Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 32

Hai trang này thuộc bài học về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và tích có hướng của hai vectơ (sách in số trang 30–31). Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải hết các bài Luyện tập, HĐ và Vận dụng nhé.

Tóm tắt lý thuyết

Vectơ pháp tuyến (VTPT):

• Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ là VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$.
• Một mặt phẳng được xác định khi biết một điểm và một VTPT.
• Nếu $\vec{n}$ là VTPT thì $k\vec{n}$ (với $k \neq 0$) cũng là VTPT.

Tích có hướng: Với $\vec{u}=(a;b;c)$ và $\vec{v}=(a';b';c')$:
$$[\vec{u},\vec{v}] = \left( bc'-b'c \,;\, ca'-c'a \,;\, ab'-a'b \right)$$

• $[\vec{u},\vec{v}]$ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
• $[\vec{u},\vec{v}] = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương.

Cặp vectơ chỉ phương: Hai vectơ $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương, có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$ thì $[\vec{u},\vec{v}]$ là một VTPT của $(P)$.

---

Bài Luyện tập 1

Đề: Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;-2;3)$, $B(-3;0;1)$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Hãy chỉ ra một VTPT của $(\alpha)$.

Lời giải:

Mặt phẳng trung trực của $AB$ vuông góc với đường thẳng $AB$, nên $\overrightarrow{AB}$ chính là một VTPT.

$$\overrightarrow{AB} = (-3-1\,;\,0-(-2)\,;\,1-3) = (-4\,;\,2\,;\,-2)$$

Vậy một VTPT của $(\alpha)$ là $\vec{n} = (-4;2;-2)$, hay gọn hơn là $\vec{n} = (2;-1;1)$.

---

Bài HĐ2

Đề: Cho $\vec{u}=(a;b;c)$, $\vec{v}=(a';b';c')$ và $\vec{n}=(bc'-b'c\,;\,ca'-c'a\,;\,ab'-a'b)$.

a) $\vec{n}$ có vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không?

Tính tích vô hướng:

$$\vec{n}\cdot\vec{u} = a(bc'-b'c) + b(ca'-c'a) + c(ab'-a'b)$$

$$= abc' - ab'c + bca' - bc'a + cab' - ca'b = 0$$

Tương tự $\vec{n}\cdot\vec{v} = 0$. Vậy $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$.

b) $\vec{n}=\vec{0}$ khi nào?

$\vec{n}=\vec{0}$ khi cả ba tọa độ bằng 0, tức $\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.

---

Bài Luyện tập 2

Đề: Cho $\vec{u}=(2;3;1)$ và $\vec{v}=(4;6;2)$. Tính $[\vec{u},\vec{v}]$.

Lời giải:

$$[\vec{u},\vec{v}] = (3\cdot2 - 6\cdot1\,;\,1\cdot4 - 2\cdot2\,;\,2\cdot6 - 4\cdot3)$$
$$= (6-6\,;\,4-4\,;\,12-12) = (0;0;0) = \vec{0}$$

Kết quả là $\vec{0}$ vì $\vec{v}=2\vec{u}$, tức hai vectơ cùng phương.

---

Bài HĐ3

Đề: Cho $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương, có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$.

a) $[\vec{u},\vec{v}]$ có khác $\vec{0}$ và vuông góc với cả hai giá không?

Vì $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương nên $[\vec{u},\vec{v}] \neq \vec{0}$. Theo tính chất tích có hướng, nó vuông góc với cả $\vec{u}$ và $\vec{v}$, tức vuông góc với cả hai giá của chúng.

b) $(P)$ có nhận $[\vec{u},\vec{v}]$ làm VTPT không?

Có. Do $[\vec{u},\vec{v}]$ vuông góc với hai giá nằm trong (hoặc song song với) $(P)$, nó vuông góc với $(P)$, nên là một VTPT của $(P)$.

---

Bài Luyện tập 3

Đề: Cho ba điểm không thẳng hàng $A(1;-2;1)$, $B(-2;1;0)$, $C(-2;3;2)$. Hãy chỉ ra một VTPT của mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

Hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
$$\overrightarrow{AB} = (-3\,;\,3\,;\,-1), \qquad \overrightarrow{AC} = (-3\,;\,5\,;\,1)$$

VTPT là tích có hướng:
$$\vec{n} = [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$$

$$= \big(3\cdot1 - (-1)\cdot5\,;\,(-1)\cdot(-3) - (-3)\cdot1\,;\,(-3)\cdot5 - 3\cdot(-3)\big)$$
$$= (3+5\,;\,3+3\,;\,-15+9) = (8\,;\,6\,;\,-6)$$

Vậy một VTPT của $(ABC)$ là $\vec{n}=(8;6;-6)$, hay gọn hơn $(4;3;-3)$.

---

Bài Vận dụng 1

Đề: Moment lực $\vec{M}=[\overrightarrow{OP},\vec{F}]$.

a) Cho $\overrightarrow{OP}=(x;y;z)$, $\vec{F}=(a;b;c)$. Tính $\vec{M}$.

$$\vec{M} = [\overrightarrow{OP},\vec{F}] = (yc - zb\,;\,za - xc\,;\,xb - ya)$$

b) Giải thích vì sao khi $\overrightarrow{OP'}=2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực tăng gấp đôi.

Khi giữ nguyên lực $\vec{F}$ và đổi vị trí đặt lực sao cho $\overrightarrow{OP'}=2\overrightarrow{OP}$:
$$\vec{M'} = [\overrightarrow{OP'},\vec{F}] = [2\overrightarrow{OP},\vec{F}] = 2[\overrightarrow{OP},\vec{F}] = 2\vec{M}$$

(do tích có hướng có tính chất $[k\vec{u},\vec{v}]=k[\vec{u},\vec{v}]$).

Vậy moment lực tăng gấp đôi.

Điều rút ra: với cùng một lực tác động, nếu đặt lực càng xa con ốc (cánh tay đòn càng dài) thì moment lực càng lớn. Do đó khi vặn ốc, ta nên cầm ở đầu xa của cán mỏ lết để đỡ tốn sức.

---

Nếu em muốn mình giải lại Ví dụ 1, 2, 3 chi tiết hơn (sách đã có lời giải sẵn) thì nói nhé, mình sẽ phân tích từng bước cho dễ hiểu.