Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 30
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 30–31
🔍 Kiến thức cần nhớ
Nguyên hàm cơ bản
- ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1)
- ∫1/x dx = ln|x| + C
- ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C
- ∫cos(x) dx = sin(x) + C
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫1/sin²x dx = -cot(x) + C
- ∫1/cos²x dx = tan(x) + C
Tích phân và ứng dụng
- Công thức Newton-Leibniz: ∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)
- Thể tích khối tròn xoay: V = π∫[a,b] y² dx
Vận tốc và gia tốc
- v(t) = ∫a(t)dt (vận tốc là nguyên hàm của gia tốc)
- s(t) = ∫v(t)dt (quãng đường là nguyên hàm của vận tốc)
⚙️ Bài tập
Câu 4.26
Đề bài: Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √(1 - x²), trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 1. Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh Ox là
A. 3π/4 B. 3π/2 C. 2π/3 D. 4π/3
Cách 1 — Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay
Bước 1: Xác định công thức thể tích
V = π∫[-1,1] y² dx = π∫[-1,1] (√(1 - x²))² dx = π∫[-1,1] (1 - x²) dx
Bước 2: Tính nguyên hàm
∫(1 - x²) dx = x - x³/3 + C
Bước 3: Áp dụng Newton-Leibniz
V = π[x - x³/3] từ -1 đến 1
V = π[(1 - 1/3) - (-1 - (-1)/3)]
V = π[(1 - 1/3) - (-1 + 1/3)]
V = π[2/3 - (-2/3)]
V = π × 4/3 = 4π/3
Cách 2 — Nhận dạng hình học
Đồ thị y = √(1 - x²) là nửa đường tròn bán kính R = 1 (phần trên trục Ox).
Khi quay quanh Ox, ta được một khối cầu bán kính R = 1.
Thể tích khối cầu: V = 4πR³/3 = 4π(1)³/3 = 4π/3
Đáp án: D. 4π/3
💡 Mẹo nhớ: Đồ thị y = √(r² - x²) là nửa đường tròn. Quay quanh Ox cho khối cầu V = 4πr³/3
Câu 4.27
Đề bài: Một vật chuyển động có gia tốc là a(t) = 3t² + t (m/s²). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2 m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là
A. 8 m/s B. 10 m/s C. 12 m/s D. 16 m/s
Cách 1 — Tìm nguyên hàm của gia tốc
Bước 1: Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc
v(t) = ∫a(t) dt = ∫(3t² + t) dt = t³ + t²/2 + C
Bước 2: Xác định hằng số C từ điều kiện ban đầu
v(0) = 2 m/s
⟹ 0³ + 0²/2 + C = 2
⟹ C = 2
Vậy: v(t) = t³ + t²/2 + 2
Bước 3: Tính vận tốc tại t = 2
v(2) = 2³ + 2²/2 + 2 = 8 + 2 + 2 = 12 m/s
Cách 2 — Sử dụng tích phân xác định
v(2) = v(0) + ∫[0,2] a(t) dt
v(2) = 2 + ∫[0,2] (3t² + t) dt
v(2) = 2 + [t³ + t²/2] từ 0 đến 2
v(2) = 2 + (8 + 2) - 0 = 2 + 10 = 12 m/s
Đáp án: C. 12 m/s
⚠️ Lưu ý thi: Nhớ cộng vận tốc ban đầu v(0) vào kết quả!
Câu 4.28
Đề bài: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y = 2^x - 1/x
Cách 1 — Tách từng phần và áp dụng công thức cơ bản
∫(2^x - 1/x) dx = ∫2^x dx - ∫(1/x) dx
= 2^x/ln(2) - ln|x| + C
Cách 2 — Viết gọn
Áp dụng trực tiếp:
- ∫a^x dx = a^x/ln(a) + C
- ∫1/x dx = ln|x| + C
Đáp án: 2^x/ln(2) - ln|x| + C
b) y = x√x + 3cos(x) - 2/sin²x
Cách 1 — Biến đổi và tính từng phần
Bước 1: Biến đổi x√x = x × x^(1/2) = x^(3/2)
Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần
∫x^(3/2) dx = x^(5/2)/(5/2) = 2x^(5/2)/5
∫3cos(x) dx = 3sin(x)
∫2/sin²x dx = 2∫(1/sin²x) dx = -2cot(x)
Bước 3: Tổng hợp
∫(x√x + 3cos(x) - 2/sin²x) dx = 2x^(5/2)/5 + 3sin(x) + 2cot(x) + C
Cách 2 — Viết dạng khác
2x^(5/2)/5 = 2x²√x/5
Đáp án: 2x²√x/5 + 3sin(x) + 2cot(x) + C
💡 Mẹo nhớ: 1/sin²x có nguyên hàm là -cot(x), còn 1/cos²x có nguyên hàm là tan(x)
Câu 4.29
Đề bài: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2cos(x) + 1/sin²x thỏa mãn điều kiện F(π/4) = -1.
Cách 1 — Tìm nguyên hàm tổng quát rồi xác định hằng số
Bước 1: Tìm họ nguyên hàm
F(x) = ∫(2cos(x) + 1/sin²x) dx = 2sin(x) - cot(x) + C
Bước 2: Xác định C từ điều kiện F(π/4) = -1
F(π/4) = 2sin(π/4) - cot(π/4) + C = -1
= 2 × (√2/2) - 1 + C = -1
= √2 - 1 + C = -1
⟹ C = -√2
Bước 3: Kết luận
Đáp án: F(x) = 2sin(x) - cot(x) - √2
Cách 2 — Kiểm tra lại
F(π/4) = 2 × √2/2 - 1 - √2 = √2 - 1 - √2 = -1 ✓
Câu 4.30
Đề bài: Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30 m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8 m/s². Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.
Cách 1 — Sử dụng nguyên hàm
Bước 1: Gia tốc a(t) = -9,8 m/s² (âm vì hướng xuống)
Bước 2: Tìm vận tốc
v(t) = ∫a(t) dt = ∫(-9,8) dt = -9,8t + C
Bước 3: Xác định C từ v(0) = 30
v(0) = -9,8 × 0 + C = 30 ⟹ C = 30
Vậy: v(t) = -9,8t + 30
Bước 4: Tính v(2)
v(2) = -9,8 × 2 + 30 = -19,6 + 30 = 10,4 m/s
Cách 2 — Công thức vật lý trực tiếp
v = v₀ + at = 30 + (-9,8) × 2 = 30 - 19,6 = 10,4 m/s
Đáp án: v(2) = 10,4 m/s (viên đạn vẫn đang đi lên)
Câu 4.31
Đề bài: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là v(t) = -2t/5 + 4 (km/h). Nếu coi thời điểm ban đầu t = 0 là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?
Cách 1 — Phân tích và tính tích phân
Bước 1: Tìm thời điểm cá dừng lại (v = 0)
v(t) = -2t/5 + 4 = 0
⟹ 2t/5 = 4
⟹ t = 10 (giờ)
Bước 2: Tính quãng đường (tích phân vận tốc)
s = ∫[0,10] v(t) dt = ∫[0,10] (-2t/5 + 4) dt
= [-t²/5 + 4t] từ 0 đến 10
= (-100/5 + 40) - 0
= -20 + 40 = 20 km
Cách 2 — Nhận dạng đồ thị
Đồ thị v(t) = -2t/5 + 4 là đường thẳng:
- v(0) = 4, v(10) = 0
- Quãng đường = diện tích tam giác = (1/2) × đáy × cao = (1/2) × 10 × 4 = 20 km
Đáp án: Khoảng cách xa nhất là 20 km
⚠️ Lưu ý: Sau t = 10h, vận tốc âm nghĩa là cá bị dòng nước đẩy ngược lại
Câu 4.32
Đề bài: Tính các tích phân sau:
a) ∫[1,4] (x³ - 2√x) dx
Cách 1 — Tính trực tiếp
Bước 1: Tìm nguyên hàm
∫(x³ - 2√x) dx = ∫(x³ - 2x^(1/2)) dx = x⁴/4 - 2 × x^(3/2)/(3/2) = x⁴/4 - 4x^(3/2)/3
Bước 2: Áp dụng Newton-Leibniz
= [x⁴/4 - 4x√x/3] từ 1 đến 4
= (256/4 - 4×8/3) - (1/4 - 4/3)
= (64 - 32/3) - (1/4 - 4/3)
= 64 - 32/3 - 1/4 + 4/3
= 64 - 28/3 - 1/4
= 64 - 112/12 - 3/12
= 64 - 115/12
= 768/12 - 115/12 = 653/12
Đáp án: 653/12
b) ∫[0,π/2] (cos(x) - sin(x)) dx
Cách 1 — Tính trực tiếp
∫(cos(x) - sin(x)) dx = sin(x) + cos(x) + C
= [sin(x) + cos(x)] từ 0 đến π/2
= (sin(π/2) + cos(π/2)) - (sin(0) + cos(0))
= (1 + 0) - (0 + 1)
= 1 - 1 = 0
Đáp án: 0
💡 Mẹo: Kết quả = 0 vì diện tích dương và âm triệt tiêu nhau
c) ∫[π/6,π/4] dx/sin²x
Cách 1 — Áp dụng công thức cơ bản
∫1/sin²x dx = -cot(x) + C
= [-cot(x)] từ π/6 đến π/4
= -cot(π/4) - (-cot(π/6))
= -1 + cot(π/6)
= -1 + √3
= √3 - 1
Đáp án: √3 - 1
d) ∫[1,16] (x-1)/√x dx
Cách 1 — Biến đổi rồi tích phân
Bước 1: Biến đổi biểu thức
(x-1)/√x = x/√x - 1/√x = √x - x^(-1/2) = x^(1/2) - x^(-1/2)
Bước 2: Tìm nguyên hàm
∫(x^(1/2) - x^(-1/2)) dx = x^(3/2)/(3/2) - x^(1/2)/(1/2) = 2x^(3/2)/3 - 2x^(1/2)
= 2x√x/3 - 2√x
Bước 3: Áp dụng Newton-Leibniz
= [2x√x/3 - 2√x] từ 1 đến 16
= (2×64/3 - 8) - (2/3 - 2)
= (128/3 - 8) - (2/3 - 2)
= 128/3 - 8 - 2/3 + 2
= 126/3 - 6
= 42 - 6 = 36
Đáp án: 36
Câu 4.33
Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = x, x = 0 và x = 1.
Cách 1 — So sánh và tính tích phân
Bước 1: So sánh hai hàm trên [0,1]
- Tại x = 0: e⁰ = 1 > 0
- Tại x = 1: e¹ ≈ 2,718 > 1
⟹ e^x > x trên [0,1]
Bước 2: Tính diện tích
S = ∫[0,1] (e^x - x) dx
= [e^x - x²/2] từ 0 đến 1
= (e - 1/2) - (1 - 0)
= e - 1/2 - 1
= e - 3/2 (đơn vị diện tích)
Cách 2 — Viết dạng khác
S = e - 1,5 ≈ 2,718 - 1,5 ≈ 1,218
Đáp án: S = e - 3/2 ≈ 1,218 (đơn vị diện tích)
Câu 4.34
Đề bài: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:
a) y = 1 - x², y = 0, x = -1, x = 1
Cách 1 — Công thức thể tích khối tròn xoay
V = π∫[-1,1] y² dx = π∫[-1,1] (1 - x²)² dx
Bước 1: Khai triển (1 - x²)² = 1 - 2x² + x⁴
Bước 2: Tính tích phân
V = π∫[-1,1] (1 - 2x² + x⁴) dx
= π[x - 2x³/3 + x⁵/5] từ -1 đến 1
= π[(1 - 2/3 + 1/5) - (-1 + 2/3 - 1/5)]
= π[(1 - 2/3 + 1/5) + (1 - 2/3 + 1/5)]
= 2π(1 - 2/3 + 1/5)
= 2π(15/15 - 10/15 + 3/15)
= 2π × 8/15 = 16π/15
Đáp án: V = 16π/15
b) y = √(25 - x²), y = 0, x = 2, x = 4
Cách 1 — Công thức thể tích khối tròn xoay
V = π∫[2,4] y² dx = π∫[2,4] (25 - x²) dx
= π[25x - x³/3] từ 2 đến 4
= π[(100 - 64/3) - (50 - 8/3)]
= π[(300/3 - 64/3) - (150/3 - 8/3)]
= π[236/3 - 142/3]
= π × 94/3 = 94π/3
Đáp án: V = 94π/3
Câu 4.35
Đề bài: Nghệ thuật làm gốm có lịch sử phát triển lâu đời và vẫn còn tồn tại cho đến ngày nay. Giả sử một bình gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số y = (1/175)x² + (3/35)x + 5 (0 ≤ x ≤ 30) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoàn thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu cm³ đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1 cm.
Cách 1 — Tính thể tích khối tròn xoay rồi tính vỏ
Bước 1: Tính thể tích bên trong bình (V_trong)
V_trong = π∫[0,30] y² dx với y = (1/175)x² + (3/35)x + 5
Đặt y = (1/175)x² + (3/35)x + 5 = (x² + 15x + 875)/175
Bước 2: Tính y²
y² = [(x² + 15x + 875)/175]² = (x² + 15x + 875)²/30625
Bước 3: Khai triển (x² + 15x + 875)²
= x⁴ + 30x³ + 1975x² + 26250x + 765625
Bước 4: Tính tích phân
V_trong = (π/30625)∫[0,30] (x⁴ + 30x³ + 1975x² + 26250x + 765625) dx
= (π/30625)[x⁵/5 + 30x⁴/4 + 1975x³/3 + 26250x²/2 + 765625x] từ 0 đến 30
Tại x = 30:
- x⁵/5 = 30⁵/5 = 24300000/5 = 4860000
- 30x⁴/4 = 30 × 810000/4 = 6075000
- 1975x³/3 = 1975 × 27000/3 = 17775000
- 26250x²/2 = 26250 × 900/2 = 11812500
- 765625x = 765625 × 30 = 22968750
Tổng = 4860000 + 6075000 + 17775000 + 11812500 + 22968750 = 63491250
V_trong = π × 63491250/30625 = 2073π cm³
Bước 5: Tính thể tích bình gốm (bao gồm vỏ)
Khi độ dày = 1 cm, bán kính ngoài = y + 1
V_ngoài = π∫[0,30] (y + 1)² dx
Tương tự, thể tích đất sét = V_ngoài - V_trong
Cách tính gần đúng: Với vỏ mỏng, thể tích đất sét ≈ 2π∫[0,30] y × 1 dx (diện tích bề mặt × độ dày)
V_đất sét ≈ 2π∫[0,30] [(1/175)x² + (3/35)x + 5] dx
= 2π[(1/525)x³ + (3/70)x² + 5x] từ 0 đến 30
= 2π[(27000/525) + (2700/70) + 150]
= 2π[51.43 + 38.57 + 150]
= 2π × 240 = 480π ≈ 1508 cm³
Đáp án: Cần khoảng 480π ≈ 1508 cm³ đất sét
⚠️ Lưu ý: Bài toán này cần tính chính xác V_ngoài - V_trong để có kết quả chính xác hơn
Trang 29 — Chương V: Phương pháp tọa độ trong không gian
Trang này chủ yếu là lý thuyết mở đầu cho Chương V và Bài 14: Phương trình mặt phẳng
Câu hỏi HĐ1 (Hoạt động 1)
Đề bài: Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến n⃗, giá của vectơ n⃗ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì n⃗ có phương gì?
Trả lời
Cách 1 — Phân tích vật lý
Phản lực pháp tuyến n⃗ luôn vuông góc với bề mặt tiếp xúc.
Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang (song song với mặt đất), thì vectơ n⃗ vuông góc với mặt phẳng ngang.
⟹ Vectơ n⃗ có phương thẳng đứng (theo phương của trọng lực, hướng lên trên)
Cách 2 — Giải thích bằng hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxyz với mặt phẳng Oxy nằm ngang:
- Mặt bàn nằm trong mặt phẳng song song với Oxy
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có phương song song với trục Oz
⟹ n⃗ có phương thẳng đứng (phương của trục Oz)
🎯 Ghi nhớ: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó - Đây là khái niệm quan trọng để viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
🎯 Tổng kết kiến thức trang 28-29: 1. Nguyên hàm: Nắm vững công thức nguyên hàm cơ bản, đặc biệt ∫1/sin²x dx = -cot(x) 2. Tích phân ứng dụng: Tính diện tích, thể tích khối tròn xoay 3. Bài toán vật lý: v(t) = ∫a(t)dt, s(t) = ∫v(t)dt 4. Vectơ pháp tuyến: Vuông góc với mặt phẳng, là cơ sở để viết phương trình mặt phẳng