Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 26

Tóm tắt lý thuyết: Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, không âm trên $[a;b]$. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục hoành, ta được một khối tròn xoay có thể tích:

$$V = \pi \int_a^b f^2(x)\,dx$$

Ý tưởng: mặt cắt vuông góc với $Ox$ tại điểm hoành độ $x$ là hình tròn bán kính $f(x)$, diện tích $S(x)=\pi f^2(x)$. Lấy tích phân diện tích mặt cắt sẽ ra thể tích.

HĐ4: Nhận biết công thức thể tích khối tròn xoay

Xét $f(x)=\dfrac{1}{2}x$, trục hoành, $x=0$, $x=4$, quay quanh $Ox$ tạo khối nón đỉnh $O$, đáy bán kính $2$.

a) Khối nón có bán kính đáy $r=2$, chiều cao $h=4$:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 2^2 \cdot 4 = \frac{16\pi}{3}.$$

b) Mặt cắt tại $x$ có bán kính $f(x)=\dfrac{x}{2}$ nên $S(x)=\pi f^2(x)=\pi\dfrac{x^2}{4}$. Ta tính:

$$\pi\int_0^4 f^2(x)\,dx = \pi\int_0^4 \frac{x^2}{4}\,dx = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_0^4 = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{64}{3} = \frac{16\pi}{3}.$$

Kết quả này đúng bằng $V$, khẳng định công thức $V=\pi\int_a^b f^2(x)\,dx$.

Ví dụ 7 (tham khảo)

Quay hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}$, trục hoành, $x=0$, $x=1$:

$$V = \pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^1 x\,dx = \frac{\pi x^2}{2}\Big|_0^1 = \frac{\pi}{2}.$$

Ví dụ 8 (tham khảo)

Khối cầu bán kính $R$ sinh ra khi quay nửa hình tròn $y=\sqrt{R^2-x^2}$ quanh $Ox$:

$$V = \pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx = \pi\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-R}^{R} = \frac{4}{3}\pi R^3.$$

Vận dụng 3

a) Hình thang vuông $OABC$ với $OA=h$, $AB=R$, $OC=r$ quay quanh $Ox$ tạo khối nón cụt.

Cạnh $CB$ là đường thẳng đi qua $C(0;r)$ và $B(h;R)$, có phương trình:

$$f(x) = r + \frac{R-r}{h}x, \quad 0\le x\le h.$$

Thể tích:

$$V = \pi\int_0^h \left(r+\frac{R-r}{h}x\right)^2 dx.$$

Đặt $a=\dfrac{R-r}{h}$, ta có:

$$V = \pi\cdot\frac{(r+ax)^3}{3a}\Big|_0^h = \pi\cdot\frac{R^3-r^3}{3a} = \frac{\pi h (R^3-r^3)}{3(R-r)} = \boxed{\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)}.$$

Đây chính là công thức thể tích khối nón cụt.

b) Khối nón bán kính đáy $R$, chiều cao $h$ là trường hợp đặc biệt khi $r=0$:

$$V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2+0+0\right) = \frac{1}{3}\pi R^2 h.$$

Bài 4.14: Diện tích hình phẳng tô màu (Hình 4.29)

Hình giới hạn bởi parabol $y=5x-x^2$ và đường thẳng $y=x$.

Tìm giao điểm: $5x-x^2=x \Leftrightarrow 4x-x^2=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=4$ (giao tại $O$ và $(4;4)$).

Trên $[0;4]$ thì $5x-x^2 \ge x$, nên:

$$S = \int_0^4 \big[(5x-x^2)-x\big]\,dx = \int_0^4 (4x-x^2)\,dx = \left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^4 = 32-\frac{64}{3} = \frac{32}{3}.$$

Bài 4.15: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) $y=e^x$, $y=x^2-1$, $x=-1$, $x=1$.

Trên $[-1;1]$ luôn có $e^x > x^2-1$, nên:

$$S = \int_{-1}^{1}\big[e^x-(x^2-1)\big]dx = \int_{-1}^1 e^x\,dx - \int_{-1}^1 (x^2-1)\,dx.$$

• $\int_{-1}^1 e^x\,dx = e - e^{-1}$
• $\int_{-1}^1 (x^2-1)\,dx = \left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_{-1}^1 = -\frac{2}{3}-\frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$

$$S = e - \frac{1}{e} + \frac{4}{3}.$$

b) $y=\sin x$, $y=x$, $x=\dfrac{\pi}{2}$, $x=\pi$.

Trên $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ có $x>\sin x$, nên:

$$S = \int_{\pi/2}^{\pi}(x-\sin x)\,dx = \left(\frac{x^2}{2}+\cos x\right)\Big|_{\pi/2}^{\pi}.$$

• Tại $\pi$: $\dfrac{\pi^2}{2}-1$
• Tại $\dfrac{\pi}{2}$: $\dfrac{\pi^2}{8}+0$

$$S = \frac{\pi^2}{2}-1-\frac{\pi^2}{8} = \frac{3\pi^2}{8}-1.$$

c) $y=9-x^2$, $y=2x^2$, $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

So sánh: $9-x^2 \ge 2x^2 \Leftrightarrow x^2 \le 3$, đúng trên $[-\sqrt3;\sqrt3]$. Dùng tính chẵn:

$$S = \int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(9-3x^2)\,dx = 2\int_0^{\sqrt3}(9-3x^2)\,dx = 2\left(9x-x^3\right)\Big|_0^{\sqrt3} = 2(9\sqrt3-3\sqrt3) = 12\sqrt3.$$

d) $y=\sqrt{x}$, $y=x^2$, $x=0$, $x=1$.

Trên $[0;1]$ có $\sqrt{x}\ge x^2$, nên:

$$S = \int_0^1 (\sqrt{x}-x^2)\,dx = \left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 = \frac{2}{3}-\frac{1}{3} = \frac{1}{3}.$$

Bài 4.16: Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005

Sự bất bình đẳng = diện tích giữa đường bình đẳng $y=x$ và đường Lorenz $y=f(x)$, với $0\le x\le 100$ (đường $y=x$ nằm trên):

$$I = \int_0^{100}\big[x - f(x)\big]\,dx,$$

trong đó $f(x)=(0{,}00061x^2+0{,}0218x+1{,}723)^2$.

Khai triển $f(x)$:

$$f(x) \approx 3{,}721\cdot10^{-7}x^4 + 2{,}66\cdot10^{-5}x^3 + 2{,}577\cdot10^{-3}x^2 + 0{,}07512\,x + 2{,}969.$$

Tính từng phần trên $[0;100]$:

$$\int_0^{100} f(x)\,dx \approx 2940{,}7.$$

Và $\displaystyle\int_0^{100} x\,dx = \frac{100^2}{2} = 5000$.

Do đó:

$$I \approx 5000 - 2940{,}7 = 2059{,}3.$$

Vậy chỉ số bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005 xấp xỉ $\mathbf{2059}$ (đơn vị diện tích). Con số càng lớn thì mức bất bình đẳng càng cao.