Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 24
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 24–25
Tóm tắt lý thuyết
Hai trang này nằm trong bài "Ứng dụng tích phân", gồm hai ý chính:
- Ứng dụng kinh tế (thặng dư tiêu dùng – thặng dư sản xuất):
- Điểm cân bằng $(x_0; p_0)$ là giao của đồ thị hàm cầu $p = D(x)$ và hàm cung $p = S(x)$.
- Thặng dư tiêu dùng = diện tích phần giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường $p = p_0$ và trục $x = 0$:
$$CS = \int_0^{x_0}\big(D(x) - p_0\big)\,dx.$$
- Thặng dư sản xuất = diện tích phần giới hạn bởi đồ thị hàm cung, đường $p = p_0$ và trục $x = 0$:
$$PS = \int_0^{x_0}\big(p_0 - S(x)\big)\,dx.$$
- Tính thể tích vật thể bằng tích phân:
- Vật thể giới hạn giữa hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b$, mặt cắt vuông góc với $Ox$ tại hoành độ $x$ có diện tích $S(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Khi đó:
$$\boxed{V = \int_a^b S(x)\,dx}$$
Bài Vận dụng 1: Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất
Đề: Hàm cầu $p = -0,36x + 9$ và hàm cung $p = 0,14x + 2$, với $x$ là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất.
Bước 1 – Tìm điểm cân bằng $(x_0; p_0)$:
$$-0,36x + 9 = 0,14x + 2 \;\Rightarrow\; 7 = 0,5x \;\Rightarrow\; x_0 = 14.$$
$$p_0 = 0,14\cdot 14 + 2 = 3,96.$$
Bước 2 – Thặng dư tiêu dùng:
$$
CS = \int_0^{14}\big(-0,36x + 9 - 3,96\big)\,dx
= \int_0^{14}\big(-0,36x + 5,04\big)\,dx
$$
$$
= \Big[-0,18x^2 + 5,04x\Big]_0^{14}
= -0,18\cdot 196 + 5,04\cdot 14
= -35,28 + 70,56 = 35,28.
$$
Bước 3 – Thặng dư sản xuất:
$$
PS = \int_0^{14}\big(3,96 - 0,14x - 2\big)\,dx
= \int_0^{14}\big(1,96 - 0,14x\big)\,dx
$$
$$
= \Big[1,96x - 0,07x^2\Big]_0^{14}
= 27,44 - 0,07\cdot 196
= 27,44 - 13,72 = 13,72.
$$
Kết luận: Thặng dư tiêu dùng $CS = 35,28$ và thặng dư sản xuất $PS = 13,72$ (đơn vị tiền tương ứng).
Bài HĐ3: Nhận biết công thức tính thể tích vật thể
Đề: Xét hình trụ bán kính đáy $R$, trục là $Ox$, nằm giữa hai mặt phẳng $x = a$ và $x = b$ ($a < b$).
a) Tính thể tích $V$ của hình trụ.
b) Tính diện tích mặt cắt $S(x)$ rồi tính $\int_a^b S(x)\,dx$ và so sánh với $V$.
Giải:
a) Hình trụ có bán kính $R$, chiều cao $b - a$ nên:
$$V = \pi R^2 (b - a).$$
b) Cắt hình trụ bằng mặt phẳng vuông góc với $Ox$ tại điểm hoành độ $x$ thì được một hình tròn bán kính $R$ (không đổi). Vậy:
$$S(x) = \pi R^2 \quad (a \le x \le b).$$
$$\int_a^b S(x)\,dx = \int_a^b \pi R^2\,dx = \pi R^2 \cdot x \Big|_a^b = \pi R^2(b - a).$$
So sánh: $\displaystyle\int_a^b S(x)\,dx = \pi R^2(b-a) = V$.
Ý nghĩa: Đây chính là minh chứng cho công thức tổng quát $V = \displaystyle\int_a^b S(x)\,dx$.
Bài Ví dụ 5: Thể tích khối lăng trụ
Đề: Tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.
Giải: Chọn $Ox$ song song với đường cao, hai đáy nằm trên hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = h$. Mọi mặt cắt vuông góc với $Ox$ đều bằng đáy nên $S(x) = S$ (không đổi).
$$V = \int_0^h S(x)\,dx = \int_0^h S\,dx = Sx\Big|_0^h = Sh.$$
Kết quả: $V = Sh$ — đúng công thức quen thuộc của lăng trụ.
Bài Ví dụ 6: Thể tích khối chóp đều đáy hình vuông
Đề: Tính thể tích khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh $L$, chiều cao $h$.
Giải: Chọn $Ox$ đi qua đỉnh $O$ và tâm đáy; đáy nằm tại $x = h$. Mặt cắt tại hoành độ $x$ là hình vuông cạnh $a$.
Theo định lí Thalès:
$$\frac{x}{h} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{L}{2}} = \frac{a}{L} \;\Rightarrow\; a = \frac{L}{h}x.$$
Diện tích mặt cắt:
$$S(x) = a^2 = \frac{L^2}{h^2}x^2.$$
Thể tích:
$$V = \int_0^h \frac{L^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{L^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}\Big|_0^h = \frac{1}{3}L^2 h.$$
Chú ý (SGK): Thể tích khối chóp bất kì $= \dfrac{1}{3}\times$ diện tích đáy $\times$ chiều cao.
Bài Vận dụng 2: Thể tích khối chóp cụt đều
Đề: Tính thể tích khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là $S_0$, $S_1$ và chiều cao $h$. Từ đó suy ra công thức thể tích khối chóp đều có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$.
Giải:
Xem khối chóp cụt là phần của một khối chóp hoàn chỉnh có đỉnh $O$. Chọn $Ox$ đi qua đỉnh và tâm các đáy. Khi đó diện tích mặt cắt tỉ lệ với bình phương khoảng cách tới đỉnh:
$$S(x) = k x^2.$$
Gọi đáy nhỏ ở $x = a$, đáy lớn ở $x = b$ với $b - a = h$:
$$S_0 = k a^2,\qquad S_1 = k b^2 \;\Rightarrow\; a = \frac{\sqrt{S_0}}{\sqrt{k}},\quad b = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{k}}.$$
Từ $b - a = h$:
$$\sqrt{k} = \frac{\sqrt{S_1} - \sqrt{S_0}}{h}.$$
Tính thể tích:
$$V = \int_a^b k x^2\,dx = \frac{k}{3}\big(b^3 - a^3\big) = \frac{k}{3}\cdot\frac{S_1^{3/2} - S_0^{3/2}}{k^{3/2}} = \frac{S_1^{3/2} - S_0^{3/2}}{3\sqrt{k}}.$$
Thay $\sqrt{k}$ và dùng hằng đẳng thức
$$S_1^{3/2} - S_0^{3/2} = \big(\sqrt{S_1}-\sqrt{S_0}\big)\big(S_1 + \sqrt{S_0 S_1} + S_0\big),$$
ta được:
$$
V = \frac{h\big(\sqrt{S_1}-\sqrt{S_0}\big)\big(S_0 + \sqrt{S_0 S_1} + S_1\big)}{3\big(\sqrt{S_1}-\sqrt{S_0}\big)}
= \boxed{\frac{h}{3}\Big(S_0 + S_1 + \sqrt{S_0 S_1}\Big)}.
$$
Suy ra công thức khối chóp đều: Cho $S_0 \to 0$ (đỉnh thu về một điểm) và $S_1 = S$:
$$V = \frac{h}{3}\big(0 + S + 0\big) = \frac{1}{3}Sh.$$
Đúng với công thức thể tích khối chóp đã có ở Ví dụ 6.
Nếu em muốn, mình có thể vẽ thêm sơ đồ minh họa cho thặng dư tiêu dùng/sản xuất ở Vận dụng 1 để dễ hình dung hơn.