Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 22

Hai trang này thuộc bài "Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng". Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải chi tiết từng phần nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$:
$$S=\int_a^b |f(x)|\,dx$$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$:
$$S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$$

Chú ý: nếu $f(x)-g(x)$ không đổi dấu trên $[a;b]$ thì có thể đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.

Ví dụ 1: Diện tích giới hạn bởi $y=x^3$

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$.

Trên $[0;2]$ ta có $x^3\ge 0$ nên $|x^3|=x^3$:
$$S=\int_0^2 |x^3|\,dx=\int_0^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2=4-0=4.$$

Đáp số: $S=4$.

Ví dụ 2: Diện tích giới hạn bởi $y=\sin x$

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=2\pi$.

Vì $\sin x$ đổi dấu tại $x=\pi$ (dương trên $[0;\pi]$, âm trên $[\pi;2\pi]$) nên ta tách:
$$S=\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx=\int_0^{\pi}\sin x\,dx+\int_{\pi}^{2\pi}(-\sin x)\,dx$$
$$=\left.-\cos x\right|_0^{\pi}+\left.\cos x\right|_{\pi}^{2\pi}=(1+1)+(1+1)=4.$$

Đáp số: $S=4$.

Luyện tập 1

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0$, $x=3$.

Trên $[0;3]$, $x^2-4=0$ tại $x=2$. Xét dấu:

• Trên $[0;2]$: $x^2-4<0$
• Trên $[2;3]$: $x^2-4>0$

Do đó:
$$S=\int_0^3|x^2-4|\,dx=\int_0^2(4-x^2)\,dx+\int_2^3(x^2-4)\,dx.$$

Tính từng phần:
$$\int_0^2(4-x^2)\,dx=\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.$$
$$\int_2^3(x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3=(9-12)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}.$$

Vậy:
$$S=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}.$$

HĐ2: Nhận biết công thức tính diện tích

Cho $f(x)=-x^2+4x$, $g(x)=x$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$.

a) Tính $S_1$, $S_2$ rồi suy ra $S$.

$S_1$ là diện tích giới hạn bởi parabol $y=-x^2+4x$, trục hoành, $x=1$, $x=3$. Trên $[1;3]$ parabol nằm trên trục hoành nên:
$$S_1=\int_1^3(-x^2+4x)\,dx=\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|_1^3=9-\frac{5}{3}=\frac{22}{3}.$$

$S_2$ là diện tích giới hạn bởi $y=x$, trục hoành, $x=1$, $x=3$:
$$S_2=\int_1^3 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_1^3=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4.$$

Trên $[1;3]$, đồ thị parabol nằm phía trên đường thẳng $y=x$ (vì $f(x)-g(x)=-x^2+3x=x(3-x)>0$), nên:
$$S=S_1-S_2=\frac{22}{3}-4=\frac{10}{3}.$$

b) Tính $\displaystyle\int_1^3|f(x)-g(x)|\,dx$ và so sánh với $S$.

Vì $f(x)-g(x)=-x^2+3x\ge 0$ trên $[1;3]$:
$$\int_1^3|f(x)-g(x)|\,dx=\int_1^3(-x^2+3x)\,dx=\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\right|_1^3=\frac{9}{2}-\frac{7}{6}=\frac{10}{3}.$$

Kết quả này đúng bằng $S$. Đây chính là cơ sở để rút ra công thức:
$$S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

Ví dụ 3: Diện tích giữa hai parabol

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=4-x^2$, $y=x^2$ và hai đường thẳng $x=-1$, $x=1$.

Trên $[-1;1]$, ta có $4-2x^2>0$ nên dấu trị tuyệt đối bỏ được:
$$S=\int_{-1}^1\left|(4-x^2)-x^2\right|\,dx=\int_{-1}^1|4-2x^2|\,dx=\int_{-1}^1(4-2x^2)\,dx$$
$$=\left.\left(4x-\frac{2}{3}x^3\right)\right|_{-1}^1=\frac{20}{3}.$$

Đáp số: $S=\dfrac{20}{3}$.

Ví dụ 4: Diện tích giữa $y=\sin x$ và $y=\cos x$

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sin x$, $y=\cos x$ và hai đường thẳng $x=0$, $x=\dfrac{\pi}{4}$.

Trên $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$ ta có $\cos x\ge\sin x$ nên:
$$S=\int_0^{\frac{\pi}{4}}|\sin x-\cos x|\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)\,dx$$
$$=\left.(\sin x+\cos x)\right|_0^{\frac{\pi}{4}}=\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right)-(0+1)=\sqrt2-1.$$

Đáp số: $S=\sqrt2-1$.

Luyện tập 2

Đề: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$, $y=x-2$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$.

So sánh hai hàm trên $[1;4]$: giải $\sqrt{x}=x-2$. Đặt $t=\sqrt{x}\ge0$ thì $t=t^2-2\Rightarrow t^2-t-2=0\Rightarrow t=2$, tức $x=4$. Trên $[1;4)$ ta có $\sqrt{x}>x-2$ (thử $x=1$: $1>-1$). Vậy $\sqrt{x}\ge x-2$ trên cả đoạn.

$$S=\int_1^4\left[\sqrt{x}-(x-2)\right]\,dx=\int_1^4\left(\sqrt{x}-x+2\right)\,dx$$
$$=\left.\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|_1^4.$$

Tại $x=4$: $\dfrac{2}{3}\cdot8-8+8=\dfrac{16}{3}$.

Tại $x=1$: $\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{13}{6}$.

$$S=\frac{16}{3}-\frac{13}{6}=\frac{32}{6}-\frac{13}{6}=\frac{19}{6}.$$

Đáp số: $S=\dfrac{19}{6}$.

Một lưu ý nhỏ: hai ảnh bạn gửi đánh số trang 20 và 21 ở góc dưới, nhưng mình vẫn để header theo yêu cầu là Trang 22 – 23. Nếu cần khớp số trang thực tế trong ảnh thì báo mình điều chỉnh nhé.