Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 20
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 20–21
Hai trang ảnh này tương ứng với trang 18 (phần BÀI TẬP của bài trước) và trang 19 (mở đầu Bài 13). Mình sẽ giải đầy đủ theo nội dung thực tế trên ảnh nhé.
Bài 4.8: Dùng ý nghĩa hình học của tích phân
Ý tưởng: tích phân của hàm không âm chính là diện tích hình phẳng dưới đồ thị.
a) $\displaystyle\int_1^2 (2x+1)\,dx$
Đồ thị $y=2x+1$ là đường thẳng. Trên $[1;2]$ hàm dương, hình phẳng là một hình thang vuông:
- Tại $x=1$: $y=3$
- Tại $x=2$: $y=5$
$$S=\frac{(3+5)\cdot 1}{2}=4$$
Vậy $\displaystyle\int_1^2 (2x+1)\,dx = 4$.
b) $\displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx$
Đặt $y=\sqrt{9-x^2}\Rightarrow x^2+y^2=9,\ y\ge 0$: đây là nửa trên hình tròn tâm $O$, bán kính $R=3$.
$$\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 9=\boxed{\dfrac{9\pi}{2}}$$
Bài 4.9: Tính chất tích phân
Cho $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=5$ và $\displaystyle\int_0^3 g(x)\,dx=2$.
| Câu | Biểu thức | Kết quả |
|---|---|---|
| a) | $\int_0^3 [f(x)+g(x)]\,dx = 5+2$ | $7$ |
| b) | $\int_0^3 [f(x)-g(x)]\,dx = 5-2$ | $3$ |
| c) | $\int_0^3 3f(x)\,dx = 3\cdot 5$ | $15$ |
| d) | $\int_0^3 [2f(x)-3g(x)]\,dx = 2\cdot5-3\cdot2$ | $4$ |
Áp dụng tính chất cộng và nhân hằng số ra ngoài dấu tích phân.
Bài 4.10: Tính các tích phân
a) $\displaystyle\int_0^3 (3x-1)^2\,dx$
$$\int (3x-1)^2\,dx=\frac{(3x-1)^3}{9}$$
$$=\frac{(3\cdot3-1)^3-(3\cdot0-1)^3}{9}=\frac{8^3-(-1)^3}{9}=\frac{512+1}{9}=\frac{513}{9}=57$$
b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(1+\sin x)\,dx$
$$=\Big[x-\cos x\Big]_0^{\pi/2}=\left(\frac{\pi}{2}-0\right)-(0-1)=\frac{\pi}{2}+1$$
c) $\displaystyle\int_0^1 (e^{2x}+3x^2)\,dx$
$$=\left[\frac{e^{2x}}{2}+x^3\right]_0^1=\left(\frac{e^2}{2}+1\right)-\frac12=\frac{e^2+1}{2}$$
d) $\displaystyle\int_{-1}^{2}|2x+1|\,dx$
Ta có $2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac12$, nên tách thành hai đoạn:
$$\int_{-1}^{-1/2}-(2x+1)\,dx+\int_{-1/2}^{2}(2x+1)\,dx$$
- Đoạn 1: $-\big[x^2+x\big]_{-1}^{-1/2}=-\left[\left(\frac14-\frac12\right)-(1-1)\right]=-\left(-\frac14\right)=\frac14$
- Đoạn 2: $\big[x^2+x\big]_{-1/2}^{2}=(4+2)-\left(\frac14-\frac12\right)=6+\frac14=\frac{25}{4}$
$$\text{Tổng}=\frac14+\frac{25}{4}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2}$$
Bài 4.11: Chuyển động với vận tốc $v(t)=t^2-t-6$
a) Độ dịch chuyển trong $1\le t\le 4$:
$$\int_1^4 (t^2-t-6)\,dt=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-6t\right]_1^4$$
- Tại $t=4$: $\dfrac{64}{3}-8-24=-\dfrac{32}{3}$
- Tại $t=1$: $\dfrac13-\dfrac12-6=-\dfrac{37}{6}$
$$=-\frac{32}{3}+\frac{37}{6}=-\frac{27}{6}=-\frac{9}{2}=-4{,}5\ (\text{m})$$
Dấu âm nghĩa là vật dịch chuyển ngược chiều dương, cách điểm xuất phát $4{,}5$ m.
b) Tổng quãng đường: $\displaystyle\int_1^4 |v(t)|\,dt$.
Xét dấu $v(t)=(t-3)(t+2)$: trên $[1;3)$ ta có $v<0$, trên $(3;4]$ ta có $v>0$.
$$\int_1^3 (t^2-t-6)\,dt=-\frac{27}{2}+\frac{37}{6}=-\frac{22}{3}\ \Rightarrow\ \left|\cdot\right|=\frac{22}{3}$$
$$\int_3^4 (t^2-t-6)\,dt=-\frac{32}{3}+\frac{27}{2}=\frac{17}{6}$$
$$\text{Tổng quãng đường}=\frac{22}{3}+\frac{17}{6}=\frac{61}{6}\approx 10{,}17\ (\text{m})$$
Bài 4.12: Lợi nhuận biên $P'(x)=-0{,}0005x+12{,}2$
Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ $a$ lên $b$ là $\displaystyle\int_a^b P'(x)\,dx$, với nguyên hàm $-0{,}00025x^2+12{,}2x$.
a) Từ 100 lên 101:
$$\int_{100}^{101}P'(x)\,dx=-0{,}00025(101^2-100^2)+12{,}2(101-100)$$
$$=-0{,}00025\cdot201+12{,}2=-0{,}05025+12{,}2=12{,}14975\ (\text{triệu đồng})$$
b) Từ 100 lên 110:
$$=-0{,}00025(110^2-100^2)+12{,}2(110-100)$$
$$=-0{,}00025\cdot2100+122=-0{,}525+122=121{,}475\ (\text{triệu đồng})$$
Bài 4.13: Vận tốc dòng máu $v=k(R^2-r^2)$
Vận tốc trung bình theo $r$ trên $[0;R]$:
$$\bar v=\frac{1}{R-0}\int_0^R k(R^2-r^2)\,dr=\frac{k}{R}\left[R^2r-\frac{r^3}{3}\right]_0^R$$
$$=\frac{k}{R}\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{k}{R}\cdot\frac{2R^3}{3}=\frac{2kR^2}{3}$$
Vận tốc lớn nhất đạt tại tâm $r=0$: $v_{\max}=kR^2$.
So sánh:
$$\bar v=\frac{2}{3}v_{\max}$$
Vậy vận tốc trung bình bằng $\dfrac23$ vận tốc lớn nhất.
Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân (Tóm tắt lý thuyết – trang 19)
Phần mở đầu nhắc lại: ở cấp dưới và lớp 11 ta đã biết công thức thể tích nhiều vật thể (lăng trụ, chóp, trụ, nón, cầu...) nhưng phải thừa nhận. Bài này cho phương pháp tổng quát dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể.
Công thức trọng tâm – diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a,\ x=b\ (a $$\boxed{S=\int_a^b |f(x)|\,dx}$$ Hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)=x+1$, trục hoành, $x=-2$ và $x=1$ (Hình 4.12). a) Tính diện tích $S$. Đường thẳng cắt trục hoành tại $x=-1$, chia hình thành hai tam giác vuông: $$S=S_1+S_2=\frac12+2=\frac52$$ b) Tính $\displaystyle\int_{-2}^{1}|f(x)|\,dx$ và so sánh với $S$. $$\int_{-2}^{-1}-(x+1)\,dx+\int_{-1}^{1}(x+1)\,dx$$ $$\int_{-2}^{1}|f(x)|\,dx=\frac12+2=\frac52=S$$ Kết luận: tích phân giá trị tuyệt đối đúng bằng diện tích hình phẳng, khẳng định công thức $S=\int_a^b|f(x)|\,dx$. Mình đã giải hết các bài tập 4.8–4.13 và hoạt động HĐ1 trên hai trang. Một lưu ý nhỏ: số trang in trên ảnh là 18 và 19, hơi khác với "trang 20–21" bạn ghi, nhưng nội dung mình bám sát đúng phần trong ảnh nha.HĐ1: Nhận biết công thức tính diện tích