Giải Toán tập 1 trang 126

Hai trang ảnh em gửi thực ra là trang 125 và 126 của sách. Thầy sẽ tóm tắt lý thuyết và giải đầy đủ các bài tập có trong đó nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Chủ đề: Một vài áp dụng của toán học trong tài chính (gửi tiết kiệm tích luỹ, vay trả góp). Công cụ chính là công thức lãi kép và cấp số nhân.

1. Số tiền của một niên kim (giá trị tương lai)

Niên kim là khoản tiền trả bằng các khoản thanh toán đều đặn (R) với lãi suất i mỗi kì, trả n lần. Số tiền (giá trị tương lai) là:

$$A_f = R + R(1+i) + R(1+i)^2 + \dots + R(1+i)^{n-1}$$

Đây là tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có $a = R$, công bội $r = 1+i$, nên:

$$\boxed{A_f = R\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i}}$$

1. Giá trị hiện tại của một niên kim

100 triệu nhận được trong tương lai có giá trị nhỏ hơn 100 triệu nhận ngay hôm nay, vì tiền hôm nay có thể sinh lãi. Số tiền hôm nay tương đương với khoản tiền tương lai gọi là giá trị hiện tại.

Bài HĐ1: Số tiền của một niên kim

Đề: Bác Lan gửi đều đặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong 5 năm, lãi suất 6% mỗi năm, tính lãi kép hằng tháng.

Lãi suất mỗi tháng (mỗi kì):

$$i = \frac{6\%}{12} = 0,5\% = 0,005$$

a) Số tiền cuối kì thứ nhất và cuối kì thứ hai

Tiền gửi đầu kì 1, đến cuối kì 1 được tính lãi một tháng:

$$A_1 = 10\cdot(1+0,005) = 10\cdot 1,005 = 10,05 \text{ (triệu)}$$

Cuối kì 2: số tiền cũ sinh lãi tiếp, cộng thêm 10 triệu gửi đầu kì 2 cũng sinh lãi một tháng:

$$A_2 = 10\cdot(1,005)^2 + 10\cdot(1,005) = 10,10025 + 10,05 = 20,15025 \text{ (triệu)}$$

b) Số tiền cuối kì thứ n

Khoản gửi đầu tháng thứ k đến cuối tháng thứ n sinh lãi $(n-k+1)$ tháng, nên:

$$A_n = 10(1,005)^n + 10(1,005)^{n-1} + \dots + 10(1,005)$$

Đây là tổng cấp số nhân với số hạng đầu $10(1,005)$, công bội $1,005$, có n số hạng:

$$A_n = 10\cdot 1,005\cdot\frac{(1,005)^n - 1}{0,005} = 2010\big[(1,005)^n - 1\big] \text{ (triệu)}$$

c) Số tiền ngay sau lần thanh toán cuối cùng

5 năm = 60 tháng nên có n = 60 lần gửi. Ngay sau lần gửi cuối cùng (đầu tháng 60), khoản gửi đầu tiên đã sinh lãi 59 tháng, khoản cuối chưa sinh lãi:

$$A_f = 10\big[1 + (1,005) + \dots + (1,005)^{59}\big] = 10\cdot\frac{(1,005)^{60} - 1}{0,005}$$

Với $(1,005)^{60} \approx 1,34885$:

$$A_f \approx 2000\cdot 0,34885 \approx 697,7 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy ngay sau lần gửi cuối cùng tài khoản có khoảng 697 700 000 đồng. Đây chính là công thức trong khung: $A_f = R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ với $R=10$, $i=0,005$, $n=60$.

Bài Vận dụng 1

Đề: Anh Bình cần đầu tư bao nhiêu tiền hằng tháng với lãi suất 9% mỗi năm, tính lãi kép hằng tháng, để có 200 triệu đồng sau hai năm?

Lãi suất mỗi tháng và số kì:

$$i = \frac{9\%}{12} = 0,75\% = 0,0075, \qquad n = 2\times 12 = 24$$

Từ công thức $A_f = R\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$, suy ra số tiền gửi mỗi tháng:

$$R = \frac{A_f\cdot i}{(1+i)^n - 1} = \frac{200\cdot 0,0075}{(1,0075)^{24} - 1}$$

Tính $(1,0075)^{24} \approx 1,19641$ nên mẫu số $\approx 0,19641$:

$$R = \frac{1,5}{0,19641} \approx 7,637 \text{ (triệu đồng)}$$

Vậy mỗi tháng anh Bình cần gửi khoảng 7 637 000 đồng.

Bài HĐ2: Giá trị hiện tại của một số tiền

Đề: Một người gửi tiết kiệm lãi suất không đổi 6% một năm, tính lãi kép hằng quý.

a) Lãi suất i trong mỗi quý và số khoảng thời gian tính lãi trong 5 năm

Một năm có 4 quý nên lãi suất mỗi quý:

$$i = \frac{6\%}{4} = 1,5\% = 0,015$$

Số khoảng thời gian tính lãi (số quý) trong 5 năm:

$$n = 5\times 4 = 20 \text{ (quý)}$$

Lưu ý: các phần b), c) của HĐ2 nằm ở trang 127 (chưa có trong ảnh). Nếu em gửi tiếp ảnh trang 127, thầy sẽ giải nốt cho đầy đủ nhé.