Giải Toàn 12 - Táºp Hai trang 40
Lời giải chi tiết SGK Lớp 12 · Môn ToĂ¡n · Trang 40–41
🔍 Kiến thức cần nhớ
Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
💡 Mẹo nhớ: Công thức này tương tự công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong mặt phẳng Oxy. Tử số là giá trị tuyệt đối khi thay tọa độ điểm vào vế trái phương trình, mẫu số là độ dài vectơ pháp tuyến.
Điều kiện hai mặt phẳng song song
Hai mặt phẳng (P): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (Q): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 song song khi và chỉ khi:
- A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂
⚙️ Bài tập
Câu HĐ10 — Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗ = (A; B; C). Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P).
a) Giải thích vì sao tồn tại số k để MN⃗ = kn⃗. Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.
c) Từ |MN⃗| = |k||n⃗|, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
Cách 1 — Phương pháp hình học giải tích
a) Giải thích sự tồn tại của k và tính tọa độ N:
Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P), nên đường thẳng MN vuông góc với (P).
Mà n⃗ = (A; B; C) là vectơ pháp tuyến của (P), nên MN⃗ cùng phương với n⃗.
Do đó, tồn tại số k sao cho MN⃗ = kn⃗.
Tính tọa độ N:
Ta có: MN⃗ = kn⃗ = (kA; kB; kC)
Mà MN⃗ = (xₙ - x₀; yₙ - y₀; zₙ - z₀)
Suy ra:
- xₙ = x₀ + kA
- yₙ = y₀ + kB
- zₙ = z₀ + kC
Vậy N(x₀ + kA; y₀ + kB; z₀ + kC)
b) Tính k:
Vì N ∈ (P) nên tọa độ N thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P):
A(x₀ + kA) + B(y₀ + kB) + C(z₀ + kC) + D = 0
Ax₀ + kA² + By₀ + kB² + Cz₀ + kC² + D = 0
(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) + k(A² + B² + C²) = 0
Suy ra: k = -(Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) / (A² + B² + C²)
c) Tính độ dài MN và suy ra công thức khoảng cách:
Ta có: |MN⃗| = |k| × |n⃗|
Với:
- |n⃗| = √(A² + B² + C²)
- |k| = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / (A² + B² + C²)
Do đó:
|MN| = |k| × |n⃗| = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / (A² + B² + C²) × √(A² + B² + C²)
|MN| = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Vậy công thức khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Câu Luyện tập 11
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 và (Q): x + 3y + z + 5 = 0.
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.
b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
a) Chứng minh (P) // (Q):
Mặt phẳng (P): x + 3y + z + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗₁ = (1; 3; 1)
Mặt phẳng (Q): x + 3y + z + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến n⃗₂ = (1; 3; 1)
Ta thấy n⃗₁ = n⃗₂, nên (P) và (Q) có cùng vectơ pháp tuyến.
Kiểm tra: 1/1 = 3/3 = 1/1 = 1, nhưng 2/5 ≠ 1
Vậy (P) // (Q) (hai mặt phẳng song song).
b) Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
Lấy điểm M ∈ (P). Chọn M(0; 0; -2) (thay x = 0, y = 0 vào phương trình (P): z = -2).
Kiểm tra: 0 + 3×0 + (-2) + 2 = 0 ✓
Khoảng cách từ M(0; 0; -2) đến (Q): x + 3y + z + 5 = 0:
d(M, (Q)) = |1×0 + 3×0 + 1×(-2) + 5| / √(1² + 3² + 1²)
d(M, (Q)) = |-2 + 5| / √(1 + 9 + 1)
d(M, (Q)) = |3| / √11
d(M, (Q)) = 3/√11 = 3√11/11
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 3√11/11.
Cách 2 — Công thức nhanh cho hai mặt phẳng song song
Với hai mặt phẳng song song có dạng:
- (P): Ax + By + Cz + D₁ = 0
- (Q): Ax + By + Cz + D₂ = 0
Khoảng cách giữa chúng: d = |D₁ - D₂| / √(A² + B² + C²)
Áp dụng: d = |2 - 5| / √(1² + 3² + 1²) = 3/√11 = 3√11/11
💡 Mẹo nhớ: Khi hai mặt phẳng có cùng hệ số A, B, C, khoảng cách chính là hiệu các hằng số D chia cho độ dài vectơ pháp tuyến.
Câu Vận dụng 5
Đề bài: (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)
Cách 1 — Phương pháp hình học không gian
Bước 1: Tính khoảng cách từ C đến (P)
d(C, (P)) = |1×1 + 2×2 + 2×4 + 3| / √(1² + 2² + 2²)
d(C, (P)) = |1 + 4 + 8 + 3| / √(1 + 4 + 4)
d(C, (P)) = |16| / √9 = 16/3
Bước 2: Xác định bán kính vùng quan sát
Góc quan sát ngang là 115°, nên nửa góc quan sát là 115°/2 = 57,5°
Gọi h = d(C, (P)) = 16/3 là khoảng cách từ camera đến mặt phẳng.
Gọi r là bán kính vùng quan sát (hình tròn trên mặt phẳng (P)).
Từ hình học: tan(57,5°) = r/h
Suy ra: r = h × tan(57,5°)
r = (16/3) × tan(57,5°)
r = (16/3) × 1,5697... (với tan(57,5°) ≈ 1,5697)
r ≈ 5,333 × 1,5697 ≈ 8,37
Kết quả: r ≈ 8,4 (đơn vị độ dài)
Cách 2 — Tính trực tiếp
d = 16/3 ≈ 5,333
r = (16/3) × tan(57,5°) = (16/3) × tan(57°30') ≈ 8,4
⚠️ Lưu ý thi: Cần nhớ công thức liên hệ giữa góc quan sát, khoảng cách và bán kính trong bài toán camera/đèn chiếu. Luôn chia đôi góc quan sát để có góc trong tam giác vuông.
Bài 5.1
Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Trục Ox có vectơ chỉ phương i⃗ = (1; 0; 0).
Mặt phẳng vuông góc với trục Ox sẽ nhận i⃗ = (1; 0; 0) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng qua M(1; 2; −1) với vectơ pháp tuyến (1; 0; 0):
1(x − 1) + 0(y − 2) + 0(z + 1) = 0
x − 1 = 0
Đáp án: x = 1 hoặc x − 1 = 0
Cách 2 — Nhận xét nhanh
Mặt phẳng vuông góc với Ox có dạng x = const.
Vì đi qua M(1; 2; −1), nên x = 1.
💡 Mẹo nhớ: - Mặt phẳng vuông góc với Ox: x = const - Mặt phẳng vuông góc với Oy: y = const - Mặt phẳng vuông góc với Oz: z = const
Bài 5.2
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).
a) Tính tọa độ các điểm C, B', D'.
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').
Cách 1 — Phương pháp vectơ
a) Tính tọa độ C, B', D':
Tìm C:
Trong hình hộp: AC⃗ = AB⃗ + AD⃗
AB⃗ = (0 − 1; 2 − (−1); 4 − 3) = (−1; 3; 1)
AD⃗ = (2 − 1; −1 − (−1); 1 − 3) = (1; 0; −2)
AC⃗ = (−1 + 1; 3 + 0; 1 + (−2)) = (0; 3; −1)
C = A + AC⃗ = (1 + 0; −1 + 3; 3 + (−1)) = (1; 2; 2)
Tìm B':
Trong hình hộp: BB'⃗ = AA'⃗
AA'⃗ = (0 − 1; 1 − (−1); 2 − 3) = (−1; 2; −1)
B' = B + AA'⃗ = (0 + (−1); 2 + 2; 4 + (−1)) = (−1; 4; 3)
Tìm D':
D' = D + AA'⃗ = (2 + (−1); −1 + 2; 1 + (−1)) = (1; 1; 0)
b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D'):
Với C(1; 2; 2), B'(−1; 4; 3), D'(1; 1; 0)
CB'⃗ = (−1 − 1; 4 − 2; 3 − 2) = (−2; 2; 1)
CD'⃗ = (1 − 1; 1 − 2; 0 − 2) = (0; −1; −2)
Vectơ pháp tuyến n⃗ = CB'⃗ × CD'⃗:
n⃗ = | i⃗ j⃗ k⃗ |
| −2 2 1 |
| 0 −1 −2 |
n⃗ = i⃗(2×(−2) − 1×(−1)) − j⃗((−2)×(−2) − 1×0) + k⃗((−2)×(−1) − 2×0)
n⃗ = i⃗(−4 + 1) − j⃗(4 − 0) + k⃗(2 − 0)
n⃗ = (−3; −4; 2)
Phương trình mặt phẳng (CB'D') qua C(1; 2; 2):
−3(x − 1) − 4(y − 2) + 2(z − 2) = 0
−3x + 3 − 4y + 8 + 2z − 4 = 0
−3x − 4y + 2z + 7 = 0 hoặc 3x + 4y − 2z − 7 = 0
Bài 5.3
Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y − z = 0, (R): x + y − z = 0.
Cách 1 — Phương pháp tích có hướng
Mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) và (R) nên vectơ pháp tuyến của (P) vuông góc với vectơ pháp tuyến của cả (Q) và (R).
n⃗_Q = (3; 2; −1), n⃗_R = (1; 1; −1)
Vectơ pháp tuyến của (P): n⃗_P = n⃗_Q × n⃗_R
n⃗_P = | i⃗ j⃗ k⃗ |
| 3 2 −1 |
| 1 1 −1 |
n⃗_P = i⃗(2×(−1) − (−1)×1) − j⃗(3×(−1) − (−1)×1) + k⃗(3×1 − 2×1)
n⃗_P = i⃗(−2 + 1) − j⃗(−3 + 1) + k⃗(3 − 2)
n⃗_P = (−1; 2; 1)
Phương trình mặt phẳng (P) qua M(1; −1; 5) với n⃗ = (−1; 2; 1):
−1(x − 1) + 2(y + 1) + 1(z − 5) = 0
−x + 1 + 2y + 2 + z − 5 = 0
−x + 2y + z − 2 = 0 hoặc x − 2y − z + 2 = 0
Bài 5.4
Đề bài: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y − 3z + 1 = 0.
Cách 1 — Phương pháp tích có hướng
Mặt phẳng (P) cần tìm:
- Song song với Ox nên chứa vectơ u⃗ = (1; 0; 0)
- Vuông góc với (Q) nên vuông góc với n⃗_Q = (1; 2; −3)
Vectơ pháp tuyến của (P): n⃗_P = u⃗ × n⃗_Q
n⃗_P = | i⃗ j⃗ k⃗ |
| 1 0 0 |
| 1 2 −3 |
n⃗_P = i⃗(0×(−3) − 0×2) − j⃗(1×(−3) − 0×1) + k⃗(1×2 − 0×1)
n⃗_P = (0; 3; 2)
Phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; 3; −1):
0(x − 2) + 3(y − 3) + 2(z + 1) = 0
3y − 9 + 2z + 2 = 0
3y + 2z − 7 = 0
Cách 2 — Nhận xét
Mặt phẳng song song với Ox có dạng By + Cz + D = 0 (không chứa x).
Mặt phẳng này vuông góc với (Q): x + 2y − 3z + 1 = 0
Điều kiện vuông góc: 1×0 + 2×B + (−3)×C = 0 ⟹ 2B = 3C
Chọn B = 3, C = 2.
Mặt phẳng qua M(2; 3; −1): 3×3 + 2×(−1) + D = 0 ⟹ D = −7
Đáp án: 3y + 2z − 7 = 0
Bài 5.5
Đề bài: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y − z + 1 = 0.
Cách 1 — Áp dụng công thức
Gốc tọa độ O(0; 0; 0).
d(O, (P)) = |2×0 + 2×0 + (−1)×0 + 1| / √(2² + 2² + (−1)²)
d(O, (P)) = |1| / √(4 + 4 + 1)
d(O, (P)) = 1/√9 = 1/3
Bài 5.6
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
Chứng minh (P) // (Q):
Vectơ pháp tuyến của (P): n⃗_P = (1; 1; 1)
Vectơ pháp tuyến của (Q): n⃗_Q = (1; 1; 1)
Ta có n⃗_P = n⃗_Q (cùng phương).
Kiểm tra: 1/1 = 1/1 = 1/1 = 1, nhưng 2/6 = 1/3 ≠ 1
Vậy (P) // (Q).
Tính khoảng cách:
Lấy điểm M ∈ (P): chọn M(0; 0; −2) (thay x = y = 0, z = −2).
d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = |1×0 + 1×0 + 1×(−2) + 6| / √(1² + 1² + 1²)
d = |−2 + 6| / √3 = 4/√3 = 4√3/3
Bài 5.7
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y − z = 0, (Q): x − y − 2z + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).
Cách 1 — Phương pháp cơ bản
a) Chứng minh (P) ⊥ (Q):
Vectơ pháp tuyến của (P): n⃗_P = (1; 3; −1)
Vectơ pháp tuyến của (Q): n⃗_Q = (1; −1; −2)
Tích vô hướng: n⃗_P · n⃗_Q = 1×1 + 3×(−1) + (−1)×(−2)
n⃗_P · n⃗_Q = 1 − 3 + 2 = 0
Vì n⃗_P · n⃗_Q = 0 nên (P) ⊥ (Q).
b) Tìm điểm M thuộc Ox cách đều (P) và (Q):
Điểm M thuộc Ox có dạng M(a; 0; 0).
Điều kiện: d(M, (P)) = d(M, (Q))
d(M, (P)) = |a + 3×0 − 0| / √(1 + 9 + 1) = |a| / √11
d(M, (Q)) = |a − 0 − 0 + 1| / √(1 + 1 + 4) = |a + 1| / √6
Điều kiện: |a| / √11 = |a + 1| / √6
|a| × √6 = |a + 1| × √11
Trường hợp 1: a ≥ 0 và a + 1 > 0 (tức a ≥ 0)
a√6 = (a + 1)√11
a√6 = a√11 + √11
a(√6 − √11) = √11
a = √11 / (√6 − √11) = √11(√6 + √11) / (6 − 11) = √11(√6 + √11) / (−5)
a = −(√66 + 11) / 5
Vì a < 0, không thỏa mãn a ≥ 0.
Trường hợp 2: a < 0 và a + 1 > 0 (tức −1 < a < 0)
−a√6 = (a + 1)√11
−a√6 = a√11 + √11
−a√6 − a√11 = √11
−a(√6 + √11) = √11
a = −√11 / (√6 + √11) = −√11(√6 − √11) / (6 − 11) = −√11(√6 − √11) / (−5)
a = √11(√6 − √11) / 5 = (√66 − 11) / 5
Kiểm tra: √66 ≈ 8,12, nên a ≈ (8,12 − 11)/5 ≈ −0,576
Thỏa mãn −1 < a < 0. ✓
Trường hợp 3: a < 0 và a + 1 < 0 (tức a < −1)
−a√6 = −(a + 1)√11
a√6 = (a + 1)√11
Giải tương tự TH1, được a = −(√66 + 11)/5 ≈ −3,82
Thỏa mãn a < −1. ✓
Đáp án:
- M₁((√66 − 11)/5; 0; 0)
- M₂(−(√66 + 11)/5; 0; 0)
Bài 5.8
Đề bài: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?
Cách 1 — Phương pháp hình học
Xét hình chóp đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông.
Gọi hai mặt bên kề nhau là (SAB) và (SAD).
Để (SAB) ⊥ (SAD), ta cần tích vô