Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 34

(Ghi chú nhỏ: số trang in trên ảnh là 32 và 33, mình lấy theo đúng ảnh nhé.)

Hai trang này thuộc bài học về phương trình mặt phẳng. Mình tóm tắt lý thuyết rồi giải lần lượt các hoạt động (HĐ), ví dụ và luyện tập.

Tóm tắt lý thuyết

Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

$$Ax + By + Cz + D = 0 \quad (A, B, C \text{ không đồng thời bằng } 0)$$

• Vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = (A; B; C)$.
• Mặt phẳng đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ với pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$ có phương trình:

$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$

• Khi biết cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}, \vec{v}$: lấy $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$ (tích có hướng) rồi viết phương trình như trên.

---

HĐ4: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát

Cho $(\alpha)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$, đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$.

a) Điểm $M(x;y;z)$ thuộc $(\alpha)$ khi và chỉ khi $\vec{n} \perp \overrightarrow{M_0M}$, tức là:
$$\vec{n} \cdot \overrightarrow{M_0M} = 0$$

b) Ta có $\overrightarrow{M_0M} = (x-x_0;\, y-y_0;\, z-z_0)$. Từ điều kiện tích vô hướng bằng 0:

$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$

Đây chính là gốc dẫn tới phương trình tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$.

---

Ví dụ 4 (lời giải có sẵn trong sách)

Chỉ có phương trình c) $y+1=0$ là phương trình mặt phẳng (dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=0, B=1, C=0$).

• a) có $z^2$ → không phải bậc nhất.
• b) có $\frac{1}{x},\frac{2}{y},\frac{3}{z}$ → không phải dạng tổng quát.

---

Luyện tập 4

Phương trình nào là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Đáp án: chỉ b) là phương trình mặt phẳng.

---

Ví dụ 5 (lời giải có sẵn trong sách)

Cho $(\alpha): x+2y-z+1=0$.

• a) Một pháp tuyến: $\vec{n}=(1;2;-1)$.
• b) $\vec{m}=(2;4;-2)=2\vec{n}$ nên $\vec{m}$ cũng là pháp tuyến.
• c) Thay tọa độ: với $A(1;3;2)$ thì $1+6-2+1=6\neq0$ → A không thuộc; với $B(1;1;4)$ thì $1+2-4+1=0$ → B thuộc $(\alpha)$.

---

Luyện tập 5

Cho $(\alpha): x+2=0$.

a) Xét $A(-2;1;0)$: thay vào ta được $-2+2=0$ (đúng).

→ Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$.

b) Viết lại $(\alpha): 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 2 = 0$, nên một vectơ pháp tuyến là:
$$\vec{n} = (1; 0; 0)$$

---

HĐ5: Lập phương trình khi biết điểm và pháp tuyến

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ với $\vec{n}=(A;B;C)$ có phương trình:
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \Leftrightarrow Ax+By+Cz+D=0$$
với $D = -(Ax_0+By_0+Cz_0)$.

---

Ví dụ 6 (lời giải có sẵn trong sách)

Qua $M(2;-1;0)$, pháp tuyến $\vec{n}=(3;-4;6)$:
$$3(x-2)-4(y+1)+6(z-0)=0 \Leftrightarrow 3x-4y+6z-10=0$$

---

Luyện tập 6

Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M(1;2;-4)$ và vuông góc với trục $Oz$.

Vì $(\alpha)\perp Oz$ nên $(\alpha)$ nhận vectơ chỉ phương của $Oz$ làm pháp tuyến:
$$\vec{n} = \vec{k} = (0;0;1)$$

Phương trình qua $M(1;2;-4)$:
$$0(x-1)+0(y-2)+1(z+4)=0 \Leftrightarrow z+4=0$$

---

HĐ6: Lập phương trình khi biết cặp vectơ chỉ phương

Cho $(\alpha)$ qua $M(x_0;y_0;z_0)$, có cặp chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$, $\vec{v}=(a';b';c')$.

a) Vì $\vec{u}, \vec{v}$ là cặp chỉ phương (không cùng phương) nằm trong $(\alpha)$, nên một pháp tuyến là tích có hướng:
$$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$$

b) Có $\vec{n}$ và điểm $M$, viết phương trình theo công thức HĐ5:
$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

Tóm lại quy trình: tìm $\vec{n}=[\vec{u},\vec{v}]$ → lập phương trình tổng quát qua $M$.

---

Ví dụ 7

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ với $A(1;2;3)$, $B(4;3;5)$, $C(2;3;2)$, $A'(1;1;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(A'B'C')$.

(Đề ở cuối trang 33, lời giải tiếp ở trang sau. Mình giải sẵn nhé.)

Trong lăng trụ, các cạnh bên bằng và song song: $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}$.

$$\overrightarrow{AA'} = A'-A = (0;-1;-2)$$

Suy ra:

$$B' = B + \overrightarrow{AA'} = (4;2;3), \qquad C' = C + \overrightarrow{AA'} = (2;2;0)$$

Cặp chỉ phương của mặt phẳng $(A'B'C')$:
$$\overrightarrow{A'B'} = (3;1;2), \qquad \overrightarrow{A'C'} = (1;1;-1)$$

Pháp tuyến:
$$\vec{n} = [\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-3; 5; 2)$$

Chi tiết:

• $n_x = 1\cdot(-1) - 2\cdot1 = -3$
• $n_y = -(3\cdot(-1) - 2\cdot1) = 5$
• $n_z = 3\cdot1 - 1\cdot1 = 2$

Phương trình qua $A'(1;1;1)$:
$$-3(x-1)+5(y-1)+2(z-1)=0 \Leftrightarrow 3x-5y-2z+4=0$$

Vậy mặt phẳng $(A'B'C'): \ 3x-5y-2z+4=0$.

---

Tất cả bài tập trên hai trang đã giải xong. Phần các Ví dụ đã có lời giải sẵn trong sách, mình giữ lại để bạn đối chiếu; còn HĐ, Luyện tập và Ví dụ 7 mình giải chi tiết. Nếu bạn muốn mình giải kỹ thêm phần tích có hướng ở HĐ6 thì cứ nói nhé.