Giải Toàn 12 - Tập Hai trang 38

Một lưu ý nhỏ trước khi bắt đầu: hai trang ảnh bạn gửi thực ra được đánh số 36 và 37 ở góc dưới (thuộc bài "Phương trình mặt phẳng", phần điều kiện vuông góc và song song của hai mặt phẳng). Mình giải đúng theo nội dung trong ảnh nhé.

---

Tóm tắt lý thuyết

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng:
$$(\alpha): Ax+By+Cz+D=0,\quad (\beta): A'x+B'y+C'z+D'=0$$
với hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$, $\vec{n'}=(A';B';C')$.

Điều kiện vuông góc:
$$(\alpha)\perp(\beta)\Leftrightarrow \vec{n}\perp\vec{n'}\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0$$

Điều kiện song song:
$$(\alpha)\parallel(\beta)\Leftrightarrow \begin{cases}\vec{n'}=k\vec{n}\\ D'\neq kD\end{cases}\text{ với } k \text{ nào đó}$$

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại $k\neq 0$ sao cho $A'=kA,\ B'=kB,\ C'=kC,\ D'=kD$.

---

Bài 1: Luyện tập 9

Đề: Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng sau có vuông góc với nhau hay không?
$$(\alpha): 3x+y-z+1=0,\quad (\beta): 9x+3y-3z+3=0$$

Lời giải:

Hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n}=(3;1;-1)$ và $\vec{n'}=(9;3;-3)$.

Tính tích vô hướng:
$$\vec{n}\cdot\vec{n'}=3\cdot9+1\cdot3+(-1)\cdot(-3)=27+3+3=33\neq 0$$

Vì $\vec{n}\cdot\vec{n'}\neq 0$ nên $\vec{n}$ không vuông góc $\vec{n'}$.

Kết luận: Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ không vuông góc với nhau.

(Quan sát thêm: $\vec{n'}=3\vec{n}$ và $D'=3=3D$, nên thực ra hai mặt phẳng này trùng nhau.)

---

Bài 2: Vận dụng 3

Đề: Sàn của một căn phòng là hình tứ giác với bốn đỉnh $O(0;0;0)$, $A(2;0;0)$, $B(2;3;0)$, $C(0;2\sqrt{2};0)$. Bốn bức tường đều vuông góc với sàn.

• a) Viết phương trình bốn mặt phẳng chứa bốn bức tường.
• b) Chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

Sàn nhà nằm trong mặt phẳng $Oxy$, tức $z=0$. Mỗi bức tường là mặt phẳng vuông góc với sàn nên có giá song song với $\vec{k}=(0;0;1)$, đồng thời chứa một cạnh của tứ giác.

a) Phương trình bốn mặt phẳng

Mặt phẳng $(OA)$ chứa cạnh $OA$ (hướng $(1;0;0)$) và $\vec{k}=(0;0;1)$:
$$\vec{n}=(1;0;0)\times(0;0;1)=(0;-1;0)\Rightarrow (OA): y=0$$

Mặt phẳng $(AB)$ chứa cạnh $AB$ (hướng $(0;1;0)$) và $\vec{k}$:
$$\vec{n}=(0;1;0)\times(0;0;1)=(1;0;0)\Rightarrow (AB): x=2$$

Mặt phẳng $(BC)$ chứa cạnh $BC$ với $\overrightarrow{BC}=(-2;\,2\sqrt2-3;\,0)$ và $\vec{k}$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times\vec{k}=(2\sqrt2-3;\,2;\,0)$$
Đi qua $B(2;3;0)$:
$$(2\sqrt2-3)(x-2)+2(y-3)=0\Leftrightarrow (2\sqrt2-3)x+2y-4\sqrt2=0$$

Mặt phẳng $(CO)$ chứa cạnh $CO$ (hướng $(0;1;0)$) và $\vec{k}$:
$$\vec{n}=(1;0;0)\Rightarrow (CO): x=0$$

b) Các cặp mặt phẳng vuông góc

Lập bảng vectơ pháp tuyến:

Xét tích vô hướng từng cặp:

• $(OA)\cdot(AB)=0\cdot1+1\cdot0+0=0\Rightarrow (OA)\perp(AB)$ ✓
• $(OA)\cdot(CO)=0\cdot1+1\cdot0+0=0\Rightarrow (OA)\perp(CO)$ ✓
• $(OA)\cdot(BC)=0+2+0=2\neq0$
• $(AB)\cdot(BC)=(2\sqrt2-3)+0+0=2\sqrt2-3\neq0$
• $(CO)\cdot(BC)=2\sqrt2-3\neq0$
• $(AB)$ và $(CO)$ có cùng pháp tuyến nên song song.

Kết luận: Có hai cặp mặt phẳng vuông góc với nhau là $(OA)\perp(AB)$ và $(OA)\perp(CO)$. (Do sàn không phải hình chữ nhật nên bức tường $(BC)$ không vuông góc với bức tường nào.)

---

Bài 3: Luyện tập 10

Đề: Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng:
$$(\alpha): 5x+2y-4z+6=0,\quad (\beta): 10x+4y-2z+12=0$$

• a) Hỏi $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau hay không?
• b) Chứng minh điểm $M(1;-3;5)$ không thuộc $(\alpha)$ nhưng thuộc $(\beta)$.
• c) Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(1;-3;5)$ và song song với $(\alpha)$.

Lời giải:

a) Hai mặt phẳng có pháp tuyến $\vec{n}=(5;2;-4)$ và $\vec{n'}=(10;4;-2)$.

Giả sử $\vec{n'}=k\vec{n}$: từ $10=5k$ suy ra $k=2$, khi đó $4=2\cdot2=4$ (đúng) nhưng $-2\neq-4\cdot2=-8$.

Vậy $\vec{n'}$ không cùng phương $\vec{n}$.

Kết luận: $(\alpha)$ và $(\beta)$ không song song (chúng cắt nhau).

b) Thay $M(1;-3;5)$ vào $(\alpha)$:
$$5\cdot1+2\cdot(-3)-4\cdot5+6=5-6-20+6=-15\neq0$$
nên $M\notin(\alpha)$.

Thay $M$ vào $(\beta)$:
$$10\cdot1+4\cdot(-3)-2\cdot5+12=10-12-10+12=0$$
nên $M\in(\beta)$. (đpcm)

c) Mặt phẳng $(P)$ song song với $(\alpha)$ nên nhận $\vec{n}=(5;2;-4)$ làm pháp tuyến và đi qua $M(1;-3;5)$:
$$5(x-1)+2(y+3)-4(z-5)=0$$
$$\Leftrightarrow 5x+2y-4z+21=0$$

Vì hạng số tự do $21\neq6$ nên $(P)$ không trùng $(\alpha)$, đảm bảo $(P)\parallel(\alpha)$.

Kết luận: $(P): 5x+2y-4z+21=0$.

---

Các phần Ví dụ 9, 10, 11 và HĐ9 trong sách đã trình bày lời giải sẵn nên mình giữ nguyên trong phần tóm tắt lý thuyết phía trên. Vận dụng 4 chỉ mới bắt đầu (đề chưa đầy đủ trong ảnh) nên mình chưa giải; nếu bạn gửi tiếp trang sau, mình giải luôn cho nhé.