 0: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x\neq k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$). Đề: $f(x)=x+1$ nếu $x\le a$; $f(x)=x^2$ nếu $x>a$. Tìm $a$ để $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Mỗi nhánh là hàm đa thức nên liên tục. Chỉ cần xét điểm nối $x=a$: Để liên tục cần: $$a+1 = a^2 \;\Leftrightarrow\; a^2 - a - 1 = 0 \;\Leftrightarrow\; a = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$ Vậy $a = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $a = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.Bài 5.33: Tập xác định và tính liên tục
$$D = \mathbb{R}\setminus\{-3;-2\}$$
Tử $\cos x$ và mẫu là đa thức đều liên tục, thương của chúng liên tục trên mỗi khoảng xác định.
$$D = \mathbb{R}\setminus\{k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\}$$
Là thương của hai hàm liên tục nên liên tục trên mỗi khoảng xác định.Bài 5.34: Tìm tham số để hàm liên tục trên ℝ