Giải Toán tập 1 trang 18

Hai trang này thuộc Bài 2: Công thức lượng giác. Mình sẽ tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt tất cả hoạt động, ví dụ và bài luyện tập có trên trang nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Bài học giới thiệu bốn nhóm công thức lượng giác cơ bản:

Công thức cộng:
$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$
$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$
$$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$
$$\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b},\qquad \tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$$

Công thức nhân đôi:
$$\sin 2a=2\sin a\cos a$$
$$\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$$
$$\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$$

Bài mở đầu: Sóng âm kết hợp

Đề: Thiết bị nhận tín hiệu $f_1(t)=5\sin t$, phát lại $f_2(t)=5\cos t$. Âm kết hợp $f(t)=f_1(t)+f_2(t)$. Chứng tỏ $f(t)=k\sin(t+\varphi)$ và tìm biên độ $k$, pha ban đầu $\varphi$ với $-\pi\le\varphi\le\pi$.

Lời giải (giải đầy đủ ở Vận dụng 1):
$$f(t)=5\sin t+5\cos t=5(\sin t+\cos t)$$
Dùng Ví dụ 2: $\sin t+\cos t=\sqrt2\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Do đó
$$f(t)=5\sqrt2\,\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$$
Vậy biên độ $k=5\sqrt2$, pha ban đầu $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$.

HĐ1: Nhận biết công thức cộng

a) Cho $a=\dfrac{\pi}{4}$, $b=\dfrac{\pi}{6}$, chứng tỏ $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$.

Ta có $a-b=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}$.

Vế trái: $\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.

Vế phải:
$$\cos\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\sin\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

Hai vế bằng nhau nên đẳng thức đúng.

b) Viết $a+b=a-(-b)$, dùng công thức ở HĐ1a tính $\cos(a+b)$.

$$\cos(a+b)=\cos\big(a-(-b)\big)=\cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b)$$
Vì $\cos(-b)=\cos b$ và $\sin(-b)=-\sin b$:
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$

c) Viết $\sin(a-b)=\cos\!\left[\dfrac{\pi}{2}-(a-b)\right]=\cos\!\left[\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)+b\right]$, dùng kết quả ở HĐ1b tính $\sin(a-b)$.

Áp dụng công thức $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ với $x=\dfrac{\pi}{2}-a$, $y=b$:
$$\sin(a-b)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\cos b-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)\sin b$$
Mà $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=\sin a$ và $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-a\right)=\cos a$, nên:
$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$

Ví dụ 1: Tính không dùng máy tính

a) $\cos 75^\circ$

Tách $75^\circ=45^\circ+30^\circ$:
$$\cos 75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$
$$=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

b) $\tan\dfrac{\pi}{12}$

Tách $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$:
$$\tan\dfrac{\pi}{12}=\tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{3}-\tan\dfrac{\pi}{4}}{1+\tan\dfrac{\pi}{3}\tan\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}$$
Nhân cả tử và mẫu với $(\sqrt3-1)$:
$$=\dfrac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\dfrac{3-2\sqrt3+1}{3-1}=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3$$

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức

Đề: Chứng minh $\sin x+\cos x=\sqrt2\,\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Biến đổi vế phải bằng công thức cộng:
$$\sqrt2\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$$
$$=\sqrt2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\cos x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sin x+\cos x$$
Vậy đẳng thức được chứng minh.

Luyện tập 1

a) Chứng minh $\sin x-\cos x=\sqrt2\,\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Biến đổi vế phải:
$$\sqrt2\sin\!\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\left(\sin x\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos x\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$$
$$=\sqrt2\left(\sin x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sin x-\cos x$$
Đẳng thức được chứng minh.

b) Chứng minh $\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$ với $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ x\ne\dfrac{3\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$.

Dùng công thức $\tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$ với $a=\dfrac{\pi}{4}$, $b=x$:
$$\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{4}-\tan x}{1+\tan\dfrac{\pi}{4}\tan x}=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}$$
(vì $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$). Đẳng thức được chứng minh.

Điều kiện loại trừ là để $\tan x$ xác định ($x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$) và mẫu $1+\tan x\ne0$ tức $\tan x\ne-1$ ($x\ne\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$, hay chính là $-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$).

Vận dụng 1: Giải bài toán mở đầu

Đã trình bày ở phần Bài mở đầu phía trên:
$$f(t)=5\sin t+5\cos t=5\sqrt2\,\sin\!\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$$
Biên độ âm $k=5\sqrt2$, pha ban đầu $\varphi=\dfrac{\pi}{4}$ (thỏa $-\pi\le\varphi\le\pi$).

HĐ2: Xây dựng công thức nhân đôi

Lấy $b=a$ trong các công thức cộng:

Với $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$, cho $b=a$:
$$\sin 2a=\sin a\cos a+\cos a\sin a=2\sin a\cos a$$

Với $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$, cho $b=a$:
$$\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a$$
Dùng $\sin^2a=1-\cos^2a$ hoặc $\cos^2a=1-\sin^2a$ suy ra thêm:
$$\cos 2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$$

Với $\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, cho $b=a$:
$$\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$$

Ví dụ 3: Tính sin2a

Đề: Cho $\cos a=-\dfrac{1}{3}$ với $\dfrac{\pi}{2}

Vì $\dfrac{\pi}{2}0$. Do đó:
$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2a}=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$$
Vậy:
$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot\dfrac{2\sqrt2}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{4\sqrt2}{9}$$

Lưu ý dấu: $\sin 2a<0$ là hợp lý vì $a\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$ kéo theo $2a\in(\pi,2\pi)$, nằm ở vùng có sin có thể âm.

---

Một lưu ý nhỏ: hai ảnh bạn gửi thực tế là trang 17 và 18 (xem số trang ở góc dưới), chứ không phải 18–19. Mình vẫn giữ header theo yêu cầu của bạn, nhưng nếu cần đúng trang 19 thì gửi thêm ảnh nhé.