Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 36

🔍 Kiến thức cần nhớ

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, để lập phương trình mặt phẳng (ABC):

1. Tìm cặp vectơ chỉ phương: AB, AC
2. Tìm vectơ pháp tuyến: n = [AB, AC] (tích có hướng)
3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua A với vectơ pháp tuyến n

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c ≠ 0 có phương trình:

x/a + y/b + z/c = 1

Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng n và n' vuông góc, tức là: n · n' = 0

---

⚙️ Bài tập

---

Luyện tập 7

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Cách 1 — Phương pháp tìm vectơ pháp tuyến

Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương

• Trục Oy có vectơ chỉ phương j = (0; 1; 0)
• Vectơ chỉ phương của BC:

BC = C − B = (2 − 4; 3 − 1; 1 − 2) = (−2; 2; −1)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)

Mặt phẳng (α) song song với cả j và BC nên vectơ pháp tuyến n vuông góc với cả hai vectơ này.

n = [j, BC] = [(0; 1; 0), (−2; 2; −1)]

Tính tích có hướng:

• n₁ = 1 × (−1) − 0 × 2 = −1
• n₂ = 0 × (−2) − 0 × (−1) = 0
• n₃ = 0 × 2 − 1 × (−2) = 2

Vậy n = (−1; 0; 2) hay có thể lấy n = (1; 0; −2)

Bước 3: Lập phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng (α) đi qua A(1; −2; −1) và có vectơ pháp tuyến n = (1; 0; −2):

1(x − 1) + 0(y + 2) − 2(z + 1) = 0

⟺ x − 1 − 2z − 2 = 0

⟺ x − 2z − 3 = 0

Cách 2 — Phương pháp đặt ẩn trực tiếp

Mặt phẳng (α) song song với Oy nên phương trình có dạng: Ax + Cz + D = 0 (hệ số của y bằng 0)

Điều kiện 1: (α) đi qua A(1; −2; −1):

A(1) + C(−1) + D = 0 ⟺ A − C + D = 0 ... (1)

Điều kiện 2: (α) song song với BC, tức BC = (−2; 2; −1) là vectơ chỉ phương của (α):

n · BC = 0 ⟺ A(−2) + C(−1) = 0 ⟺ −2A − C = 0 ⟺ C = −2A ... (2)

Từ (2) thay vào (1): A − (−2A) + D = 0 ⟺ 3A + D = 0 ⟺ D = −3A

Chọn A = 1 ⟹ C = −2, D = −3

Phương trình mặt phẳng: x − 2z − 3 = 0

💡 Mẹo nhớ: Mặt phẳng song song với trục Oy thì hệ số của y trong phương trình bằng 0.

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài mặt phẳng song song với đường thẳng/trục tọa độ rất hay gặp. Nhớ rằng song song với đường nào thì vectơ chỉ phương của đường đó nằm trong mặt phẳng.

---

H07 — Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng: A(1; 2; 3), B(−1; 3; 4), C(2; −1; 2).

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Câu a)

Cách 1 — Sử dụng vectơ AB và AC

Tính các vectơ:

• AB = B − A = (−1 − 1; 3 − 2; 4 − 3) = (−2; 1; 1)
• AC = C − A = (2 − 1; −1 − 2; 2 − 3) = (1; −3; −1)

Đáp án: Một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) là AB = (−2; 1; 1) và AC = (1; −3; −1)

Cách 2 — Sử dụng các cặp vectơ khác

Ta cũng có thể chọn:

• AB = (−2; 1; 1) và BC = C − B = (3; −4; −2)
• Hoặc AC = (1; −3; −1) và BC = (3; −4; −2)

Câu b)

Cách 1 — Dùng tích có hướng

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến

n = [AB, AC] = [(−2; 1; 1), (1; −3; −1)]

Tính:

• n₁ = 1 × (−1) − 1 × (−3) = −1 + 3 = 2
• n₂ = 1 × 1 − (−2) × (−1) = 1 − 2 = −1
• n₃ = (−2) × (−3) − 1 × 1 = 6 − 1 = 5

Vậy n = (2; −1; 5)

Bước 2: Lập phương trình

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 2; 3) với n = (2; −1; 5):

2(x − 1) − 1(y − 2) + 5(z − 3) = 0

⟺ 2x − 2 − y + 2 + 5z − 15 = 0

⟺ 2x − y + 5z − 15 = 0

Cách 2 — Phương pháp hệ số bất định

Giả sử phương trình mặt phẳng (ABC): ax + by + cz + d = 0

Ba điểm A, B, C thuộc mặt phẳng nên:

• a + 2b + 3c + d = 0 ... (1)
• −a + 3b + 4c + d = 0 ... (2)
• 2a − b + 2c + d = 0 ... (3)

Từ (1) − (2): 2a − b − c = 0 ⟺ b = 2a − c ... (4)

Từ (1) − (3): −a + 3b + c = 0 ... (5)

Thay (4) vào (5): −a + 3(2a − c) + c = 0 ⟺ −a + 6a − 3c + c = 0 ⟺ 5a = 2c ⟺ c = 5a/2

Chọn a = 2 ⟹ c = 5, b = 2(2) − 5 = −1

Từ (1): 2 + 2(−1) + 3(5) + d = 0 ⟺ 2 − 2 + 15 + d = 0 ⟺ d = −15

Phương trình: 2x − y + 5z − 15 = 0

💡 Mẹo nhớ: Công thức tích có hướng [u, v] với u = (u₁; u₂; u₃), v = (v₁; v₂; v₃): n₁ = u₂v₃ − u₃v₂, n₂ = u₃v₁ − u₁v₃, n₃ = u₁v₂ − u₂v₁

---

Luyện tập 8

Đề bài: (H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c ≠ 0.

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình: x/a + y/b + z/c = 1

Cách 1 — Lập phương trình từ vectơ pháp tuyến

Bước 1: Tìm các vectơ chỉ phương

• AB = B − A = (0 − a; b − 0; 0 − 0) = (−a; b; 0)
• AC = C − A = (0 − a; 0 − 0; c − 0) = (−a; 0; c)

Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến

n = [AB, AC] = [(−a; b; 0), (−a; 0; c)]

Tính:

• n₁ = b × c − 0 × 0 = bc
• n₂ = 0 × (−a) − (−a) × c = ac
• n₃ = (−a) × 0 − b × (−a) = ab

Vậy n = (bc; ac; ab)

Bước 3: Lập phương trình

Mặt phẳng (α) đi qua A(a; 0; 0) với n = (bc; ac; ab):

bc(x − a) + ac(y − 0) + ab(z − 0) = 0

⟺ bcx − abc + acy + abz = 0

⟺ bcx + acy + abz = abc

Chia cả hai vế cho abc (với abc ≠ 0):

x/a + y/b + z/c = 1 ✓ (đpcm)

Cách 2 — Kiểm tra trực tiếp

Xét phương trình x/a + y/b + z/c = 1

Kiểm tra:

• Điểm A(a; 0; 0): a/a + 0/b + 0/c = 1 ✓
• Điểm B(0; b; 0): 0/a + b/b + 0/c = 1 ✓
• Điểm C(0; 0; c): 0/a + 0/b + c/c = 1 ✓

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng (do nằm trên ba trục khác nhau với a, b, c ≠ 0).

Theo định lý, qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.

Vậy phương trình mặt phẳng (α) là x/a + y/b + z/c = 1 ✓ (đpcm)

💡 Mẹo nhớ: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn rất tiện khi biết các giao điểm với trục tọa độ. Dễ nhớ: mẫu số là hoành độ/tung độ/cao độ của giao điểm tương ứng.

⚠️ Lưu ý thi: Điều kiện a, b, c ≠ 0 rất quan trọng! Nếu một trong các giá trị bằng 0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.

---

Vận dụng 2

Đề bài: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí M₁, M₂, M₃ của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, t = π/2, t = π.

b) Chứng minh rằng M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃).

c) Vị trí M(cost − sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) hay không?

Câu a)

Giả sử vị trí của vật tại thời điểm t là M(cost − sint; cost + sint; cost)

Với t = 0:

• x = cos0 − sin0 = 1 − 0 = 1
• y = cos0 + sin0 = 1 + 0 = 1
• z = cos0 = 1

⟹ M₁(1; 1; 1)

Với t = π/2:

• x = cos(π/2) − sin(π/2) = 0 − 1 = −1
• y = cos(π/2) + sin(π/2) = 0 + 1 = 1
• z = cos(π/2) = 0

⟹ M₂(−1; 1; 0)

Với t = π:

• x = cosπ − sinπ = −1 − 0 = −1
• y = cosπ + sinπ = −1 + 0 = −1
• z = cosπ = −1

⟹ M₃(−1; −1; −1)

Câu b)

Phần 1: Chứng minh M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng

Tính các vectơ:

• M₁M₂ = M₂ − M₁ = (−1 − 1; 1 − 1; 0 − 1) = (−2; 0; −1)
• M₁M₃ = M₃ − M₁ = (−1 − 1; −1 − 1; −1 − 1) = (−2; −2; −2)

Kiểm tra xem M₁M₂ và M₁M₃ có cùng phương không:

Nếu cùng phương thì tồn tại k sao cho M₁M₃ = k × M₁M₂

(−2; −2; −2) = k(−2; 0; −1)

• Từ thành phần x: −2 = −2k ⟹ k = 1
• Từ thành phần y: −2 = 0 × k = 0 (vô lý!)

⟹ M₁M₂ và M₁M₃ không cùng phương

⟹ M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng ✓ (đpcm)

Phần 2: Viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃)

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến

n = [M₁M₂, M₁M₃] = [(−2; 0; −1), (−2; −2; −2)]

Tính:

• n₁ = 0 × (−2) − (−1) × (−2) = 0 − 2 = −2
• n₂ = (−1) × (−2) − (−2) × (−2) = 2 − 4 = −2
• n₃ = (−2) × (−2) − 0 × (−2) = 4 − 0 = 4

Vậy n = (−2; −2; 4) hay n = (1; 1; −2)

Bước 2: Lập phương trình

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) đi qua M₁(1; 1; 1) với n = (1; 1; −2):

1(x − 1) + 1(y − 1) − 2(z − 1) = 0

⟺ x − 1 + y − 1 − 2z + 2 = 0

⟺ x + y − 2z = 0

Câu c)

Cách 1 — Thay trực tiếp vào phương trình

Điểm M(cost − sint; cost + sint; cost) thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) khi và chỉ khi thỏa mãn phương trình x + y − 2z = 0.

Thay tọa độ M vào:

(cost − sint) + (cost + sint) − 2(cost)

= cost − sint + cost + sint − 2cost
= 2cost − 2cost

= 0 ✓

Vậy với mọi giá trị của t, biểu thức luôn bằng 0.

Kết luận: Vị trí M(cost − sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) với mọi t.

Cách 2 — Kiểm tra bằng nhận xét

Ta có x + y = (cost − sint) + (cost + sint) = 2cost = 2z

⟹ x + y − 2z = 0 luôn đúng với mọi t.

Vậy M luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃).

⚠️ Lưu ý thi: Dạng bài kiểm tra điểm có thuộc mặt phẳng hay không rất hay gặp. Chỉ cần thay tọa độ vào phương trình và kiểm tra.

---

H08 — Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

• (α): Ax + By + Cz + D = 0, với vectơ pháp tuyến n = (A; B; C)
• (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với vectơ pháp tuyến n' = (A'; B'; C')

a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai giá của n, n' có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng n, n' có mối quan hệ gì?

Câu a)

Trả lời:

Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) bằng góc giữa hai đường thẳng bất kỳ vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Mà vectơ pháp tuyến n vuông góc với mặt phẳng (α), vectơ pháp tuyến n' vuông góc với mặt phẳng (β).

Do đó: Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) bằng góc giữa hai giá của vectơ pháp tuyến n và n' (hoặc bằng góc bù của nó, tùy vào cách xét).

Cụ thể, nếu gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng và θ là góc giữa hai vectơ pháp tuyến thì:

• φ = θ (nếu 0° ≤ θ ≤ 90°)
• φ = 180° − θ (nếu 90° < θ ≤ 180°)

Hay viết gọn: cos φ = |cos θ| = |n · n'| / (|n| × |n'|)

Câu b)

Trả lời:

Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90°.

⟺ Góc giữa n và n' bằng 90° (hoặc 90°)

⟺ Hai vectơ pháp tuyến n và n' vuông góc với nhau

⟺ n · n' = 0

⟺ AA' + BB' + CC' = 0

💡 Mẹo nhớ: Hai mặt phẳng vuông góc ⟺ Tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến = 0

⚠️ Lưu ý thi: Điều kiện AA' + BB' + CC' = 0 cực kỳ quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài thi. Nhớ phân biệt với điều kiện song song (các hệ số tỉ lệ).

---

🎯 Ghi nhớ

1. Phương trình mặt phẳng qua 3 điểm: Dùng tích có hướng [AB, AC] để tìm vectơ pháp tuyến.

1. Phương trình theo đoạn chắn: x/a + y/b + z/c = 1 khi mặt phẳng cắt các trục tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c).

1. Mặt phẳng song song với đường thẳng: Vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

1. Hai mặt phẳng vuông góc: AA' + BB' + CC' = 0 (tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0).

1. Công thức tích có hướng: Với u = (u₁; u₂; u₃), v = (v₁; v₂; v₃):

[u, v] = (u₂v₃ − u₃v₂; u₃v₁ − u₁v₃; u₁v₂ − u₂v₁)