Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 28

Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 28–29

Hai trang này thuộc phần cuối Chương IV, gồm các bài tự luận về thể tích khối tròn xoay (4.17 – 4.19) và phần Bài tập cuối chương IV – Trắc nghiệm (4.20 – 4.25).

Công thức cốt lõi cần nhớ:

Thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox: $V = \pi\displaystyle\int_a^b [f(x)]^2\,dx$
Diện tích hình phẳng: $S = \displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$

Bài 4.17: Thể tích khối tròn xoay

Đề: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = 2x - x^2,\ y=0,\ x=0,\ x=2$ quanh trục $Ox$.

Lời giải:

$$V = \pi\int_0^2 (2x-x^2)^2\,dx = \pi\int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)\,dx$$

$$= \pi\left[\frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}\right)$$

Quy đồng mẫu 15:

$$= \pi\cdot\frac{160 - 240 + 96}{15} = \boxed{\dfrac{16\pi}{15}}$$

Bài 4.18: Thể tích khối chỏm cầu

Đề: Khối chỏm cầu bán kính $R$, chiều cao $h\ (0

Lời giải:

$$V = \pi\int_{R-h}^{R}\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2 dx = \pi\int_{R-h}^{R}(R^2 - x^2)\,dx$$

$$= \pi\left[R^2x - \frac{x^3}{3}\right]_{R-h}^{R}$$

Tại $x=R$: $\ R^3 - \dfrac{R^3}{3} = \dfrac{2R^3}{3}$

Tại $x=R-h$: $\ R^2(R-h) - \dfrac{(R-h)^3}{3}$, với $(R-h)^3 = R^3 - 3R^2h + 3Rh^2 - h^3$

Sau khi rút gọn hiệu hai giá trị:

$$V = \pi\left(Rh^2 - \frac{h^3}{3}\right) = \boxed{\dfrac{\pi h^2(3R-h)}{3}}$$

Bài 4.19: Thể tích khối nón sinh bởi tam giác

Đề: Tam giác vuông $OAB$ có $OA=a$ nằm trên $Ox$, góc $\widehat{AOB}=\alpha\ \left(0<\alpha\le\frac{\pi}{4}\right)$, vuông tại $A$. Gọi $\mathcal{B}$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác $OAB$ quanh $Ox$.

a) Tính thể tích $V$ theo $a$ và $\alpha$.

Tam giác vuông tại $A$ nên $AB = OA\cdot\tan\alpha = a\tan\alpha$. Khi quay quanh $Ox$ ta được khối nón đỉnh $O$, bán kính đáy $r = a\tan\alpha$, chiều cao $h = a$.

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (a\tan\alpha)^2\cdot a = \boxed{\dfrac{\pi a^3}{3}\tan^2\alpha}$$

b) Tìm $\alpha$ để $V$ lớn nhất.

Hàm $\tan^2\alpha$ đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi}{4}\right]$ nên $V$ đạt giá trị lớn nhất tại $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ (khi $\tan\alpha=1$):

$$V_{\max} = \dfrac{\pi a^3}{3}$$

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV – A. TRẮC NGHIỆM

Bài 4.20

Đề: Một nguyên hàm của $f(x)=\sin 2x$ là?

$$\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$$

Chọn $C=0$: $F(x) = -\dfrac{1}{2}\cos 2x$. → Đáp án D.

Bài 4.21

Đề: Họ tất cả nguyên hàm của $2e^x$ là?

$$\int 2e^x\,dx = 2e^x + C$$

→ Đáp án D. (Lưu ý phải có hằng số $C$, nên loại C.)

Bài 4.22

Đề: Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)=e^x - 3e^{-x}$ thỏa $F(0)=4$.

$$F(x) = e^x + 3e^{-x} + C$$

Thay $x=0$: $1 + 3 + C = 4 \Rightarrow C = 0$.

$$F(x) = e^x + 3e^{-x}$$

→ Đáp án C.

Bài 4.23

Đề: $f'(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $f(1)=16$, $\displaystyle\int_1^3 f'(x)\,dx = 4$. Tính $f(3)$.

$$\int_1^3 f'(x)\,dx = f(3) - f(1) \Rightarrow f(3) = 16 + 4 = 20$$

→ Đáp án A.

Bài 4.24

Đề: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2-2x,\ y=-x^2+4x$ và $x=0,\ x=3$.

Hiệu hai hàm: $(-x^2+4x)-(x^2-2x) = -2x^2+6x = -2x(x-3)\ge 0$ trên $[0;3]$.

$$S = \int_0^3 (-2x^2+6x)\,dx = \left[-\frac{2x^3}{3}+3x^2\right]_0^3 = -18 + 27 = 9$$

→ Đáp án B.

Bài 4.25

Đề: Cho đồ thị $y=f(x)$ trên $[-2;2]$ (Hình 4.32). Biết $\displaystyle\int_{-2}^{-1}f\,dx = \int_1^2 f\,dx = \frac{-22}{15}$ và $\displaystyle\int_{-1}^{1}f\,dx = \frac{76}{15}$. Tính diện tích phần tô màu.

Phần tô màu gồm cả ba miền: hai phần dưới trục (trên $[-2;-1]$ và $[1;2]$, tích phân âm) và phần hump phía trên trục (trên $[-1;1]$, tích phân dương). Diện tích là tổng các giá trị tuyệt đối:

$$S = \left|\frac{-22}{15}\right| + \frac{76}{15} + \left|\frac{-22}{15}\right| = \frac{22+76+22}{15} = \frac{120}{15} = 8$$